任務五 數控插補原理

任務描述

數控插補的定義是什么？它的原理是怎樣產生的？數控插補方法又有哪些？

學習目標

了解數控插補的方法。掌握數控插補的實質特別是逐點比較法，并能聯系實際的加工應用。

任務分析

數控插補就是數控加工，只有搞清楚插補的原理才能更合理地了解和掌握數控編程。

任務完成

一、插補的基本概念

插補是指在輪廓控制系統中，根據給定的進給速度和輪廓線形的要求等“有限信息”，在已知數據點之間插入中間點的方法，這種方法稱為插補方法。插補的實質就是數據點的“密化”過程。插補的結果是輸出運動軌跡的中間坐標值，機床伺服驅動系統根據這些坐標值控制各坐標軸協調運動，加工出預定的幾何形狀。

插補有兩層意思：一是用小線段逼近產生基本線型（如直線、圓弧等）；二是用基本線型擬合其他輪廓曲線。

插補運算具有實時性，直接影響刀具的運動。插補運算的速度和精度是數控裝置的重要指標。插補原理也稱為軌跡控制原理。五坐標插補加工仍是國外對我國封鎖的技術。

下面以直線、圓弧生成為例，論述插補原理。

二、插補方法的分類

完成插補運算的裝置或程序稱為插補器，包括以下幾種。

（1）硬件插補器：早期NC系統的數字電路裝置。

（2）軟件插補器：現代CNC系統的計算機程序。

（3）軟硬件結合插補器：軟件完成粗插補，硬件完成精插補。

由于直線和圓弧是構成零件輪廓的基本線型，因此，CNC系統一般都具有直線插補和圓弧插補兩種基本類型。

插補運算所采用的原理和方法很多，一般可歸納為基準脈沖插補和數據采樣插補兩大類型。

1.基準脈沖插補

每次插補結束僅向各運動坐標軸輸出一個控制脈沖，各坐標僅移動一個脈沖當量或行程的增量。脈沖序列的頻率代表坐標運動的速度，而脈沖的數量代表運動位移的大小。

這類插補運算簡單，主要用于步進電動機驅動的開環(huán)數控系統的中等精度和中等速度要求的經濟型計算機數控系統。也有的數控系統將其用做數據采樣插補中的精插補。

基準脈沖插補也稱為脈沖增量插補，其插補的方法很多，如逐點比較法、數字積分法、脈沖乘法器等。

2.數據采樣插補

采用時間分割思想，根據編程的進給速度將輪廓曲線分割為每個插補周期的進給直線段（又稱輪廓步長）進行數據密化，以此來逼近輪廓曲線。然后再將輪廓步長分解為各個坐標軸的進給量（一個插補周期的進給量），作為指令發(fā)給伺服驅動裝置。該裝置按伺服檢測采樣周期采集實際位移，并反饋給插補器并與指令進行比較，有誤差就運動，誤差為零則停止，從而完成閉環(huán)控制。

數據采樣插補又稱為時間分割插補或數字增量插補，這類算法插補結果輸出的不是脈沖，而是標準二進制數。

數據采樣插補方法有直線函數法、擴展DDA、二階遞歸算法等。

三、基準脈沖插補

1.逐點比較法

早期數控機床廣泛采用的方法，又稱代數法、醉步法，適用于開環(huán)系統。

1）插補原理及特點

原理：每次僅向一個坐標軸輸出一個進給脈沖，而每走一步都要通過偏差函數計算，判斷偏差點的瞬時坐標同規(guī)定加工軌跡之間的偏差，使刀具向減小偏差的方向進給，且只有一個方向的進給，周而復始，直到全部結束，使之趨近于加工軌跡。

一般來講，逐點比較法插補過程中每進給一步都要經過如圖1-2-17所示的四個節(jié)拍的處理。

（1）第一節(jié)拍——偏差判別

判別刀具當前位置相對于給定輪廓的偏差情況，也就是說通過偏差符號來確定加工點處于規(guī)定輪廓的外面還是里面，并以此決定刀具的進給方向。

（2）第二節(jié)拍——坐標進給

根據偏差判別結果，控制相應坐標軸進給一步，使加工點向規(guī)定輪廓靠攏，從而減小其間偏差。

（3）第三節(jié)拍——偏差計算

刀具進給一步后，計算新的加工點與規(guī)定輪廓之間新的偏差，作為下一步偏差判別的依據。

（4）第四節(jié)拍——終點判別

每進給一步都要修正總步數，并判別刀具是否到達被加工零件輪廓的終點。若到達則結束，否則繼續(xù)循環(huán)以上四個節(jié)拍，直至終點為止。

2）逐點比較法直線插補

（1）偏差函數構造

如圖1-2-18所示第一象限直線OE，起點O為坐標原點，用戶編程時，給出直線的終點坐標E（Xe，Ye），直線方程為

XeYj－XiYe＝0

直線OE為給定軌跡，P（Xi，Yj）為動點坐標，動點與直線的位置關系有三種情況：動點在直線上方、動點在直線上、動點在直線下方。

偏差判別函數

當P在OE上：

當P在OE上方：

當P在OE下方：

由以上關系式可以看出，（XeYi－XiYe）的符號就反映了動點P與直線OE之間的偏離情況，可以構造偏差函數為

Fi=YiXe-XiYe

插補規(guī)則對于第一象限直線，其偏差符號與進給方向的關系如圖1-2-19所示。

F＝0時，表示動點在OE上，如點P，可向＋X向進給，也可向＋Y向進給。

F＞0時，表示動點在OE上方，如點P1，應向＋X向進給。

F＜0時，表示動點在OE下方，如點P2，應向＋Y向進給。

這里規(guī)定動點在直線上時，可歸入F＞0的情況一同考慮。

根據上述原則，插補工作從起點O（0，0）開始，走一步，算一步，判別一次F的符號，再走一步，趨向直線進給，直至終點E（Xe，Ye）。

故得出插補規(guī)則為

當F≥0，則沿+X方向進給一步。

當F＜0，則沿+Y方向進給一步。

這樣，通過逐點比較的方法，控制刀具走出一條盡量接近零件輪廓直線的軌跡，如圖1-2-19中的折線所示。當每次進給的臺階（即脈沖當量）很小時，就可以將這條折線近似的當作直線來看待。顯然逼進程度的大小與脈沖當量的大小直接相關。

（2）偏差函數字的遞推計算

采用偏差函數的遞推式（迭代式），既由前一點計算后一點。

設當前切削點p（Xi，Yi）的偏差為

F=Fi，j=XeYj-XiYe

則根據偏差公式

當Fi，j≥0時，

新加工點坐標為Xi+1=Xi+1，Yj+1=Yj

新偏差為 Fi，j+1=XeYj-（Xi+1）Yj=Fi，j–Ye

當Fi，j＜0時，

新加工點坐標為Xi+1=Xi，Yj+1=Yj+1

新偏差為 Fi，j+1=Xe（Yj+1）-XiYe＝Fi，+Xe

開始加工時，將刀具移到起點，刀具正好處于直線上，偏差為零，即F＝0，根據這一點偏差可求出新一點偏差，隨著加工的進行，每一新加工點的偏差都可由前一點偏差和終點坐標相加或相減得到。

（3）終點判別

直線插補的終點判別可采用三種方法。

① 判斷插補或進給的總步數： N=Xe+Ye。

② 分別判斷各坐標軸的進給步數。

③ 僅判斷進給步數較多的坐標軸的進給步數。

根據前面總結出的四個節(jié)拍可設計出逐點比較法第一象限直線插補的軟件流程圖如圖1-2-20所示。

（4）逐點比較法直線插補舉例

欲加工第一象限的直線OE，起點在原點，終點坐標為E（3，5），脈沖當量為1，試用逐點比較法進行插補。

解：總步數∑0＝3+5=8，將其存入終點判別計數器中，每進給一步減1，若N=0，則停止插補。開始時刀具處于直線起點（原點），∑=0，則插補運算過程如表1-2-1所示，插補軌跡如圖1-2-21所示。

表1-2-1 插補運算過程

在這里要注意的是，對于逐點比較法插補，在起點和終點處刀具均落在零件輪廓上，也就是說在插補開始和結束時偏差值均為零，即F=0，否則，就說明插補過程中出現了錯誤。

逐點比較法即可以作直線插補，又可以作圓弧插補。

特點是，運算直觀，插補誤差小于一個脈沖當量，輸出脈沖均勻，而且輸出脈沖的速度變化小，調節(jié)方便，因此，在兩坐標聯動的數控機床中應用較為廣泛。

3）逐點比較法圓弧插補（見圖1-2-11）

（1）偏差函數

任意加工點Pi（Xi，Yi），偏差函數Fi可表示為

若Fi=0，表示加工點位于圓上。

若Fi＞0，表示加工點位于圓外。

若Fi＜0，表示加工點位于圓內。

（2）偏差函數的遞推計算

① 逆圓插補

若Fi≥0，規(guī)定向-X方向走一步

若Fi＜0，規(guī)定向+Y方向走一步

② 順圓插補

若Fi≥0，規(guī)定向-Y方向走一步

若Fi＜0，規(guī)定向+Y方向走一步

（3）終點判別

① 判斷插補或進給的總步數為

② 分別判斷各坐標軸的進給步數為

（4）逐點比較法圓弧插補舉例（見圖1-2-23）

對于第一象限圓弧AB，起點A（4，0），終點B（0，4）。

表1-2-2 插補運算

4）逐點比較法的速度分析

式中，L——直線長度；

V——刀具進給速度；

N——插補循環(huán)數；

f——插補脈沖的頻率。

N=Xe+Ye=Lcosα+Lsinα

所以，

刀具進給速度與插補時鐘頻率f和與X軸夾角α有關，若保持f不變，0°和9°最大，45°最小，如圖1-2-14所示。

加工圓弧時刀具的進給速度也是如此。

5）逐點比較法的象限處理

（1）分別處理法

4個象限的直線插補，會有4組計算公式，對于4個象限的逆時針圓弧插補和4個象限的順時針圓弧插補，會有8組計算公式，其刀具的偏差和進給方向可用圖1-2-25表示。

（2）坐標變換法

用第一象限逆圓插補的偏差函數進行第三象限逆圓和第二、四象限順圓插補的偏差計算，用第一象限順圓插補的偏差函數進行第三象限順圓和第二、四象限逆圓插補的偏差計算。

四、象限插補計算過程

直線的象限插補計算機過程見表1-2-3。

表1-2-3 直線的象限插補計算過程

表1-2-4 圓弧的象限插補計算過程

1.數字積分法

數字積分法又稱為數字微分分析（DDA）法，是用數字積分的方法計算刀具沿各坐標軸的位移，可以用來實現各種函數的運算。

其最大的優(yōu)點是運算速度快、脈沖分配均勻、易于實現坐標擴展，每個坐標就是一個模塊，幾個相同的模塊組合就可以實現多坐標軸的聯動控制及描繪平面各種函數曲線。但是，數字積分插補法的速度調節(jié)不方便，插補誤差比較大，它的插補誤差有時會大于1個脈沖當量，需要采取一定措施才能滿足精度要求。采用軟件插補時，利用計算機的強大功能可以克服這一缺點。

1）數字積分原理（見圖1-2-26）

或者說，積分的過程可以用微小量的累加近似得

ΔX=VxΔt；ΔY=VYΔt

2）DDA直線插補

（1）DDA法直線插補的積分表達式

要對XY平面的直線進行脈沖分配，如圖1-2-27所示，起點在原點，終點坐標為（Xe，Ye），令V表示動點移動速度，Vx、Vy分別表示動點在X軸和Y軸方向的分速度，則

K=V/L=Vx/Xe=Vy/Ye

則 ΔX=KXeΔt；ΔY=KYeΔt

X、Y方向的位移：

式中，m為累加次數（容量）取為整數，m=0～2N-1，共2N 次（N為累加器位數）。令Δt=1，mK=1，則K=1/m=1/2N。則

X= Xe； Y= Ye

（2）結論

直線插補從始點走向終點的過程，可以看作是各坐標軸每經過一個單位時間間隔，分別以增量KXe（Xe/2N）及KYe（Ye/2N）同時累加的過程。累加的結果為：X=Xe；Y=Ye

DDA直線插補：以Xe/2N、Ye/2N（二進制小數，形式上即Xe、Ye）作為被積函數，同時進行積分（累加），N為累加器的位數，當累加值大于2N-1時，便發(fā)生溢出，而余數仍存放在累加器中。即

積分值=溢出脈沖數代表的值+余數

當兩個積分累加器根據插補時鐘脈沖同步累加時，用這些溢出脈沖數（最終X坐標Xe個脈沖、Y坐標Ye個脈沖）分別控制相應坐標軸的運動，即可加工出所要求的直線。

（3）終點判別

累加次數、即插補循環(huán)數是否等于2N可作為DDA法直線插補判別終點的依據。

（4）組成

二坐標DDA直線插補器包括X積分器和Y積分器，每個積分器都由被積函數寄存器JVX（速度寄器）和累加器JRX（余數寄存器）組成。

初始時，X被積函數寄存器存Xe，Y被積函數寄存器存Ye。

（5）DDA法直線插補舉例

插補第一象限直線OE，起點為O（0，0），終點為E（5，3），如圖1-2-28所示。取被積函數寄存器分別為JVX、JVY，余數寄存器分別為JRX、JRY，終點計數器為JE，均為三位二進制寄存器，見表1-2-5。

表1-2-5 DDA法直線插補舉例

3）DDA法圓弧插補（見圖1-2-29）

（1）DDA法圓弧插補的積分表達式

由K=V/R=Vx/Yi=Vy/Xi

Vx=KYi；Vy=KXi

令 Δt=1/K=1/2N

則

圓弧插補時，是對切削點的即時坐標Xi與Yi的數值分別進行累加。

（2）其特點如下：

① 各累加器的初始值為零，各寄存器為起點坐標值。

② X被積函數寄存器存Yi，Y被寄函數積存器存Xi，為動點坐標。

③ Xi、Yi在積分過程中，產生進給脈沖ΔX、ΔY時，要對相應坐標進行加1或減1的修改。

④ DDA圓弧插補的終點判別要有兩個計數器，哪個坐標終點到了，哪個坐標停止積分迭代。

⑤ 與DDA直線插補一樣，JVX、JVY中的值影響插補速度。

（3）DDA圓弧插補舉例（見表1-2-6）

例：對于第一象限圓弧，起點（5，0），終點（0，5）三位二進制寄存器（圖1-2-30）。

表1-2-6 DDA圓弧插補舉例

2.DDA法插補的合成速度

由于DDA插補是控制脈沖源每產生一個脈沖，作一次積分運算。每次運算中X方向平均進給的比率為Y/2n（2n累加器的容量），而Y方向的比率為X/2n，所以合成的進給速度為（單位：mm/min）

V≥LVg/2n；Vg=60δfg

式中，δ——脈沖當量，mm；

fg——插補迭代控制脈沖源頻率，Hz；

L——程編的插補段的行程，直線插補段時為直線長度，圓弧插補段為圓弧半徑R。

可見，速度變化率與程序段的行程L成正比。當fg一定時，行程長，脈沖溢出快，起刀快；行程短，脈沖溢出慢，起刀慢。引起各程序段進給速度的不一致，影響加工質量和效率，為此人們采取了許多改善措施。

1）設置進給速率數FRN

利用G93，設置進給速率數FRN，即

FRN=v/L=fδ/2n

或 FRN=v/R=fδ/2n

則v=FRN×L，或v=FRN×R，通過FRN調整插補時鐘頻率f，使其與給定的進給速度相協調，消除線長L與圓弧半徑R對進給速度的影響。

2）左移規(guī)格化

“左移規(guī)格化”就是將被積函數寄存器中存放數值的前零移去。

直線插補時，當被積函數寄存器中所存放最大數的最高位為1時，稱為規(guī)格化數，反之，若最高位為零，稱為非規(guī)格化數。

直線插補左移規(guī)格化數的處理方法：將X軸與Y軸被積函數寄存器里的數值同時左移（最低位移入零），直到其中之一最高位為1時為止。

若被積函數左移i位成為規(guī)格化數，其函數值擴大2i倍，為了保持溢出的總脈沖數不變，就要減少累加次數。

圓弧插補左移規(guī)格化與直線不同之處：被積函數寄存器存放最大數值的次高位是1為規(guī)格化數。

3.數據采樣插補

1）概述

這種插補方法多用于進給速度要求較高的閉環(huán)控制系統。

它與前面介紹的插補方法的最大不同就是前者計算機一般不包含在伺服控制環(huán)內，計算機插補的結果是輸出進給脈沖，伺服系統根據進給脈沖進給。每進給一步（一個脈沖當量），計算機都要進行一次插補運算。進給速度受計算機插補速度的限制，很難滿足現代數控機床高速度的要求。

而后者計算機一般包含在伺服控制環(huán)內。數字增量插補用小段直線來逼近給定軌跡，插補輸出的是下一個插補周期內各軸要運動的距離，不需要每走一個脈沖當量就插補一次，可達到很高的進給速度。

（1）數據采樣插補的基本原理

粗插補：采用時間分割思想，根據進給速度F和插補周期T，將廓型曲線分割成一段段的輪廓步長L，L=FT，然后計算出每個插補周期的坐標增量，進而得出下一插補點指令位置。

精插補：根據位置反饋采樣周期的大小，由伺服系統完成。

（2）插補周期和檢測采樣周期

插補周期要大于插補運算時間與完成其他實時任務時間之和，現代數控系統一般為2～4ms，有的已達到零點幾毫秒。插補周期應是位置反饋檢測采樣周期的整數倍。

（3）插補精度分析

直線插補時，輪廓步長與被加工直線重合，沒有插補誤差。

圓弧插補時，輪廓步長作為弦線或割線對圓弧進行逼近，存在半徑誤差，如圖1-2-31所示。

采用弦線（L）逼近時，如圖1-2-31（a）所示，半徑為r的被逼近圓弧最大半徑誤差er，其對應的圓心角為δ，由圖可推導出：

當采用內外均差（era=eri）的割線時，半徑誤差更小，是內接弦的一半；若令二種逼近的半徑誤差相等，則內外均差弦的輪廓步長或步距角是內接弦時的倍。但由于內外均差割線逼近時，插補計算復雜，很少應用。

由上面分析可知：圓弧插補時的半徑誤差er與圓弧半徑r成反比，與插補周期T和進給速度F的平方成正比。

2）數據采樣法直線插補

（1）插補計算過程

由圖1-2-32可知，在直線插補過程中，輪廓步長l及其對應的坐標增量ΔX、ΔY等是固定的。

① 插補準備 主要是計算輪廓步長及其相應的坐標增量。

② 插補計算 實時計算出各插補周期中的插補點（動點）坐標值。

（2）實用的插補算法

原則：算法簡單、計算速度快、插補誤差小、精度高。

① 直接函數法

插補準備：ΔXi=Xe/L；ΔYi=ΔXi Ye/Xe

插補計算：Xi=Xi-1+ΔXi；Yi=Yi-1+ΔYi

② 進給速率數法（擴展DDA法）

插補準備：步長系數 K =l/L= FT/L=T×FRN

插補計算：ΔXi=KXe；ΔYi=KYe

Xi=Xi-1+ΔXi；Yi=Yi-1+ΔYi

③ 方向余弦法

插補準備：cosα=Xe/L；cosβ=Ye/L

插補計算：ΔX=l cosα；ΔY=l cosβ

Xi=Xi-1+ΔXi；Yi=Yi-1+ΔYi

④ 一次計算法

插補準備：ΔXi=Xe/L；ΔYi=ΔXi Ye/Xe

插補計算：Xi=Xi-1+ΔXi；Yi=Yi-1+ΔYi

3）數據采樣法圓弧插補

（1）直線函數法（弦線法）

由圖1-2-33可知，順圓上B點是繼A點之后的瞬時插補點，為了求出B點的坐標值，過A點作圓弧的切線AP，則有

上式中，sinα和cosα都是未知數，難以用簡單方法求解，采用近似計算，用cos45°和sin45°來取代，即

從而造成了tanα的偏差，使角α變?yōu)?span id="r4494nw" class="italic">α′，使cosα變大，因而使ΔX值變?yōu)棣?span id="fzcqf7b" class="italic">X′，即

則B點一定在圓弧上，其坐標為Xi+1=Xi+ΔX′Yi+1=Yi+ΔY′

因為其插補誤差是非常微小的，所以可以認為插補的速度是均勻的。

（2）擴展DAA法數據采樣插補

將DDA的切向逼近改變?yōu)楦罹€逼近。具體還是計算一個插補周期T內，輪廓步長L的坐標分量△Xi和△Yi，由圖經過推導可得：

ΔXi=K（Yi-1–KXi-1/2）；ΔYi=K（Xi-1+KYi-1/2）

其中，K=FT/R=T×FRN

新加工點的坐標位置：Xi=Xi-1+ΔXi；Yi=Yi-1+ΔYi

上述兩個公式為第一象限順時針圓弧插補計算公式，依此可得出其他象限及走向的公式。

由上述擴展DDA圓弧插補公式可知，采用該方法只需進行加法、減法及有限次的乘法運算，因而計算簡單，速度快。

此外，該法還采用割線逼近圓弧，其精度較弦線法高。

思考與練習

1.何謂插補？數控加工為什么要使用插補？

2.逐點比較插補法是如何實現的？

3.試述DDA插補原理。