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書名：灰色分析技術及程序實現
作者名：強彥
本章字數： 7793字
更新時間： 2018-12-27 19:12:33

1.3 基本方法

1.3.1 系統研究內容

灰色系統主要研究的是系統分析，灰色建模，灰色預測，灰色決策，灰色控制等多個內容。

1）系統分析

灰色系統分析方法主要是根據具體灰色系統的行為特征數據，充分利用數量不多的數據和信息尋求相關因素自身與因素之間的數學關系，即建立相應的數學模型。

現在系統分析的量化方法，大部分都是數理統計方法，比如說回歸分析，主成分分析，方差分析等。但它們都有一些缺點：①都要求大樣本；②都要求樣本有較大的分布規律；③它們的計算工作量都很大；④都可能出現量化的結果與定性分析的結果不符。

這些缺點說明回歸分析有較大的局限性，特別是對我國的經濟分析局限性就更大了，因此我們需要尋找一個更有效更合理的方法。

灰色系統理論就提出了一種新的分析方法，稱為系統的關聯度分析方法，這是依據因素間關系程度的方法。由于關聯度的分析方法是對發展趨勢做分析，因此對樣本量的多少沒有過分的要求，也不需要典型的分布規律，計算量小，且不致出現關聯度的量化結果與定性分析不一致的現象。

目前關聯度分析已用到各方各面，比如農業經濟、水利、宏觀經濟等。對抽象系統、社會現象等進行關聯度分析，首先必須找準數據序列，也就是說用什么數據來間接地反映系統的行為特征。找系統行為的映射量就是用某種數據來間接地表征系統行為。例如：法國的人口學家曾經統計和研究過中國的宋朝、元朝、明朝、清朝的人口。這些人口數字都不是直接統計的，而是根據食鹽的銷售量折算得到的。在當時的環境下，用食鹽作為人口的映射量是恰當的。再比如：用學生人數來反映教育的發達程度，用大專以上文化程度的人數來反映教育水平的高低。用醫院掛號費作為健康水平的映射量等等。

這些是各種社會現象的一些可能的映射量。當有了系統行為的數據列（即各時刻的數據）后，根據關聯度計算公式便可算出關聯程度，也可以將數據輸入計算機，通過關聯度計算軟件算出結果。

2）灰色建模

如果一個家庭是一個系統，把這個家庭每個月收入的10%存入銀行，那么這個家庭的銀行存款便是收入的10%。銀行存款與收入的這個數量關系，便是這個家庭的一個經濟模型，因為這種模型是各因素（變量）之間的數學關系，我們常稱它為數學模型。

遞推的離散的模型有較大的局限性，它是建立一個按時間做逐段分析的模型。在某些研究領域中，人們常常希望使用微分方程模型。比如：生命科學、經濟學、生物醫學等。在這個領域中，微分方程的系數描述了我們所希望辨識的系統內部的物理或化學過程的本質。但是人們卻不能建立微分方程模型，因為微分方程中的系統數據的出現是輸入輸出的導數，它們一般是不能測量得到的。但是，灰色系統理論解決了這一建模問題。為什么灰色系統理論能解決這個問題呢？其重點是灰色系統有一種新觀點。

（1）任何隨機過程都是在一定幅值范圍，一定時區內變化的灰色量，我們稱隨機過程為灰色過程。

（2）在處理手法上，灰色過程是通過原始數據的整理來尋找數的規律的，稱為數的生成，這就是一種就數找數的現實規律的途徑。

概率統計的隨機過程，則是按統計規律，按先驗規律來處理問題。做這種處理，要求數據越多越好（大樣本）。事實上，即使有了大樣本也不一定能夠找到統計規律，即使有統計規律也不一定典型，而非典型的過程（如非平穩，非高斯分布，非白噪聲等）是難處理的。

而灰色過程則無此限制。事實上，將許多原始數據累加處理后便出現了明顯的指數規律。為什么能做到這一點呢？

灰色系統認為：盡管客觀系統表象復雜，數據離散，但它們總是有整體功能的，總是有序的。因此，它必然潛藏著某種內在規律。關鍵在于要用適當方式去挖掘它，然后利用它。

由于生成數據列有了較強的規律，有可能對變化過程做較長時間的描述，因此，有可能建立微分方程。建立微分方程模型，還要利用到灰色理論的其他成果，如：關聯空間的知識，離散函數的收斂、根據離散函數的光滑度、灰導數，灰微分方程等概念。

下面就舉一個例子，說明灰色過程如何通過生成來尋找規律。

例：記x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），x（0）（4），其值如表1-3所示。

表1-3 灰色序列舉例表

將上述數據作圖，如圖1-1所示。

圖1-1 灰色序列舉例圖

圖1-1表明原始數據X（0）沒有明顯的規律，其發展趨勢是擺動的。

如果將原始數據累加生成，記第k個累加生成數為X（1）（k）而且

X（1）（1）=X（0）（1）=1；

X（1）（2）=X（0）（1）+X（0）（2）=1+2=3；

X（1）（3）=X（0）（1）+X（0）（2）+X（0）（3）=1+2+1.5=4.5；

X（1）（4）=X（0）（1）+X（0）（2）+X（0）（3）+X（0）（4）=1+2+1.5+3=7.5。

這樣生成后，得數據列X（1），如表1-4所示，將上述數據作圖，如圖1-2所示。

表1-4 原始數據累加序列表

圖1-2 原始數據累加序列圖

無規律的原始數據生成后，得到較規律的數據，即無擺動的遞增規律數據。

在建立系統各要素的關聯模型時，灰色理論是以五步建立的，分別是：語言模型、網絡模型、量化模型、動態量化模型、優化模型。

五步建立模型的思路與模型的特點如下。

（1）定性分析是建立模型的前提。

（2）定量模型是定性分析的具體化、規格化、關系化、數量化。

（3）定性與定量緊密結合。

（4）明確系統潛在的顯露的因素，弄清要素間的因果關系是系統研究的基本任務、建模的基礎。

（5）要素間的關系：

?事理系統中，是“前因、后果”關系

?技術系統中，是“輸入、輸出”關系

?經濟系統中，是“投入、產出”關系

（6）要素間的關系是相對的、多重的。

（7）要素分析和系統行為研究，不應該停留在一種關系上，而應該考慮其發展變化，即動態變化。

（8）為了將控制理論中卓有成效的方法、成果推廣到社會、經濟等系統，模型應控制化。

（9）要通過模型了解系統的基本控制性能，如是否可控，變化過程是否可以觀測。

（10）應從模型獲得盡可能多的信息，特別是發展變化的信息。

（11）建立模型要為使用先進的實驗科學手段及自然科學方法研究社會、經濟等系統提供基礎，特別要為電子計算機對抽象系統進行數字仿真模擬提供條件。

（12）建立模型常用的數據：科學實驗數據、統計數據、經驗數據、生產數據（實驗室化驗分析）、決策數據。前三種數據有較大局限性，生產數據較易獲得，包涵難以用語言文字描述的全部因素，有豐富的內涵。

（13）建模的目的不僅僅是為了認識世界，更重要的是為了改造世界。

（14）五步建模的基本任務，是溝通社會科學與自然科學，使社會科學研究做到數學化、計算機化、自然科學化。

（15）五步建模的灰色建模思路（如圖1-3所示），用原始數據X（0），經生成得到X（1），對X（1）按GM建模，得模型計算值（1），將計算值（1）與X（1）進行比較，得到差△X（1），用殘差對模型GM作修正。

圖1-3 灰色建模思路圖

（16）所建立的模型是多要素的、關聯的、整體的，決定系統發展態勢的，不是某個因素，而是所有因素協調發展的結果。

3）灰色預測

一般預測方法有300種，通常用回歸分析法、德爾菲法、趨勢外推法、最小方差預測法、馬爾克夫預測法、模型法、指數平滑法、殘差辨識方法等。三種類型：回歸―馬爾可夫（又稱為統計型），灰色預測與模型法屬于連續型，指數平滑與殘差辨識則屬于遞推型。

灰色系統模型的預測，稱為灰色預測。

灰色預測可分為如下五類。

（1）數列預測。

對系統行為特征值大小的發展變化進行預測，稱為系統行為數據列的變化預測，簡稱數列預測。如下預測都屬于數列預測。

?糧食產量的預測

?商品銷售量發展變化的預測

?年平均降水量發展變化的預測

?人口的預測

?貨運量的預測

?外貿額發展變化的預測

這種預測的特點是：對行為特征量進行等時距的觀測。預測的任務是：了解這些行為特征量在下一個時刻有多大。

（2）災變預測。

對系統行為特征量超出某個閾值（界限值）的異常值將在何時出現的預測稱為災變預測。所以說，災變預測即對異常值出現時刻的預測。由于異常值往往會使人們的生活、生態環境、農業生產等的正常活動帶來異常結果，造成災害，所以也稱這種預測為災變預測。如下預測都屬于災變預測。

?年平均降水量大于某個閾值（可容許值）便是澇災

?年平均降水量小于某個閾值是旱災

?年產量大于某個指定值，是豐年

?年產量小于某個指定值，是欠年

?環境中某種物質含量超出某個閾值，是污染

?人體中某個參數（如體溫、血壓、血中成分）超出一定范圍就發生病變

?銀行存款超出某個值是經濟躍變

災變預測的特點是：對異常值出現的時間進行預測。預測的任務不是確定異常值的大小（因為異常值的大小是指定的灰數），而是確定異常值出現的時間。災變預測建模所用數據已不是行為特征量本身，而是異常行為特征值發生的時間，這對時間來說不是等間距的，或者說建模數據的序列是按序號給出的時間間隔。

（3）季節災變預測。

如果行為特征量異常值的出現，或者某種事件的發生是在一年中某個特定時區，則這種預測稱為季節災變預測。如下預測都屬于季節災變預測。

?云南春雨是在春天出現

?臨西早霜是在秋末冬初的9、10、11月出現

?洪水是在汛期出現

季節災變預測，是一種特定時區內的災變預測。其特點是：災變一般僅僅發生在一年的某個特定時段。

（4）拓撲預測（亦稱波形預測、整體預測）。

拓撲預測是對一段時間內行為特征數據波形的預測。拓撲預測在不同的場合有不同的意義。

?對水利方面年徑流量曲線來說，拓撲預測意味著在對未來某段時間內總徑流量的預測。

?對氣象方面年平均降水量曲線來說，拓撲預測是對某幾年總降水量的預測。

?對生產系統來說，拓撲預測可以是對幾年內生產總產值、總產量的預測。

而從本質來看，拓撲預測則是對一個變化不規則的行為數據數列的整體發展進行預測。

（5）系統綜合預測。

將某一系統各種因素的動態關系找出，建立系統動態框圖。系統的行為特征量是系統的輸出。總系統行為特征量是系統總輸出，系統中各環節的行為特征量是系統的中間輸出。

系統綜合預測，是控制系統動態研究的內容。其預測模型與前述數列預測、災變預測的預測模型不同。它不是一個孤立的GM（1，1）模型，而是一串相互關聯的GM（1，N）模型，即控制理論中的狀態模型，或者傳遞函數模型，這是一種輸出輸入關系，不是單一數列的變化關系。它不但可以了解整個系統的變化，還可以了解系統中各個環節的發展變化，一般屬于系統的綜合研究，因此稱為系統綜合預測。做系統綜合預測時，必須有某些量是自主的，是可以用GM（1，1）表征的。

4）灰色決策

決策就是指選定一個合適的對策，去對付某個事件的發生，以取得最佳效果。事件與對策的配合稱為局勢。例如：農業作物的合理布局問題、農業中的區劃問題、運籌學中的整數規劃問題。又例如：區域勞動力、資金、資源如何調配，使勞動力、資金、資源得到有效利用，得到最大效益，這也是局勢。在農業上是產業結構調整的問題，在數學上是線性規劃的問題，這些稱為灰色決策，是因為規劃模型都是按GM得到的。例如對局勢決策作簡要介紹：下雨是一個事件，為了對付下雨，可以帶雨傘、穿雨衣、戴斗笠。三個目標：經濟、美觀、方便。

5）灰色控制

決策的執行稱為控制。所謂灰色控制是指本征性灰色系統的控制，或系統中含灰參數的控制，或用GM（1，1）模型構成的預測控制。

1.3.2 關聯度分析

關聯分析是動態過程發展態勢的量化分析。說得確切一點，是動態發展態勢的量化比較分析。

灰色關聯分析，從其思想方法上來看，屬于幾何處理的范疇，其實質是對反映各因素變化特征的數據序列所進行的集合比較。用于度量因素之間關聯程度的灰色關聯度，就是通過對因素之間的關聯曲線的比較而得到的。例如：某一地區1998―2004年總收入、工業收入、農業收入如表1-5所示（單位：億元）。

表1-5 某地區1998—2004年收入表

用圖來映應表1-5，如圖1-4所示。

由圖1-4可以看出，工業收入的形狀與總收入的形狀相近，而農業收入與總收入相差較大。這說明，該地區對收入影響較直接的可以說是工業，而不是農業。在制定該地區經濟發展規劃時，顯然應著重發展工業。

圖1-4 某地區1998—2004年收入圖

這種因素分析的比較，實質上是幾種曲線間幾何形狀的分析比較，即認為幾何形狀越接近，則發展變化態勢越接近，關聯程度越大。因此按這種觀點作因素分析，至少不會出現異常。此外，對數據量也沒有太高的要求。不過直觀分析并不能算是一種方法，只能說是一種觀點。

但這種方法仍然存在一些問題：比如說如果這幾條曲線相差不大，有些雖然有差別，但各區段情況不一樣，難以用直接觀察方法來判斷個別曲線之間的關聯程度，而且這和直觀的幾何形狀的判斷比較，是不能量化的。因此我們有必要找出一種衡量因素間關聯程序大小的量化方法。

關聯分析包括許多內容，其中有數據列的表示方法、關聯系數的計算公式、關聯系數的計算、關聯度的解釋、數列的增值性，以及它的優勢分析。這些概念會在第3章為大家詳細闡述。

1.3.3 生成數

研究抽象系統，即社會系統、經濟系統，將遇到隨機干擾，大都用概率統計方法。但概率統計方法有如下不足。

?需要大量數據

?要求數據間存在統計規律

?要求統計規律是典型的（如正態分布、平穩過程）

?若信息量不足，結論不直觀

灰色系統的基本觀點是：一切隨機量都可看做是在一定范圍內變化的灰色量。比如大氣氣溫的變化是隨機量，氣溫高低，可將它當做是在±50℃范圍內變化的灰色量。對灰色量的處理不是找概率分布、求統計規律，而是用數據處理的方法來找數據間的規律。我們稱某種數據處理方式為一種數生成方式，數據生成即數據處理，這就是一種就數找數的規律的途徑。那么為什么可以這樣來處理灰色量呢？客觀世界盡管復雜，表述其行為特征的數據可能是雜亂無章的，然而它必然是有序的，有某種功能的，有某種因果關系的，或者說任何系統本身都有某種內在規律的，不過這些規律被復雜的現象所掩蓋，被數據間這種雜亂無章的表象所迷惑，對系統的行為特征數據進行集成，就是企圖從雜亂無章的現象中去發現內在規律。灰色系統常用的生成方式一般有三類：累加生成，記為AGO（Accumulated Generating Operation）；累減生成，記為IAGO（Inverse Accumulated Generating Operation）；映射生成。

1）累加生成

如果有原始數據X（0）=（X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）），

記生成數列為X（1），X（1）=X（0）（k）（k=1，2，…，n）=（X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n））

如果X（0）和X（1）之間滿足如下關系，即

X（X（0）（1），…，X（0）（k）=X（1）（k）（k=1，2，…，n）

則稱為一次累加生成。X（1）（k）的上標（1）表示1次累加生成，記為1-AGO。

如果X（2）為X（0）的二次累加生成，依此類推，X（0）（1）就是X（r）的r次累加生成。

x（0）（k）>0

舉例說明：x（0）=（x（0）（k）︱k=1，2，3，4，5）=x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），x（0）（4），x（0）（5）=（3.2，3.3，3.4，3.6，3.8）

求x（1）（k）

解：k=1,x（1）（1）=x（0）（1）=3.2

2）累減生成

將原始數列前后兩個數據相減，所得數據稱為累減生成。累減生成是累加生成的逆運算。

令x（r）為r次生成數列，對x（r）作i次累減生成記為α（i），其基本關系式為：

α（0）（x（r）（k））=x（r）（k）

α（1）（x（r）（k））=α（0）（x（r）（k））-α（0）（x（r）（k-1））

┇

α（2）（x（r）（k））=α（1）（x（r）（k））-α（1）（x（r）（k-1））

α（i）（x（r）（k））=x（i-1）（x（r）（k））-α（i-1）（x（r）（k-1））

式中，α（0）為0次累減，即無累減，從而有下述關系式：

α（1）為1次累減

α（i）為i次累減

從上式我們可以得到下述關系：

1.3.4 GM（1，1）模型

GM模型建模機理：灰色理論的微分方程性模型稱為GM模型，G表示grey（灰），M表示model（模型）。GM（1,N）表示1階的，N個變量的微分方程型模型，而GM（1，1）則是1階的，1個變量的微分方程型模型。GM模型的機理和特點有如下幾點。

（1）一般系統理論只能建立差分模型，不能建立微分模型。而灰色系統理論建立的是微分方程型模型。差分模型是一種遞推模型，只能按階段分析系統的發展，用于短期分析，只能了解系統顯露的變化。正如美國加利福尼亞大學T.C.Hsia在他專著Systems Identification中所指出：“盡管連續系統的離散近似模型對許多工程應用來講是有用的，但在某些研究領域中，人們卻常常希望使用微分方程模型。比如生命科學、經濟學、生物醫藥學等。在這些領域中，微分方程的系數描述了我們所希望辨識的系統內部的物理或化學過程的本質。”然而人們沒有找到建立這種模型的方法與途徑，正如T.C.Hsia指出“實際上由于導數信號是很難獲得的，所以解不存在”。而灰色理論，基于關聯度收斂原理、生成數、灰導數、灰微分方程等觀點和方法建立了微分方程型模型。

（2）系統行為數據列往往是沒有規律的，是隨機變化的。對隨機變量、隨機過程，人們往往用概率統計的方法進行研究。而概率統計的方法要求數據量大，必須從大量數據找統計規律，只便于處理統計規律中有較典型的概率分布，有平穩過程的這一類，對其他非典型分布、非平穩過程、有色噪聲的處理，都感到很棘手。總之，概率統計的研究方法計算工作量大，且可以解決和處理的問題較少，而灰色理論則將一切隨機變量看做是在一定范圍內變化的灰色量，將隨機過程看做是在一定范圍內變化的、與時間有關的灰色過程。對灰色量不是從統計規律的角度，通過大樣本量進行研究，而是用數據處理的方法（灰色理論稱為數據生成），將雜亂無章的原始數據整理成規律較強的生成數列再做研究。灰色理論認為盡管系統的行為現象是朦朧的、數據是復雜的，但它畢竟是有序的、是有整體功能的，因此雜亂無章的數據后面，必然潛藏著某種規律，而灰數的生成，就是從雜亂無章的原始數據中去開拓、發現，尋找這種內在規律，這是一種現實規律，不是先驗規律。

（3）灰色理論通過多個GM（1，N）模型來解決高階系統的建模問題。

（4）灰色理論通過模型計算值與實際值之差（殘差）建立GM（1，1）模型，作為提高模型精度的主要途徑。殘差的GM（1，1）模型，一般只注重現實規律，最新數據的修正，因此殘差GM（1，1）與主模型之間在時間上一般是不同步的。所以灰色預測模型經常是差分微分模型。

（5）用灰色理論建模，一般都采用三種檢驗方式。

a.殘差大小（或平均值、或最近一個數據的殘差值）的檢驗，按點檢驗。

b.關聯度檢驗，建立模型與指定函數之間近似性的檢驗。

c.后驗差檢驗，是殘差分布統計特性的檢驗。

（6）GM模型所得數據必須經過逆生成做還原后才能用。

設有特征灰色系統Xi（0）=[X（0）（1），X（0）（2），∧，X（0）（n）]，