習題三
1.設離散信源輸出兩個符號的序列，這兩個符號從符號集A＝｛0，1｝中隨機地選取，并且P（1）＝0.8，P（0）＝0.2，
（1）若這兩個符號的條件概率為P（0/1）＝0.1和P（1/0）＝0.4，求該信源的序列熵；
（2）若該信源是無記憶的，求該信源的序列熵，并與（1）的結果進行比較。
2.設具有4個等級的量化器的輸出序列為｛1，1，3，4，2，1，2，1，3，1，1，2，4，2，1，1｝，
（1）按無記憶信源計算其熵；
（2）按一階馬爾柯夫信源計算其熵，并與（1）的結果進行比較。
（提示：馬爾柯夫信源熵等于條件熵的加權平均，即熵以信源所處的某個狀態為條件，而加權值等于此狀態的概率。）
3.設x（n）的傅氏變換DFT為X（ejω），
（1）證明x（n）經2∶1抽取后的頻譜為
；
（2）證明x（n）經1∶2內插后的頻譜為X（ej2ω）；
（3）若X（ejω）如圖所示，畫出經抽取和內插后的幅度譜示意圖。
4.求（3-32）式和（3-33）式所示的內插濾波器的傳輸函數H（ejw），并用Matlab畫圖。根據圖比較這兩種方法的優劣。
5.將線性內插方法擴展到二維信號，就得到雙線性內插方法。它利用相鄰4個像素（如下圖中深色方塊A，B，C，D）內插出4者之間區域內任意點（如下圖中a）上的數值，具體做法是：在一個方向（如行方向）上利用線性內插分別求出與a同列、與A、B同行和與a同列、與C、D同行的兩個像素值；再將這兩個像素值在另一個方向（列方向）上通過線性內插求出a的數值。根據上述思想，寫出用A、B、C、D表示的a的內插值。
習題3圖
習題5圖
6.為什么內插濾波器和抗混疊濾波器通常都使用FIR濾波器，而不是IIR濾波器？
7.用公式說明為什么圖3-15與圖3-13相比，解碼器輸出更接近于編碼器輸入（殘存量化誤差小）？
8.在具有運動補償的幀間預測編碼中，如果運動矢量估計得不準確產生的后果是什么，會不會引起解碼后的圖像失真，為什么？
9.根據圖3-21所示，請說明
（1）初始（第一步）的搜索點是如何確定的？
（2）第二步的搜索點是如何確定的？
（3）為什么選擇左上方點進行第3步搜索？
（4）搜索是如何中止的？是否使用了早期中止策略？
10.（1）若Σ是對稱實數矩陣，且φ是N維矢量，證明Δφ[φT ΣX φ]＝2ΣXφ和Δφ[φTφ]＝2φ；
（2）利用上述結論，在MMSE準則下，證明（3-61）式。
11.設有一個信源矩陣X如圖所示。
（1）用下述正交矩陣進行變換，稱為哈達瑪變換。求上述信源矩陣的變換系數矩陣Y；
習題11圖
（2）根據以上結果說明哈達瑪變換是否具有能量集中特性，能否用于數據壓縮；
（3）寫出哈達瑪反變換的公式。
12.已知信源協方差矩陣為
試計算最佳變換的變換矩陣T，并求信號經變差矩陣ΣY。
13.用C或Matlab編程計算下列圖像塊的DFT和DCT。從數據壓縮的角度，對這兩個變換進行比較。
14.對圖中所述三種8×8的亮度圖形進行DCT變換后，估計（不必實際計算）在系數矩陣的哪些位置上，變換系數有較大數值。
習題14圖
15.說明第2章習題4圖中兩個正弦光柵的DCT頻率譜是否相同？解釋原因。
16.指出圖3-34中的每一個步驟與3.7.3節中的哪一個（或哪幾個）公式相對應，從而說明在TDAC編碼過程中混疊失真是如何抵消的。
習題17圖
17.設一圖像經圖3-37所示的多層小波分解后，其系數如圖所示。按照EZW算法，
（1）確定初始門限值，并進行第1次主掃描，得到顯著系數表；
（2）進行第1次輔掃描，得到加細量化表；
（3）縮小門限值，繼續進行上述兩步掃描，直至門限值為1。寫出最后得到的編碼碼流。
18.設有一離散無記憶信源
（1）計算該信源的熵；
（2）為該信源構造一霍夫曼碼，并計算平均碼長及編碼效率；
（3）為什么該碼的編碼效率小于1？試總結在什么情況下，霍夫曼碼的編碼效率能夠達到1？（提示：符號Si攜帶的信息量是多少？表示Si的碼字的碼長是多少？）。
19.根據下述碼表產生的碼字序列，在譯碼時是否是無歧義的？說明原因。
20.假設有下表所示的5種運動矢量，其出現的概率如表所示。試用一般算術編碼對MV序列｛－2，－1，0，2｝進行編碼，
（1）給出編碼過程和最后輸出的碼字（允許最后一位不能正確解碼）；
（2）輸出碼字需要用幾比特表示？編碼效率為多少？
（3）同一序列若采用霍夫曼編碼，編碼效率為多少？