3.9 量化

量化是將具有連續幅度值的輸入信號轉換到只具有有限個幅度值的輸出信號的過程。量化后的信號再經反量化一般不能精確地恢復原有值，即存在信息缺失。在壓縮編碼中，量化是一個對壓縮后的碼率和重建圖像質量均產生重要影響的步驟。

3.9.1 均勻量化器

在量化器中從輸入信號x到輸出信號y的轉換過程可以表示為

y＝Q（x）＝yi （x∈Ai）　（3-129）

Ai∶｛xi＜x≤xi＋1｝

式中，xi為判決電平；yi為輸出電平。

圖3-39給出了幾種均勻量化器的量化特性Q（x）。圖中量化器的特性都是對稱的，且

式中，Δ稱為量化臺階或量化步長。圖3-39（a）所示的量化特性稱為中平型（Mid-Step，或Mid-Tread），而圖（b）所示的稱為中升型（Mid-Riser）。二者的區別僅在于輸出電平是否包括了零電平。除了（a）、（b）兩種特性以外，在壓縮編碼中還常常用到圖（c）所示的量化特性。圖（c）與（a）所示特性的區別在于輸出零電平所對應的輸入電平范圍較寬，因而有利于數據的壓縮。這個較寬的范圍通常稱為死區（Deadzone）。

量化器輸出幅度與輸入幅度之差，稱為量化誤差，其均方誤差值σ2d為

式中，p（x）為量化器輸入信號x的概率分布密度，N為量化級數。

3.9.2 最小均方誤差量化器

如果輸入信號的統計特性[如概率密度函數p（x）]是已知的，則可以通過使均方量化誤差σ2d達到最小，來設計量化級數為N的量化器的輸出電平yi和判決電平xi。這樣得到的量化器通常稱為勞依得—麥克思（Loyd-Max）量化器。

使均方量化誤差

為最小的必要條件是，σ2d對xi和yi的偏導數均為零。由此得到

（3-134）式說明，最小均方誤差量化器的判決電平應取在兩相鄰輸出電平的中間，而（3-135）式說明，該量化器的輸出電平應選擇在兩相鄰判決電平間隔所對應的概率密度函數的重心。如果概率密度函數不是均勻分布的，那么所得到的最佳量化器是一個非均勻量化器。圖3-40（a）給出了一個非均勻量化特性的例子。

量化器的非線性程度可以通過曲線C（x）來表示[見圖3-40（b）]。圖中給出了動態范圍為[－xmax，xmax]、級數為N的均勻量化器和非均勻量化器特性之間的對比。當N足夠大時，C（x）的斜率近似為兩個量化器的量化臺階之比，即

3.9.3 最小熵量化器

級數為N的量化器的輸出通常以二進制方式編碼。每個樣值所對應的碼字的長度L用下式表示：

L≥log2N （比特/樣值）　（3-137）

當N為2的整數冪時，上式取等于號。

假設將量化器輸出視為一個具有N個符號的離散無記憶信源（例如，在具有最佳預測器的DPCM系統中，可以足夠精確地假設量化器輸出是統計獨立的），則該信源的熵H（Q）為

式中，Pi為量化器輸出電平yi出現的概率。Pi由下式給出：

H（Q）代表了信源的平均信息量。我們將會從3.10節中了解，利用熵編碼（通常是變長的）可以將輸出碼字的平均碼長降至接近于或等于信源的熵。這就是說，當熵編碼是理想的時候，它可以將平均碼長壓縮到比采用二進制編碼時短，二者的差值記為ΔL，則

ΔL＝log2N－H（Q）　（3-140）

為了使ΔL盡可能地大，我們將量化器的設計優化問題重新定義為：在給定σ2d的條件下，求判決電平和輸出電平，使得輸出熵為最小值。也就是說，我們把量化器和熵編碼結合在一起來考慮它們的聯合優化問題。與3.9.2節中最小均方誤差準則下的最佳量化器相對應，這樣設計的量化器稱為最小熵量化器。

當量化級數N足夠大，即量化臺階足夠小時，我們可以假設在xi和xi＋1之間p（x）是一個常數，且yi取xi和xi＋1的平均值，則

其中Δi＝xi＋1－xi為第i個量化臺階。將（3-141）式和（3-136）代入（3-132）式，得到

同樣由于N足夠大，（3-138）式可以寫成

其中第一項近似為量化器輸入信號x的熵H（X）。將（3-136）式代入（3-143）式，得到

根據拉格朗日乘數法，在σ2d為常數的條件下求H（Q）的極小值問題，可以變為求下式的極值問題：

其中λ為任意常數。令（3-145）式對dC（x）/dx的導數為零，得到

在圖3-40（b）所示的C（xmax）＝xmax和C（0）＝0的邊界條件下，則有

Copt（x）＝x　（3-147）

上述結果說明，當N足夠大時，對于給定的量化失真，最小熵量化器是一個均勻量化器。

關于量化器和熵編碼聯合優化的問題，也可以從另一個角度來進行，即在給定熵H（Q）的條件下，求判決電平和輸出電平，使得量化誤差σ2d為最小值。此時獲得的量化器稱為熵約束最佳量化器。從這個角度進行的優化結果表明，當N足夠大時，均勻量化器也接近于最佳。如果我們在量化器和熵編碼的聯合優化中，將熵H（Q）看成“速率”（熵編碼輸出的每符號比特數），那么無論是在失真約束下最小化速率，還是在速率約束下最小化失真，均勻量化器都是或者接近于最佳的。因此，在圖像和視頻壓縮編碼的國際標準中，都采用了均勻量化和熵編碼結合的方法。

3.9.4 自適應量化

在壓縮編碼中還常常使用自適應量化器。自適應量化器有一組預先設定好的、具有不同量化臺階的均勻量化器，在工作時根據信號特性的動態變化自動切換到相應的量化器（即切換到相應的量化步長）。例如在圖像數據壓縮中，根據視覺的空間域掩蔽效應，在圖像細節豐富的部位使用量化步長大的量化器，在細節少的部位使用量化步長小的量化器，以使圖像各部位由量化而產生的噪聲的能見度大致相同。

度量圖像細節的豐富程度可以有多種準則，例如，在空間域中，以相鄰像素間的灰度之差的絕對值為依據、以已接收到的前幾個像素預測誤差值的加權和為依據，或直接以預測誤差信號本身為依據等。一種頻域度量方法則是，定義圖像的活動性（Activity）函數AF，

式中，yi為第i次系數；q為歸一化常數；N為變換系數的個數。由于上式的求和符號中沒有包含i＝0的系數，因此AF代表了圖像AC分量的能量（即空間域亮度變化的快慢）。根據AF值的大小將圖像塊分為幾種類型，每一種類型使用不同的量化器。值得指出，多數判斷準則都以解碼端也同時具備的信息為依據，這樣不必將量化臺階變動的情況傳送給解碼端，解碼端就能夠根據同一準則正確地解量化。

3.9.5 預測誤差和DCT系數的量化

預測誤差通常近似地遵從拉普拉斯分布。已知概率分布，根據前面介紹的方法，即可設計量化器。

用量化后的預測誤差重建原來的信號將引入失真，典型的失真情況如圖3-41所示。在信號較為平坦處（預測誤差小），信號微小的變化使量化后的預測誤差在量化器兩個最小電平之間波動，造成重建信號的顆粒噪聲（Granular Noise）。當信號忽高忽低時，預測誤差的變動較大，如果量化粗糙的話，重建信號將產生邊緣忙亂（Edge Business）。在信號的上升沿較陡（預測誤差幅度很大）時，如果量化器的動態范圍（最高量化電平）過小，重建信號將“趕不上”原信號的變化，這稱為斜率過載（Slope Over load）。

預測誤差的量化誤差只引起周圍鄰近區域內（局部）圖像的失真，而一個DCT系數的量化誤差卻對產生此系數的整塊（全局）圖像的質量產生影響。考慮到圖像特性的空間不均勻性，通常將一幅圖像劃分成8×8或16×16的塊，再對塊圖像進行變換。在圖像分塊做DCT時，直流（及低頻）分量的量化誤差將擴大塊與塊之間平均灰度的差異，從而在重建圖像上顯現出明顯的分塊結構，稱為塊效應。DCT的高頻系數在其幅度相當小時，將被“截斷”（即量化到零）。高頻系數的量化誤差（包括因截斷而產生的誤差），將降低圖像的分辨率，使細節模糊；在亮度突變的附近由于吉布斯（Gibbs）效應而產生亮暗相間的條紋（Ringing），同理在彩色突變處產生顏色的泄漏（Color Bleeding）等。在活動圖像序列中，這些失真還可能造成原來被運動物體遮擋而新暴露出來的背景處出現“臟痕”。

與預測誤差的量化相同，變換系數的量化器也要根據其概率分布來設計。圖像信號DC分量的概率分布一般近似為均勻分布。至于AC分量的分布，雖然以前很長一段時間曾沿用高斯分布，但實際上用均值為零的拉普拉斯分布來近似更為適合。