3.4 取樣頻率的轉(zhuǎn)換

我們知道，對(duì)于某一給定的模擬信號(hào)，取樣頻率越高，取樣后所獲得的樣值越多，編碼后的比特率也就越高。在某些情況下，在已經(jīng)獲得了數(shù)字信號(hào)之后，可能希望通過(guò)降低原有數(shù)字信號(hào)的取樣率來(lái)降低信號(hào)的碼率，例如由于傳輸帶寬的變化，希望從傳送高分辨率（720×576）的圖像改為傳送低分辨率（360×288）的圖像。這種由高取樣率的樣值去推算低取樣率樣點(diǎn)數(shù)值的技術(shù)，在數(shù)字信號(hào)處理中稱為抽取，或下取樣。相對(duì)應(yīng)地，由低取樣率的樣值去估計(jì)較高頻率的取樣點(diǎn)上的數(shù)值，這種技術(shù)稱為內(nèi)插，或上取樣。如何在降低取樣率時(shí)盡可能地減少混疊失真，以及如何在內(nèi)插時(shí)獲得盡可能準(zhǔn)確的估值，是本節(jié)討論的主要內(nèi)容。

3.4.1 下取樣

下取樣也稱為亞取樣。圖3-5（a）是一個(gè)離散時(shí)間（或空間）信號(hào)的頻譜，其取樣頻率f1略高

于奈氏頻率。如果我們希望將取樣頻率降低到f2＝f1/n（n為正整數(shù)），而f2低于奈氏頻率時(shí)，不能簡(jiǎn)單地采取隔n個(gè)樣點(diǎn)抽取一個(gè)、丟棄其余樣點(diǎn)的做法，因?yàn)檫@樣作完全等效于用f2作為取樣頻率直接對(duì)原模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣，將會(huì)造成頻譜的混疊。對(duì)頻譜如圖（a）所示的離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行2抽1（每隔1個(gè)樣點(diǎn)丟棄1個(gè)樣點(diǎn)）以后造成混疊失真的情況如圖（b）所示，圖中陰影部分為頻譜混疊的區(qū)域。當(dāng)圖中的橫坐標(biāo)以對(duì)取樣頻率歸一化的角頻率ω度量時(shí)，0～2π表示了頻譜的一個(gè)周期，[0，π）區(qū)間對(duì)應(yīng)于正頻率部分，[π，2π）區(qū)間對(duì)應(yīng)于負(fù)頻率部分。在數(shù)字信號(hào)處理中，對(duì)于周期性延拓的頻譜，通常只針對(duì)1個(gè)周期進(jìn)行討論。

在上面的例子中，一種避免混疊失真的做法是，先用一個(gè)截止頻率為f1/2的低通濾波器將圖3-5（a）所示頻譜的基帶部分取出，恢復(fù)出原來(lái)的模擬信號(hào)；然后用另一低通濾波器將此模擬信號(hào)的帶寬限制到f2/2，再重新取樣得到取樣頻率為f2的樣值[見圖3-6（a）]。實(shí)際上，我們可以省略恢復(fù)模擬信號(hào)的中間步驟，將圖中的兩個(gè)濾波器合并為一個(gè)，其截止頻率由帶寬較窄的濾波器確定（f2/2）。此濾波器稱為抗混疊濾波器。

圖3-6（b）從頻譜的角度描述了下取樣的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。其中X（ejw）是輸入信號(hào)x（n）的頻譜；|H（ejw）|是抗混疊濾波器的頻率響應(yīng)，它的截止頻率為f1/2n，n為下取樣的比值（圖中n＝4）；|W（ejw）|為通過(guò)抗混疊濾波器后信號(hào)w（n）的頻譜，它的最高頻率被限制到下取樣頻率（f1/n）的1/2；|Y（ejw′）|為經(jīng)下取樣后的信號(hào)y（m）的頻譜。值得注意，圖中的ω和ω′是分別相對(duì)于f1和f2歸一化的。

抗混疊濾波器通常用FIR數(shù)字濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，它的基本構(gòu)成如圖3-7所示，其中z－1代表一個(gè)時(shí)鐘周期的延時(shí)。由圖可知，濾波器的輸出信號(hào)為

不難看出，該濾波器的沖激響應(yīng)為｛a（i），i＝0，1，…，M－1｝，是有限長(zhǎng)度的。FIR濾波器在工作時(shí)通常要對(duì)w（n）每一個(gè)樣值進(jìn)行計(jì)算（加權(quán)、求和），但在下取樣中使用時(shí)，有數(shù)量眾多的樣值最終要被丟棄，對(duì)這些將要被丟棄的樣點(diǎn)值進(jìn)行計(jì)算是一種資源的浪費(fèi)。如果將FIR和再抽樣結(jié)合在一起，則可以有效地解決這個(gè)問(wèn)題。此時(shí)，圖3-7中的延時(shí)單元按輸入信號(hào)的時(shí)鐘頻率f1工作，而乘法器和加法器則工作在較低的輸出信號(hào)的時(shí)鐘頻率f1/n上。

3.4.2 上取樣

取樣定理告訴我們，以不低于奈氏頻率取樣得到的離散時(shí)間（或空間）信號(hào)，經(jīng)過(guò)截止頻率為1/2取樣頻率的理想低通濾波器，可以完全（無(wú)差錯(cuò)）地恢復(fù)出原來(lái)的模擬信號(hào)來(lái)。圖3-8說(shuō)明了這個(gè)過(guò)程。由于理想低通的沖激響應(yīng)為sinc函數(shù)，信號(hào)的每個(gè)樣值（圖中的黑點(diǎn)）通過(guò)濾波器后形成一個(gè)sinc脈沖，這些sinc脈沖相互疊加的結(jié)果就得到原來(lái)的模擬信號(hào)f（t）。由此可見，通過(guò)理想低通濾波器，我們可以獲得輸入樣值之間任意點(diǎn)的內(nèi)插值，截止頻率為1/2取樣頻率的理想低通濾波器可以稱為理想內(nèi)插濾波器。由于理想低通是不能實(shí)現(xiàn)的，只能采用矩形窗或其他形式的低通窗截?cái)嗪蟮膕inc函數(shù)作為內(nèi)插濾波器的沖激響應(yīng)；而且在上取樣中，我們只需要得到在上取樣頻率樣點(diǎn)（而不是任意點(diǎn)）上的內(nèi)插值，因此內(nèi)插濾波器可以采用FIR數(shù)字濾波器，并不必須是模擬濾波器。

圖3-9給出了上取樣的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。首先在取樣率為f的輸入序列中插入零值樣點(diǎn)，使其達(dá)到要求的輸出取樣率f′＝Lf；然后對(duì)這些樣點(diǎn)上的值進(jìn)行估計(jì)，這可以讓此序列通過(guò)內(nèi)插濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)。圖下方左列給出了系統(tǒng)各點(diǎn)的時(shí)間波形（L＝3），右列給出了它們對(duì)應(yīng)的頻譜。由圖看出，插入零值樣點(diǎn)并不改變信號(hào)的頻譜，而只改變了觀察的頻率區(qū)間。由于取樣頻率上升了3倍，一個(gè)用上采樣頻率f′歸一化的頻譜周期對(duì)應(yīng)于原取樣頻率f下的三個(gè)周期。經(jīng)過(guò)內(nèi)插低通濾波器h（m）之后，只有w（m）的低端頻譜保留，從而得到在上取樣頻率下的信號(hào)y（m）。

假設(shè)圖3-9的內(nèi)插濾波器的沖激響應(yīng)h（m）如圖3-10（a）所示，這里m代表與取樣點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的時(shí)間t的離散值。h（m）的包絡(luò)是一個(gè)sinc函數(shù)，由于濾波器的截止頻率為原取樣頻率的1/2，即f/2，所以h（m）的主瓣寬度由輸入信號(hào)的取樣周期（1/f）決定。而濾波器需要內(nèi)插出取樣頻率為3f的樣點(diǎn)值，因此h（m）的取樣周期應(yīng)為1/3f。按照數(shù)字濾波器的一般設(shè)計(jì)方法，濾波器的所有單元都應(yīng)工作在較高的頻率f′＝3f上，但是如果采用圖3-10（b）所示的分相位內(nèi)插的方法，各單元的工作頻率則可以降低到f。由圖看出在這種方法中，濾波器沖激響應(yīng)h（m）由h0（m）、h1（m）和h2（m）三個(gè)并行分支組成，h1（m）和h2（m）相對(duì)于h0（m）分別有1/（3f）和2/（3f）的延時(shí)。取樣開關(guān)每隔1/f′切換一個(gè)分支，依次選擇不同分支的輸出。

線性內(nèi)插是一種廣泛使用的內(nèi)插方法，它利用兩相鄰樣值的加權(quán)和內(nèi)插出二者之間任意位置上的數(shù)值，每個(gè)樣值的權(quán)值與該樣值到內(nèi)插位置的距離成反比。假設(shè)對(duì)圖3-11（a）所示的圖像進(jìn)行2∶1上取樣，其中，深色方塊為輸入圖像的像素，淺色方塊為需要內(nèi)插出的像素。對(duì)于像素b有

b＝round[（G＋H）/2]（3-32）

由于b與G和H的距離相等，因此使用了相同的權(quán)值。從內(nèi)插濾波器的角度來(lái)看，（3-32）式代表的是一個(gè)雙抽頭的FIR濾波器，其沖激響應(yīng)如圖（b）的上一行所示。讓我們?cè)賮?lái)看另一種內(nèi)插方法：每個(gè)半像素位置（如b，h，m，s）上的值都由一個(gè)沖激響應(yīng)（權(quán)值）為｛1/32，－5/32，5/8，5/8，－5/32，1/32｝的6抽頭FIR濾波器內(nèi)插出來(lái)。例如，

b＝round[（E－5F＋20G＋20H－5I＋J）/32]（3-33）

圖（b）的下一行畫出了該濾波器的沖激響應(yīng)。比較圖3-11（b）所示的兩個(gè)沖激響應(yīng)，h2比h1更接近于理想內(nèi)插濾波器的沖激響應(yīng)（sinc函數(shù)），因此，其對(duì)應(yīng)的內(nèi)插結(jié)果更接近于原模擬信號(hào)在新抽樣頻率上的樣值。

3.4.3 分?jǐn)?shù)比率轉(zhuǎn)換

在有些情況下，上取樣或下取樣的倍數(shù)不一定是整數(shù)。此時(shí)，取樣頻率從f1＝mf到f2＝nf（m與n之比不為整數(shù)）的轉(zhuǎn)換，可分成兩個(gè)整數(shù)比率的轉(zhuǎn)換進(jìn)行。第一步將f1內(nèi)插到數(shù)值為f1和f2的最小公倍數(shù)的頻率mnf上；第二步再對(duì)所得到的序列用f2重新取樣。圖3-12表示出這一過(guò)程。圖中第一個(gè)濾波器為內(nèi)插濾波器，第二個(gè)為重新取樣前的反混疊濾波器。在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，這兩個(gè)濾波器可以合并為一個(gè)，其截止率為f1和f2之中較低的一個(gè)。