2.1 數制與編碼

數制是人們利用符號進行計數的科學方法。數制有很多種，在嵌入式系統中常使用的有二進制、十進制和十六進制。

數制所使用的數碼的個數稱為基，數制的每一位所具有的值稱為權。

2.1.1 進位計數制

1.十進制計數制

十進制的基為10，即它所使用的數碼為0～9，共10個數字。十進制各位的權是以10為底的冪，每個數因所處位置不同，其值是不同的，每一位數是其右邊相鄰那位數的10倍。

計數規律：逢10進1。

任意一個十進制數（S）10，可以表示為

（S）10=kn-110n-1+kn-210n-2+…+k0100+k-110-1+k-210-2+…+k-m-110-m-1

式中，ki是0～9中的任意一個數字，m、n是正整數，10是十進制的基數。

【例2.1】 （2001.9）10=2×103+0×102+0×101+1×100+9×10-1

十進制在書寫中通常可省去下標，如2001.9即表示（2001.9）10。

十進制是日常生活中常用的數制，人機交互也常采用十進制。

2.二進制計數制

二進制的基為2，即它所使用的數碼為0、1，共兩個數字。二進制各位的權是以2為底的冪，每個數因所處位置不同，其值是不同的，每一位數是其右邊相鄰那位數的2倍。

計數規律：逢2進1。

任意一個二進制數（S）2可以表示成

（S）2=kn-12n-1+kn-22n-2+…+k020+k-12-1+k-22-2+…+k-m-12-m-1

式中，ki只能取0或1，m、n是正整數，2是二進制的基數。

【例2.2】 （1101.101）2=l×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

二進制數只有兩個數碼，即0和1，在電子計算機中容易實現。例如，可以用高電平表示1，低電平表示0，或者用晶體管截止時的輸出表示1，導通時的輸出表示0。所以，采用二進制就可以利用電路進行計數工作。二進制數的運算規則類似于十進制，加法為逢2進1，減法為借1為2。利用加法和減法就可以進行乘法、除法及其他數值運算。

由于二進制位數太長，不易記憶和書寫，所以人們又提出了十六進制的書寫形式。

3.十六進制計數制

十六進制的基為16，即它所使用的數碼為0～9和A～F，共16個數字。十六進制各位的權是以16為底的冪，每個數因所處位置不同，其值是不同的，每一位數是其右邊相鄰那位數的16倍。

計數規律：逢16進1。

任意一個十六進制數（S）16可以表示成

（S）16=kn-116n-1+kn-216n-2+…+k0160+k-116-1+k-216-2+…+k-m-116-m-1

式中，ki可取0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F這16個數碼和字母之一，用A～F表示10～15；m、n是正整數；16為十六進制的基數。

【例2.3】 （8AE6）16=8×163+A×162+E×161+6×160

十六進制數在書寫中可使用另一種表示方式，如（8AE6）16可表示為8AE6H。

2.1.2 進位計數制的相互轉換

人們習慣使用的是十進制數，計算機采用的是二進制數，人們書寫時又多采用十六進制數，因此，必然產生各種進位計數制之間的相互轉換問題。

1.十進制數轉換成十六進制數

一個十進制整數轉換成十六進制數時，按除16取余的方法進行。

【例2.4】

轉換結果=（725）10=（2D5）16。

一個十進制小數轉換成十六進制小數時，可按乘16取整的方法進行。

【例2.5】

轉換結果=（0.7875）10=（0.C99）16。

注意：小數轉換不一定能算盡，只需算到一定精度的位數即可，因此可能會產生一些誤差，但當位數較多時，這個誤差就很小了。

如果一個十進制數既有整數部分又有小數部分，可將整數部分和小數部分分別進行十六進制數的等值轉換，然后合并即可得到結果。

2.十六進制數轉換成十進制數

十六進制數轉換成等值的十進制數時，可用按權相加的方法進行。

【例2.6】

（1C4.68）16=1×162+C×161+4×160+6×16-1+8×16-2=256+192+4+0.375+0.03125=（452.40625）10

3.十六進制數與二進制數的轉換

一位十六進制數表示的數值恰好相當于4位二進制數表示的數值，因此彼此之間的轉換極為方便，只要從小數點開始分別向左右展開即可。

【例2.7】

（3AB4）16=（0011101010110100）2

（11111101.01001111）2=（FD.4F）16

可見，在計算機中用十六進制書寫要比用二進制書寫簡短，而且用十六進制表示的數據信息很容易轉換成二進制表示。這就是普遍使用十六進制數的原因。

當十進制數轉換成二進制數時，可采用十六進制數作為中間過渡。

2.1.3 數碼和字符的代碼表示

1.術語

數碼：代表一個確切的數字，如二進制數、八進制數等。

代碼：特定的二進制數碼組，是不同信號的代號，不一定有數的意義。

編碼：n位二進制數可以組合成2n個不同的信息，給每個信息規定一個具體碼組，這個過程叫做編碼。

2.二進制碼

自然碼：有權碼，每位代碼都有固定權值，結構形式與二進制數完全相同。

循環碼：無權碼，每位代碼無固定權值，任何相鄰的兩個碼組中，僅有一位代碼不同。

自然二進制碼和循環二進制碼如表2.1所示。

表2.1 兩種4位二進制編碼

3.二-十進制碼（BCD碼）

BCD碼是用二進制代碼對十進制數進行編碼，它既具有二進制碼的形式（4位二進制碼），又有十進制數的特點（每4位二進制碼是1位十進制數）。BCD碼有多種形式，單片機系統軟件中常常用到8421BCD碼，編碼值與字符0～9的低4位碼相同，易于實現人機交互。

【例2.8】

（1999）10=（0001100110011001）BCD

（0110100001000000）BCD=（6840）10

4.字母與字符的編碼

嵌入式計算機系統不僅能夠對數值數據進行處理，還能夠對文本和其他非數值數據信息進行處理。計算機中這些非數值數據如字母、字符等都要用特定的二進制碼表示。字母與字符用二進制碼表示的方法很多，目前在計算機中普遍采用的是ASCII碼（American Standard Code for Information Interchange，美國標準信息交換碼）。常見的ASCII碼，采用7位二進制數（00H～7FH）表示一個字符，包括10個十進制數碼0～9，52個英文大、小寫字母（A～Z，a～z），32個專用符號和32個控制符號，共計128個字符。在128個字符中有96個是可打印字符，32個是不可打印的字符。ASCII字符編碼如表2.2所示。

表2.2 ASCII碼字符表

在計算機的存儲單元中，一個ASCII碼值占一個字節（8個二進制位），低7位（b6～b0）表示不同的字符代碼，其最高位（b7）用做奇偶校驗位。

除標準ASCII碼外，有的公司通過使用字節最高位（b7）將ASCII碼擴展到256個，增加80H～0FFH共128個字符，一般稱為“擴充字符”，并非標準的ASCII碼。