2　在有偏差的硬幣上投注

簡介¹

想象一下，你受邀去聽一個人的演講，他是一家對沖基金的聯合創始人，這家基金在25年前以失敗而聞名。你出現在這個演講現場，希望聽到一些有價值的見解，或者至少是一些有趣的故事，但相反，演講者給了你25美元，讓你拿出筆記本電腦拋電子硬幣30分鐘并投注。在這個過程中，你被告知硬幣正面朝上的概率是60%，每次拋硬幣時你必須決定投正面或反面并決定投注多少。每次投注盈虧的結果與投注金額相等，即如果你下注1美元并贏了，你的資金增加1美元到2美元，如果你輸了，它會減少1美元。你可以在現有資金范圍內任意下注，在半小時結束時你的賬戶上顯示的金額都是你的，不過對你的支付存在一個最高上限。如果你的賬戶余額接近這個上限，這個上限就會顯示出來。

就是這樣一個游戲。你覺得值得花時間玩嗎？你會怎么玩這個游戲？你會使用什么啟發式的思維工具箱來參與這個游戲？這些問題促使維克多和他的同事理查德·杜威進行了剛才所說的實驗。通過讓參與者參與像拋硬幣一樣簡單的活動，很容易觀察投注策略及其演變。此外，你會發現這個簡單的游戲具有類似于投資股票市場的特性，并且對金融學和經濟學教育也有意義。

實驗

在安靜的辦公會議室或大學教室里，61名受試者以2到15人為一組進行拋硬幣實驗。該游戲的監考人員簡要介紹了一些基本原則，比如禁止交談或合作，并且受試者在玩游戲時不得使用互聯網或其他資源。

實驗開始時，受試者被引導到一個專門設計的應用程序中，該應用程序用于對模擬硬幣的投擲下注。在開始之前，參與者閱讀了游戲的詳細描述，其中包括一個清晰的、粗體字的聲明：模擬硬幣有60%的機會正面向上，40%的機會反面向上。

參與者每人獲得25美元的啟動資金，并以文字和口頭形式被告知，他們將獲得游戲結束時的賬戶余額，但有最高支付上限。如果受試者下注成功，其余額大于或等于上限，則最高支付上限會被顯示出來。上限設定為250美元，是初始資金的10倍。參與者被告知他們可以玩30分鐘的游戲，如果他們接受了25美元的賭注，無論他們是否達到贏錢的上限、破產還是選擇根本不玩，他們都必須在這段時間內留在房間里。參與者的下注可以是任何金額，可以以1美分為變量來設置每次下注的金額，最多可以是他們的賬戶余額，來押正面或反面。在開始游戲前，他們會被問及一系列關于他們個人背景的問題，在游戲結束后會被問及游戲的體驗。

參與實驗的樣本由49名男性和12名女性組成，他們主要是經濟和金融專業的大學生，以及在金融公司工作的年輕專業人士，其中包括兩家頭部資產管理公司的14名分析師和研究助理。我們有理由認為，這些參與者應該已經做好了充分的準備，可以玩一個具有明確的正期望值的簡單游戲。

最優策略

在描述最優策略之前，也許你想花點時間考慮一下，如果有機會玩這個游戲，你會怎么做。知易行難，或者你可以去我們的網站，自己玩這個游戲：www.elmwealth.com/coin-flip/。

一旦你繼續讀下去，你就會被“知識的詛咒”所折磨，讓你很難以初見這個游戲的視角審視這個游戲。所以，如果你想花點時間思考一下你的策略，那現在就玩這個游戲。

為了找出最優策略，首先我們需要定義我們想要最大化的目標。考慮到這個游戲的設置，特別是所涉及的利益對玩家的長期財務狀況并不重要，于是一個合理的目標是在這個30分鐘游戲結束時獲得最多的錢。有了這個目標，原則上我們可以查看各種各樣的投注策略，找出哪一種平均收益最高。

讓我們來看看三種基本的投注策略，看看它們的效果如何。假設玩家每次投擲都是投正面：

• 固定比例投注，即要求每次擲硬幣時，玩家的投注占其當前資金的百分比相同。
• 固定數額投注，即要求在每次投擲硬幣時，投注相同的金額。
• 加倍下注，最初被稱為“鞅系統（Martingale System）”，于18世紀的法國發展起來，即每次輸后都會加倍下注。其理念是，第一次獲勝的下注將彌補之前的所有損失，并獲得與最初賭注相等的利潤。

我們假設一個玩家可以在30分鐘內投注300次。在表2.1中，我們展示了針對三種策略，在10000組模擬的300次有偏差的硬幣投擲中得出的統計數據。我們嘗試了固定比例投注策略的四種不同投注比例。對于我們提出的其他兩種策略，我們選擇了每種策略中能獲得最高預期結果的投注規模。

投注百分比在10%到20%之間的固定比例投注策略產生的預期收益非常接近上限，所以在這個游戲的設定中，這些是接近最優的策略。即使一個玩家只能投注150次，這些策略仍然會帶來大約200美元的預期收益。而且，固定數額投注策略和加倍下注策略都表現不佳不足為奇。在固定數額投注策略中，如果正好有60%的投擲是正面，你就能賺到250美元，但如果投擲正面哪怕少1次，你就不會賺到上限，這就是為什么達到上限的概率大約是50%。

在加倍下注策略下，我們的玩家大約有40%的概率會因為游戲過程中過長的連續反面而無法存活導致破產。這就是這個策略的主要問題：投注規模會隨著時間的推移呈指數級增長——翻倍，然后翻倍，再翻倍——所以最終投注規模會等于或大于你的總資金。如果你玩的時間足夠長，你幾乎肯定會輸掉你的全部資金，只有微小的盈利機會，這就是為什么這種類型的投注被統稱為“賭徒的毀滅”。一些賭徒和股市日內交易員認為，這種策略可以從概率對玩家不利的游戲中獲得利潤，因為最終肯定會有一次贏的投注。事實證明，只有當玩家擁有無限的金錢和時間時，這種策略才能將不利的游戲轉變為成功的金融煉金術。對于像我們這樣的凡人來說，幾乎可以肯定的是，我們最終會破產。

目前，我們將每次投注10%的資產作為這個擲硬幣游戲的最佳策略，盡管從技術上講，有一個稍微更好的策略，即在30分鐘的時間限制接近尾聲時，如果上限還沒有達到，就加大賭注。但簡單的10%策略就可獲得最高贏錢額的96%——這看起來確實足夠好了，比其他簡單的選擇要好得多。我們將在下一章討論一個簡單的經驗法則來確定像這樣的投注，我們的玩家可以利用這個法則，在接近最佳策略的范圍內得到很好的結果。

調查結果：我們的玩家玩得如何

“你們是怎么破產的？”“慢慢地，然后突然地。”

——海明威，《太陽照常升起》

游戲中我們的玩家表現不太好。所有參加測試的玩家的平均收益為91美元，這為研究人員節省了成本，因為如果參與者使用任何接近最優的策略，研究人員預計每人將獲得收益大約240美元。

雖然我們預計會觀察到一些次優的游戲策略，但我們對結果中普遍存在的次優策略感到驚訝。次優投注的形式和規模各不相同：過度投注、下注不足、不穩定投注和押反面朝上只是大多數玩家浪費他們在30分鐘比賽中贏得250美元機會的其中一些方式。

我們將“接近峰值”定義為在游戲結束時至少賺到200美元的玩家，而“破產”則是指在游戲結束時賬戶中只剩下不到2美元的玩家。只有21%的參與者達到了250美元的最高收益，大大低于本應通過良好的投注策略達到最高收益的95%概率。令我們驚訝的是，三分之一的參與者最終賬戶里的錢比開始時少了。更令人震驚的是，28%的參與者破產了。一個具有60/40這么大贏率的重復游戲產生了如此多的破產者，他們失去了一切，這令人震驚。

那些沒有達到最高限額或破產的人（占樣本的51%）的平均最終賬戶資金為75美元。雖然這是他們最初資金額25美元的3倍，但考慮到所提供的機會，這仍然是一個非常一般的結果。圖2.1總結了61名受試者的表現，他們總共投了7253次硬幣，其中59.6%是正面朝上。

在我們的61名金融經驗豐富的學生和年輕的投資專業人士中，只有5人報告說他們曾經聽說過固定比例投注或相關策略。有趣的是，我們的提問并沒有啟發到其中兩個人：他們一個人的資金勉強翻了一番，另一個人在投擲了大約100次后才不賠不賺。在實驗后的采訪中，我們發現，以當前資金的固定比例投注的想法似乎是玩這個游戲的一種出乎意料的、非直覺的方法。我們的結果并沒有提供任何跡象表明，隨著時間的推移，參與者會趨同于最優玩法，這一點可以從整個游戲過程中次優投注的規模得到證明。

在61名受試者中，有18名受試者至少一次在拋硬幣上押注全部資金，這使得破產的概率從使用固定比例投注策略的接近0%增加到40%（如果他們全部押在正面），破產概率增加到60%（如果他們全部押在反面），令人驚訝的是，他們中的一些人確實如此。所有受試者在每次擲硬幣時的平均投注金額為其資金的15%，但投注模式通常非常不穩定，有些人先投注過小接著投注過大，有些人則恰恰相反。通過下注模式的觀察和實驗后的訪談，我們發現相當多的參與者認為某種加倍下注的策略是最優的。許多受試者遵循的另一種方法是持續地維持小規模地下注，顯然是為了降低破產的可能性，并最大限度地提高最終成為贏家的可能性。

我們觀察到有67%的受試者在實驗過程中的某個時刻押注反面。投注一次或兩次反面可能歸因于對游戲的好奇心，但48%的玩家在游戲中投注反面的次數超過5次。這些受試者中的一些人可能會質疑硬幣正面朝上的概率是否真的有60%——但這一猜想并不被實驗事實支持：在測試中有13個受試者，他們超過25%的時間押反面，我們發現他們更有可能在一連串正面出現后立即下注反面。維克多的媽媽，受試者之一，玩這個游戲只是為了好玩，當被問到為什么有幾次押注反面時，她說：“我知道我不應該，但我就是控制不住自己。感覺就像反面馬上要出現一樣。”在行為經濟學文獻中，這被稱為“賭徒謬誤”或“控制幻覺偏差”。

除了你自己做一些實際的下注練習，我們鼓勵你玩幾次我們的硬幣投擲游戲，因為它也可以讓你更好地理解“非隨機”的隨機性有時會給人什么樣的感覺。很多時候，對大多數玩家來說，前10次投擲完全不會讓你覺得是隨機的。為什么？有大約60%的可能性，要么你會拋出在你看來非常多或非常少的正面（比如多于7次，或少于5次），要么你會連續拋出4次或更多相同的結果。這還沒有算上你在拋硬幣中看到的所有“模式”，比如恰好交替擲出正面和反面，或者兩個正面后一直是反面。總的來說，你可能會總結出很多原因來解釋為什么10次硬幣的投擲是“非隨機”的。我們邀請你玩幾次這個游戲，看看你是否同意我們的觀點。

人們普遍認為，蘋果的iTunes和Spotify將其播放列表中“隨機播放”歌曲的算法設置得有些非隨機，因為在早期版本中，當它是真正隨機生成時，他們收到了很多用戶的抱怨，稱播放順序對他們來說似乎不是隨機的。受此啟發，我們在2017年進行了一項調查²，讓受訪者猜測他們希望看到多少次拋擲，以便在95%的自信度下分辨出一枚公平的硬幣和一枚60%概率為正面的硬幣。大約30%的人認為投擲10次或更少的50%概率為正面次數就可以了，大約一半的人認為投擲不到30次就足夠了。大多數人，包括作者，一開始都很驚訝，正確的答案是143次，我們認為這是另一個現象，表明人類很難從太小的樣本量中得出結論，這種行為偏差被稱為“小樣本偏差定律”。

無上限

如果維克多和理查德允許受試者在沒有最高支付的情況下玩這個游戲，并假設玩家每次擲硬幣時都押上他們資金額度的20%，這將是有史以來最昂貴的社會科學實驗！例如，他們將有25%的概率不得不支付超過1億美元的金額，并且有一個很小概率但真實可能發生的情況是需要支出超過10億美元！除了作為一個有趣的實驗特征之外，它也給了我們一個想法，即在現實生活中如果得到類似的機會將是多么令人難以置信的美好。

拋硬幣和股票市場

如果你提前24小時給投資者第二天的新聞，不到一年他就會破產。

——納西姆·尼古拉斯·塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）

拋硬幣和投資股市有很多不同之處，但我們也可以得出一些相似之處。在過去的50年里，美國股票的年回報率比美國短期國債高出7.5%左右，收益率的年波動性約為18%。我們可以通過觀察超額收益率與波動性的比率來總結這段時間的整體收益質量，該比率約為0.4。一個70/30偏差度的硬幣也有類似的比率，所以粗略地說，我們可以把過去半個世紀的股票回報看作是類似于50次投擲70/30的硬幣。對美國股市來說，這是非常好的50年！

也許拋硬幣和股市投資最顯著的區別在于，在股市投資中，沒有人先驗地知道收益的真實分布。也許過去的50年只是一系列極其有利的抽簽。的確，展望未來，我們認為股市的預期收益與風險的比率要低得多，接近0.3，這比較像是拋一個65/35硬幣。

大多數投資者認為，股市不是連續地獨立地拋硬幣，在股市行為中存在均值回歸和趨勢的因素。股市中例外事件的發生頻率也遠高于拋硬幣。還有一個時間尺度的問題：與我們討論過這個問題的大多數人認為，在30分鐘內拋300次硬幣與投資股市時我們必須耐心等待30年才能進行30次年度“拋硬幣”有根本的區別。

投資股市比押注一枚有偏差的硬幣要微妙和復雜得多，毫無疑問，在30分鐘內堅持一個雖然無聊但合理的策略，比保持30年的自我控制要容易得多。但是，盡管有這么多額外的復雜性，我們很快就會看到，在拋硬幣和股市投資兩者的最佳策略之間，有很多重疊之處。我們希望通過向你展示這個實驗最優解的價值，讓你更好地采取類似的冒險方式來管理你畢生的儲蓄，這是真正重要的。

總結

這個（擲硬幣實驗）是一個很棒的實驗，原因有很多。它應該成為任何對金融或投注感興趣的人的基礎教育的一部分。

——愛德華·索普

雖然我們確實預料到我們的研究對象會有一些考慮不周的投注策略，但令我們驚訝的是，如此多的玩家在這樣一個對其有利的游戲中投注失敗。在這個實驗之前，我們沒有意識到，在不確定性存在的情況下，這么多人在發現和利用一個簡單的有利機會方面的能力是這么的差。承擔固定而適度的風險，讓機會對自己有利，這種直截了當的概念對大多數人來說似乎并不是顯而易見的。我們想知道這些理念是否在大學的金融和經濟學課程中被教授，所以我們查看了美國五所頂尖商學院的交易和資產定價入門課程的教學大綱。其中沒有任何一門課程明確提到固定比例投注，也沒有在有利勝算存在的情況下的最優投注策略這一主題中提到。

考慮到我們的許多研究對象接受過正規的金融培訓，我們很驚訝地發現，固定比例投注的概念（或其他控制投資規模的方法）實際上對他們來講是未知的，而且他們似乎沒有分析工具來引導他們將固定比例投注作為一種直觀的吸引人的啟發式方法。如果沒有一個可以依賴的框架，我們發現我們的研究對象表現出一系列被廣泛記錄在案的行為偏差，如控制幻覺、錨定、過度投注、沉沒成本偏差和賭徒謬誤。

這些結果提出了不少重要的問題。如果很大一部分在定量分析上很老練、受過金融訓練的人在玩一個有偏差的硬幣的簡單游戲時都有這么大的困難，那么當涉及更復雜、更長期的投資決策時，我們該期待什么呢？人們會為明顯無用的建議付費，這不足為奇，正如一些研究文獻所記錄的那樣，比如標題為《為什么人們會為無用的建議付費？》這樣的論文。研究表明，年輕的金融和經濟學學生所受的教育與本書的中心思想（投資多少好東西對你來說是最好的）存在著巨大的差距。我們支付給61個研究對象的5574美元獎金，如果能幫助教育工作者們填補這一空白，不管是通過直接教導、像我們游戲這樣的試錯練習，還是指定這本書，那這筆錢就花得非常值！