第一章
從《公禱書》到《蒙特卡羅六壯士》

托馬斯·貝葉斯

倫敦東部肖爾迪奇區的老街地鐵站附近有一個叫邦希田園的著名墓地。

不少名人都長眠于此，其中最著名的應該是威廉·布萊克、《魯濱孫漂流記》和《瘟疫年紀事》的作者丹尼爾·笛福、《天路歷程》的作者約翰·班揚。

不過對于像我這樣經常步行往返于地鐵站和英國皇家統計學會的人來說，邦希田園中最有名的逝者應該是托馬斯·貝葉斯。

托馬斯·貝葉斯是18世紀英國長老會的一名牧師，同時也是一位非專業的數學家。很少有人知道他生前寫過一本神學書，以及一本分析牛頓微積分學的書，因為他最出名的作品是一篇名為《一個機會論問題的求解思路》（An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances）的論文。[1]貝葉斯去世之后，他的朋友理查德·普賴斯發現了這篇論文以及一些未完成的筆記。對其整理之后，普賴斯將其發表在了英國皇家學會的《自然科學會報》上。

而本書的核心內容，就是貝葉斯所提出的一個簡單到難以置信的概念，即貝葉斯定理。毫不夸張地說，它或許是史上最重要的一個等式，可人們對貝葉斯本人卻知之甚少，就連他的出生年份（1701年）都只是一個估計值。

加拿大滑鐵盧大學的統計學名譽教授戴維·貝爾豪斯曾于2004年為《統計科學》雜志撰寫了貝葉斯的個人傳記。[2]他認為，關于貝葉斯的資料之所以這么少，主要問題在于他是一名“非國教者”——不信奉英格蘭國教的新教徒。

想要理解這為什么會是個問題，我們就得回顧一下幾個世紀之前發生的事情。小說《狼廳》的粉絲一定還記得，亨利八世為了娶安妮·博林為后，于1533年帶領英格蘭脫離了羅馬教廷統領的天主教會。又娶了四任妻子之后，亨利八世于1547年離世。他死后，大主教托馬斯·克蘭麥于1549年推出了《公禱書》，并規定英國的所有教堂都必須在禮拜活動中遵循該書的指導。[3]

亨利八世的長女瑪麗一世并不認同《公禱書》的內容，于1553年廢除了托馬斯·克蘭麥的主張。1556年，她以異教徒的罪名將托馬斯·克蘭麥綁在火刑柱上活活燒死，對那些“異端邪說”示以警告。幾年之后，伊麗莎白一世又重新認可了《公禱書》的內容，自此，《公禱書》在信徒之中流行了一個多世紀，直至英國內戰爆發。

英格蘭共和國時期，從1649年查理一世被處死，到1660年君主制復辟這段時間，國家對禮拜形式的限制有所松動；然而到了1662年，議會又通過了新的《統一法案》，再一次確立了《公禱書》的地位，要求英格蘭境內的所有禮拜活動都必須遵循《公禱書》的指導。

此時，很多神職人員已經習慣了共和國時期奧利弗·克倫威爾統治下的自由氛圍，約2000人拒絕接受《統一法案》，其中大多數人是清教徒，結果就是他們被解除了職務，并被逐出了安立甘宗的教會。即便如此，其中仍有許多人選擇繼續布道（通常是在當地貴族的保護下），歷史上一般將這些人稱為“非國教者”或“不從國教者”。

1688年，英國通過了《寬容法案》，允許長老會信徒、貴格會信徒等非國教者享有禮拜自由，這意味著（與當時的天主教不同）他們再也不用偷偷摸摸地做禮拜了，但是他們的禮拜場所必須得到國家的許可。此外，這些人（其中就包括貝葉斯）還被禁止擔任公職，禁止進入英國的大學。如此一來，非國教的學者和準牧師們就只能去蘇格蘭的大學（比如愛丁堡大學）或荷蘭的大學（比如萊頓大學）學習、任教。

托馬斯·貝葉斯來自一個相當富有的非國教家庭——其曾祖父理查德·貝葉斯因在謝菲爾德從事鋼鐵制造和餐具制作而發家致富。理查德和妻子愛麗絲（婚前姓查普曼）育有兩個兒子，其中一個叫塞繆爾。和大多數名門望族一樣（無論是否信奉安立甘宗），塞繆爾也成為一名牧師，并且非常幸運地在英格蘭共和國時期達到大學入學年齡，進入劍橋大學三一學院學習，最終于1656年順利畢業。盡管塞繆爾并沒有信奉國教，但他還是成為北安普敦郡的一名牧師。不過后來《統一法案》頒發的時候，他又成為拒絕遵守該法案的2000名神職人員之一，并因此被調離了所在教區。理查德的另一個兒子約書亞是托馬斯的祖父，他并沒有從事神職工作，而是跟隨理查德的腳步繼承了家業。

這一時期的貝葉斯家族似乎十分熱衷于非國教的傳播。約書亞出資在謝菲爾德建造了一座非國教教堂，而他的女婿則成為另一座非國教教堂的創始人和牧師（雖然約書亞一共有4個女兒、3個兒子，但其中有2個女兒和1個兒子夭折了）。

約書亞的次子生于1671年，名字也叫約書亞[4]。小約書亞在英國北部的一所非國教學院學習哲學和神學，由于政府對非國教學者的騷擾和迫害，該學院曾多次被迫搬遷。畢業之后，小約書亞接連在倫敦多所非國教教會中擔任牧師，先是在薩瑟克，后來又到了法靈登附近。根據戴維·貝爾豪斯的說法，小約書亞在信徒中非常受尊敬，大家認為他“既是一位傳道者，又是一位博學者”。

另一方面，小約書亞也是一個典型的十分顧家的清教徒，擁有眾多子女。1700年10月，他與安妮（婚前姓卡彭特）結為夫妻，但具體日期已無從考證，這或許是因為他們的婚禮是在非國教教堂舉行的。沒錯，一個人的出生信息、死亡信息、婚姻信息全部由英格蘭國教保存，非國教群體的各種登記信息則通常“保密或不公開，因為害怕遭受宗教歧視”。

出于同樣的原因，小約書亞和安妮那7名出色的子女的出生信息也不得而知。這7個孩子全部順利活到了成年階段，這在當時是非常罕見的——18世紀早期出生的英國兒童約有三分之一會在5歲前夭折。[5]我們已知小約書亞的長子托馬斯去世于1761年4月，享年59歲，所以據此可以推算出他有“80%的概率”[6]出生于1701年（也有可能是1702年年初）。托馬斯的6個妹妹弟弟按出生順序依次為瑪麗、約翰、安妮、塞繆爾、麗貝卡、納撒尼爾。同樣，我們只知道這些人的去世年份和去世時的年齡（約翰去世時的年齡最小，1743年他去世的時候只有38歲；麗貝卡活到了82歲），但不知道他們確切的出生日期。

小約書亞這一家人的發展軌跡和當時其他富有的、受過教育的家庭差不多。約翰進入林肯律師學院攻讀法律，并于1739年獲得了律師資格。塞繆爾和納撒尼爾像他們的祖父、曾祖父一樣進入了商貿領域——塞繆爾賣家用紡織品，納撒尼爾經營食品雜貨。安妮嫁給了一位同階層的富有的紡織品經銷商，麗貝卡則嫁給了一位律師。故事的主角托馬斯則選擇跟隨父親的步伐，成為一名非國教牧師。

有一種說法是，負責教育少年托馬斯的老師是貝葉斯家族的好朋友約翰·沃德，后來他成為劍橋市格雷沙姆學院修辭學教授、英國皇家學會會員。托馬斯的父親曾出資幫助約翰·沃德出版了著作《格雷沙姆學院教授們的生活》（Lives of the Professors of Gresham College）。約翰·沃德的傳記作者表示，“在一番‘勸誘’之下，他承擔了很多朋友的孩子的教育任務”，并在穆爾菲爾茲地區開辦了一所學校。[7]還有一種說法是，負責教育少年托馬斯的老師不是約翰·沃德，而是亞伯拉罕·棣莫弗，即概率論的偉大先驅之一，他曾被迫逃離法國，在倫敦靠當家庭教師謀生。不過，這種說法更多只是一種猜測。[8]

托馬斯是個相當聰明的年輕人。約翰·沃德于1720年（當時托馬斯十八九歲）寫給托馬斯的一封信能夠清楚地證明，托馬斯·貝葉斯可以流利地閱讀希臘文和拉丁文——畢竟信件就是用拉丁文寫的——盡管約翰·沃德也在信中就托馬斯的拉丁文寫作能力給出了一些建議。

盡管貝葉斯家族富甲一方、人脈廣泛，盡管托馬斯聰慧過人，但他還是被英國的各所大學拒于門外，這一切只因他的家族沒有信奉國教。1719年搬到愛丁堡之后，托馬斯似乎拜入了邏輯學、形而上學教授科林·德拉蒙德的門下。1720年的那封信還包含一個信息，那就是托馬斯對數學知識的掌握令約翰·沃德感到欣慰，他在信中寫道：“你對各個科目的學習安排可謂井然有序，十分合理。同時學習數學和邏輯學，能夠讓你更清晰、更容易地理解二者對思維模式和認知模式的塑造起到了何種作用、做出了多大貢獻。”

不過托馬斯搬至愛丁堡的主要目的并不是學習數理知識，而是學習神學知識，以便為將來的牧師生涯打下堅實基礎。1720年，托馬斯進入了神學院。神學院里的資料表明，托馬斯的主要研究方向是《馬太福音》，最后一份研究記錄的日期是1722年1月，據此我們可以推測在此之前他一直都在愛丁堡學習、生活。

由于我們對托馬斯人生軌跡的了解是碎片化的，下一個時間節點不得不跳躍至1728年。我們知道托馬斯在1728年之前的某天就已經出現在倫敦了，因為當年長老會、獨立派、浸禮宗的共同委員會——托馬斯的父親小約書亞長期擔任該委員會會員，有時還擔任負責人——收到了一份牧師名單，上面寫有托馬斯的名字。此時的托馬斯已經成為一名準牧師，但尚未進入教堂任職。之后在1732年——根據當年的一份名單——托馬斯加入了父親的事業，在法靈登附近的皮革巷的一個非國教教堂內任起了神職。1734年年初，他搬到了肯特郡的坦布里奇韋爾斯鎮，開啟了自己的牧師生涯。

目前我們只知道托馬斯是個非國教者，但并不知道他的確切信仰。這或許意味著他信奉著一個相當小眾甚至可能是難以被主流接納的異端宗教。

可以確定的是，托馬斯既不是安立甘宗教徒，也不是天主教教徒。雖然二者的教義不同，但區別并不大——在一般人眼中區別更小。天主教認為，只有通過教會才能獲得救贖；而安立甘宗認為，只要教徒能夠信仰耶穌并遵循他的旨意行事，那就算他一輩子沒見過牧師，也能上天堂。天主教認為，圣餐儀式中的圣餅和圣酒真真切切就是基督的身體與血液；而大多數安立甘宗教徒認為圣餐儀式只是基督精神的一種寄托。不過兩個教派都相信神圣的三位一體——圣父、圣子、圣靈——三個不同的位格都是上帝的同一本體、同一本質、同一屬性。

某些非國教者有著非常不同的信仰，比如阿利烏斯派與蘇西尼派完全不認可三位一體的說法（因此他們被主流基督教徒視為異教徒）。阿利烏斯派認為圣父才是至高無上的真神，他的兒子耶穌則是一個自始至終都存在著的、神性稍低一些的神，這意味耶穌在降臨地球之前就已經存在了。類似地，蘇西尼派也認為耶穌的神性要稍低一些，只不過他們認為耶穌并非一直存在，而是在誕生后才存在。后來這兩個教派又衍生出了一個新的派別，即一位論派，該教派同樣不認可三位一體，不過他們的理論更為激進——他們相信上帝是唯一真神，耶穌并不是神。

在18世紀，這些信仰在長老會中迅速普及開來。雖然貝爾豪斯認為“這些長老會成員的思想相當開放”，但實際上也沒有開放到可以容忍各種思想存在的地步：1719年，埃克塞特市的長老會驅逐了兩位傳教士，即詹姆斯·皮爾斯和約瑟夫·哈利特，理由是兩個人已經變成信奉阿利烏斯派的異教徒。[9]

托馬斯撰寫的第一部作品是一本出版于1731年、名為《神的慈愛：試證神和政府都以生靈的幸福為宗旨，暨對〈神的正直：探究神在道德方面的完美性〉一文關于“美和秩序、懲罰行為的合理性、預先審判對于幸福的必要性”的論述的反駁》的神學著作。[10]雖然他并沒有在書上署名（說實話，書名這么長，也沒地方給他署名），但學界普遍認為這就是他的作品。他的好友理查德·普賴斯也在自己的文稿中表示，托馬斯就是該書的作者。

具體來說，《神的慈愛》是一部討論神正論的著作。托馬斯試圖在書中分析這樣一個問題：假如上帝真的有大愛，是全知全能的，那他為什么會允許世界上存在罪惡？大衛·休謨曾引用伊壁鳩魯的名言來描述該問題：“是不是上帝的確想阻止罪惡，但沒有能力做到？如果真是這樣，那他就不是全知全能的；是不是上帝的確有能力阻止罪惡，但他并不想這樣做？如果真是這樣，那他就不是真愛的。倘若他真的想阻止，也有能力阻止，那這世間又怎會有罪惡？”[11]

托馬斯這本書其實是對安立甘宗神學家約翰·鮑爾吉撰寫的一篇神學文章的回應。約翰·鮑爾吉認為世上之所以存在苦難，是因為上帝的至善指的是“做正確和恰當的事情”，這種至善并不一定會符合人類的喜惡。[12]托馬斯的觀點與之相反，他相信上帝是慈愛的，上帝希望自己的子民幸福。不過現實情況是大部分世人都不幸福，所以托馬斯花了大量篇幅解釋為什么上帝有能力讓我們幸福，也希望我們幸福，卻沒有這樣做。這本書問世之后立即引發了大量爭議，反過來這也導致它得到了廣泛傳播。

不過《神的慈愛》并沒有提及托馬斯自己的信仰。雖然托馬斯的父親小約書亞是一位“包容的、能夠接納各種不同觀點的加爾文主義者”[13]，但根據貝爾豪斯的觀點，托馬斯很可能是一位阿利烏斯派信徒或蘇西尼派信徒，并且“即將成為一名一位論派信徒”。貝爾豪斯表示：“他不是那種尋常的、傳統的基督徒。盡管他曾接受長老會牧師的培訓，但他很可能是一名蘇西尼派信徒。”

證據來自托馬斯的社交圈。托馬斯和詹姆斯·福斯特是朋友兼同事——詹姆斯·福斯特也是一名非國教牧師。此外，詹姆斯·福斯特本人還和另外兩名因信奉阿利烏斯派而被驅逐的埃克塞特牧師是好朋友。詹姆斯·福斯特寫過一本名為《宗教的基礎論》（An Essay on Fundamentals in Religion）的手冊[14]，他在手冊中表示三位一體并不是基督教的基本信條。在我看來，這種思想簡直是異教中的異教。

托馬斯還有一位叫威廉·惠斯頓的同事，他是艾薩克·牛頓的學生，也是牛頓在劍橋大學的盧卡斯數學教席的繼任者。某次早餐會上，這兩位同事一起問托馬斯，周末在本地安立甘宗教堂舉辦的講道活動是否包含《亞他那修信經》的內容（該信經闡釋了三位一體理論）。威廉·惠斯頓表示，如果包含這部分內容，他就當場辭去神職，托馬斯立即安慰他說大概率不包含。

托馬斯死后還給約翰·霍伊爾、理查德·普賴斯留下了200英鎊。這兩個人都是倫敦地區的非國教牧師，都信仰阿利烏斯派，他們所在的教會最后都改信了一位論派。前文提及，理查德·普賴斯是托馬斯的摯友，托馬斯去世之后，正是他幫忙整理、發表了那篇包含貝葉斯定理在內的著名論文。

托馬斯·貝葉斯身邊的同齡人大多出身于貴族家庭，接受過大學教育，甚至有不少人拿到了神學博士學位。[15]他的社交圈中有很多像約翰·沃德、威廉·惠斯頓一樣德高望重的人物，僅憑這一點就能看出他生活的環境有多上流。來到坦布里奇韋爾斯之后，托馬斯繼續與名門望族、權貴顯赫之輩打交道，其中最重要的一位應當是第二代斯坦諾普伯爵菲利普·斯坦諾普。當時坦布里奇韋爾斯的“主要產業是旅游業”[16]，所以交通相當便捷，人們從倫敦坐馬車只需一天便可抵達這里。當地最出名的旅游資源是深受大眾喜愛的、泉水全部自產的大型溫泉。菲利普·斯坦諾普7歲的時候繼承了亡父的爵位。由于他家的“志奮領莊園”距離坦布里奇韋爾斯只有幾英里[17]的路程，從20多歲開始他就成為當地的常客。菲利普·斯坦諾普出生于1713年，比托馬斯要年輕一些。

這位年輕的伯爵算得上一位狂熱的數學愛好者。小時候，他的叔叔及監護人曾逼迫他放棄數學，把興趣轉向文學藝術，可是成年之后，他立即重新拾起對數學的熱愛。他的同輩曾這樣評價他：“他閱讀了大量和神學、形而上學、數學相關的書。[18]他的筆記本上總是寫滿了各種數學符號，以至于有一半人以為他是變戲法的，還有一半人干脆把他當成傻子。”[19]

菲利普·斯坦諾普為科學家和數學家編織了一張社交網絡，托馬斯、格拉斯哥大學的數學家羅伯特·史密斯（菲利普·斯坦諾普曾幫忙出版他的遺作）、化學家約瑟夫·普里斯特利（氧氣的發現者）、神學家兼科學家約翰·埃姆斯（牛頓的好朋友）都在這個圈子中。這張關系網中的所有人都是來自不同教派的非國教者，而且大多是出身名門望族的科學愛好者、數學愛好者。

貝爾豪斯認為，以現代人的標準來看，“與其說托馬斯是個學者，不如說他是個業余愛好者兼藝術家。他做研究更多是為了自娛自樂，而不是為了在學術上有所成就”。

菲利普·斯坦諾普和托馬斯都是聰穎之輩，而且他們的工作并不繁重，閑暇時光較多，可以把大量精力花在數學上。貝爾豪斯表示：“18世紀的富人特別熱衷于參與各種科學活動，就像現代的富人總是喜歡投資各種球隊。”

近些年，人們在菲利普·斯坦諾普的遺物中發現了大量他與托馬斯往來的書信。根據信中內容我們可以推測，兩人相識于18世紀30年代，契機則來自托馬斯所寫的一篇名為《微積分淺談》（An Introduction to the Doctrine of Fluxions）的論文。[20]

當時哲學家喬治·貝克萊正在不遺余力地抨擊牛頓的微積分理論，托馬斯為了支持牛頓而寫下這篇論文。沒錯，托馬斯是牛頓堅定的追隨者。貝爾豪斯表示：“有些非國教者不敢傳播數學知識，因為他們害怕被人看作牛頓科學的擁護者，進而被貼上‘無神論者’的標簽。但大多數非國教者都認為學習數學至關重要——有了數學，你才能弄懂上帝所創造的這個宇宙的運轉規律。”

喬治·貝克萊認為牛頓的理論犯下了“除數為零”的錯誤：一個關鍵的方程中，分母居然可以等于零，可見“微積分學說”在本質上是矛盾的。為了反駁這種言論，托馬斯試圖在自己的論文中為牛頓的理論給出更嚴格的定義，讓方程的每一項都不再有歧義。

之后托馬斯又對無窮級數及其與導數的關系做了一些研究。“導數”是圖表中斜率的變化率。假如現在有一幅關于距離（單位為米）和時間（單位為秒）的圖形，線條的形狀反映了速度（單位為米每秒）的情況。如果線條是直線，那速度就是恒定的；如果線條是曲線，那速度就是變化的。導數可以精確求出曲線在某一點的斜率，這樣我們就能算出任意給定距離或時間下的速度。更進一步地，我們知道速度的變化量除以時間就是加速度，加速度是距離和時間的二階導數。

而無窮級數指的就是無窮無盡的級數。比如“x=1+2+3+4+5…”就是一個無窮級數，等式右邊可以按照規律一直加下去，所以x等于無窮大。不過，并非所有無窮級數都等于無窮大，比如“x=(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)…”也是無窮級數，但它等于1。

托馬斯證明，y在某一點的導數等于y展開的無窮級數在T時刻的值，減去它在T+1時刻的值的一半，再加上它在T+2時刻的值的三分之一……以此類推。直到托馬斯和菲利普·斯坦諾普雙雙離世之后，人們才在斯坦諾普的手稿中發現了這一精巧的公式（那張遺稿以寥寥數字記下了這一信息：“1747年8月12日，托馬斯在坦布里奇韋爾斯向我介紹了這個定理”）。貝爾豪斯表示，直到25年之后，法國數學家拉格朗日才再一次獨立提出了該定理。[21]

托馬斯就是在這個時候開始對概率論產生了濃厚的興趣。不過在介紹貝葉斯定理之前，我們有必要回顧一下概率論的發展史，了解一下那些為概率論做出過重要貢獻的人。