2.2.1 頻域小信號阻抗描述

1.小信號的頻域化處理

電力電子設備廣泛應用于交流系統中，其電壓和電流隨時間呈周期性變化。小信號建模分析習慣于將時域線性化分析轉換到頻域，獲得平衡點附近的線性化模型。

對于電力電子設備構成的新能源設備系統，平衡點的輸入、輸出及狀態變量可以統一描述為正、余弦信號的形式，三相信號分別寫作

式中，ya(t)、yb(t)和yc(t)分別為a、b、c相交流信號；f1為基頻頻率；Ak+、Ak-和Ak0分別為三相交流信號在頻率kf1下的正、負、零序的幅值；φk+、φk-和φk0分別為正、負、零序的相位。

新能源設備在單相交流系統、三相平衡系統或三相不平衡系統等不同交流系統中運行，其主要區別在于交流信號所含序分量不同。正、負、零序分量可以通過對稱分量法得到，其呈現周期性時變特征，可表示為含有多個頻率的周期性時變正弦信號。

不失一般性，當一個三相交流信號滿足狄利克雷條件時，可將其按照傅里葉級數展開為

式中，k為正整數；a0為傅里葉級數直流分量；ak為傅里葉級數余弦分量；bk為傅里葉級數正弦分量。傅里葉級數展開式系數a0、ak和bk可分別表示為

根據歐拉公式，式（2-4）所示的傅里葉級數可以用復指數形式表示為

式中，c0=a0，為傅里葉級數直流分量；，tanφk=-bk/ak，分別為傅里葉級數頻率kf1交流分量的幅值和相位。

為方便反映周期信號頻率kf1交流分量的幅值和相位，即時域信號的頻域結果，定義復傅里葉系數Fk，將頻率為kf1的周期信號以復指數形式表示，如下式所示：

由此，周期信號f（t）可以表示為復指數形式的傅里葉級數表達式：

小信號變量具有多種表述形式，比如用復指數形式的傅里葉系數來表示。以電壓小信號v（s）為例，s=j2πf，表示這是頻率f的電壓小信號，而v（s）在數值上等于頻率f的復傅里葉系數。由式（2-9）可知，復傅里葉系數Fk不含頻率信息。在一般的諧波分析中，頻域輸入量與輸出量的映射關系默認是同一諧波頻率下發生的，所以不需要強調頻率。不過，新能源設備中含有電力電子設備，在開關、調制和控制過程中，電氣量與控制信號間的交互，在頻域變換后引入了不同頻率信號間的卷積運算，使得不同諧波頻率信號之間呈現耦合關系。

2.Park變換與頻移效應

新能源設備并網多采用矢量控制，通過Park變換和鎖相環將三相正弦信號轉換到dq坐標系下的直流信號，如圖2-1所示。鎖相環設備通過控制q軸電壓vq為0，使得鎖相環相角θPLL跟蹤電網相角θ1，從而實現同步。在理想同步情況下，θPLL=θ1。

電路中的三相交流信號從靜止坐標系下轉換到dq坐標系時，其頻率發生偏移，又稱頻移效應。以向新能源并網系統中注入正序擾動為例，頻率為fp的三相電壓小信號分量表示為

式中，Vp為正序電壓幅值；ωp=2πfp，fp為小信號的頻率；φp為相位。通過Park變換，將三相交流信號轉換到dq直流信號，可得：

式中，θPLL=ωPLLt，為鎖相環得到的相角。結合積化和差、和差化積公式，式（2-14）可表述為

通過上述分析可知，Park變換將靜止三相坐標系下的變量轉換到旋轉dq坐標系下，小信號頻率發生了偏移。根據頻率偏移效應，注入三相正序擾動后的dq小信號頻率為fp-f1。同理，可以推導出向系統注入頻率為fn的負序擾動后，經過Park變換后dq的小信號頻率為fn+f1。

3.Park反變換與二倍頻鏡像頻率耦合

正序三相正弦擾動信號vp(fp)經Park變換后，形成dq坐標系下的電壓小信號vdq(fp-f1)，其為控制環節的輸入量。經過變流器控制環節后輸出為調制電壓小信號mdq(fp-f1)，可表示為

式中，mp,d和mp,q，φm,d和φm,q分別為調制電壓小信號d軸分量與q軸分量的幅值與相位大小。

鏡像頻率耦合以兩電平變流器為例，如圖2-2所示。經過Park變換后的調制電壓小信號mdq（fp-f1）會與直流電容電源vdc（fp-f1）相互作用，可得到三相橋臂輸出電壓小信號vg（fp,fp-2f1）。頻率為fp的變流器端電壓可表示為

頻率為fp的電壓分量存在頻率為fp-2f1的鏡像耦合分量，可表示為

假設變流器主電路和控制環節完全對稱，vp,d和vp,q相同。此時，鏡像耦合分量，輸出電壓小信號中僅含有擾動頻率fp的分量。但是實際情況中上述假設并不成立，輸出電壓小信號中除含有擾動頻率fp外還含有頻率fp-2f1，這個頻率就是所謂的二倍頻鏡像頻率。同理，當電網中含有頻率為fn的負序三相擾動信號時，最終變流器輸出的負序調制電壓小信號中含有頻率fn+2f1。