1.1 命題與聯結詞

1.1.1 命題的概念

定義1.1.1 命題是用陳述句表示的一個或者為真或者為假，但不能同時既為真又為假的判斷語句。

命題代表人們進行思維活動時的一種判斷，或者是肯定，或者是否定，因此命題只能為真或假，把這種真假的結果稱為命題的真值。如果命題的真值為真，稱該命題為真命題，其真值可用“T”或“1”表示；如果命題的真值為假，稱該命題為假命題，其真值可用“F”或“0”表示。

例1.1.1 判斷下列句子哪些是命題？若是命題，判斷其真值。

1）2+3=5。

2）2+3=6。

3）北京是中國的首都。

4）2013年5月1日是星期日。

5）3-x=5。

6）請關上門。

7）幾點了？

8）除地球外的星球有生物。

9）多漂亮的花啊!

10）對每一對實數x、y，都有x+y=y+x。

解 1）、2）、3）、4）、8）、10）是命題，5）、6）、7）、9）不是命題。1）、3）、10）的真值為1，2）、4）的真值為0。8）是命題，能判斷真假，且其真值是唯一確定的，只是目前人們不知道。5）不是命題，因為x是變元，它的真值不確定。6）是祈使句，7）是疑問句，9）是感嘆句。祈使句、疑問句、感嘆句表示的語義沒有真假，所以6）、7）、9）都不是命題。

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注意：表示命題的陳述句可判斷真假，具有唯一真值。悖論是陳述句，但不能判斷其真假，因此不是命題。例如，“我只給所有不給自己理發的人理發”不是命題。

引入英文字母表示任意的命題，就像用字母表示數學變元那樣。表示命題的符號稱為命題變元，通常用p、q、r…或P、Q、R…來表示。命題變元沒有真值，只有表示一個確定的命題后，才有真值。如用p表示命題“2+3=6”，這時p的真值為0，也可以用p表示命題“2+3=5”，這時p的真值為1。

定義1.1.2 表示命題的陳述語句如果不能分解為更簡單的陳述語句，稱為簡單命題或原子命題；表示命題的陳述句由幾個簡單句和連詞組合而成，稱為復合命題。

本書中用小寫英文字母表示簡單命題，如用p表示簡單命題“北京是中國的首都”。數理邏輯中定義了對應于自然語言中連詞的聯結詞，通常用英文字母和聯結詞的組合表示復合命題。

定義1.1.3 用英文字母或英文字母和聯結詞的組合表示命題，稱為命題的符號化。