1.5 命題邏輯的推理

1.5.1 推理理論

數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究推理的形式結(jié)構(gòu)和推理規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。推理是從前提出發(fā)推出結(jié)論的思維過(guò)程，其中前提是已知的命題公式，結(jié)論是從前提出發(fā)應(yīng)用推理規(guī)則推出的命題公式。關(guān)于從前提A推出結(jié)論B的定義如下。

定義1.5.1 設(shè)A和B是兩個(gè)命題公式，當(dāng)且僅當(dāng)命題A→B是重言式時(shí)（即A→B?1時(shí)），稱從A推出B是有效的，或A蘊(yùn)涵B，或B是前提A的結(jié)論，可以表示成A?B。

一般地，推理的前提可以是多個(gè)命題公式A₁，A₂，…，A_n，若（A₁∧A₂∧…∧A_n）→B是重言式，則稱由前提A₁，A₂，…，A_n推出結(jié)論B是有效的，可表示為（A₁∧A₂∧…∧A_n）?B。

注意，?不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，因而A?B不是公式，稱A?B為蘊(yùn)涵關(guān)系式。

例1.5.1 判斷下列推理是否正確。

1）p∧（p→q）?q

2）（p→q）∧q?p

解 寫出p∧（p→q）→q和（p→q）∧q→p的真值表。

由真值表1.5.1可知，p∧（p→q）→q是重言式，所以蘊(yùn)涵關(guān)系式p∧（p→q）?q成立。而（p→q）∧q→p不是重言式，所以蘊(yùn)涵關(guān)系式（p→q）∧q?p不成立。

在由前提推出結(jié)論時(shí)，如果所有前提為真，則結(jié)論為真。但是，推理的有效性并不保證推出的結(jié)論是真的，因?yàn)橛行评聿](méi)有要求所有前提的真值必須為真，當(dāng)前提中包含假命題時(shí)，有效推理可能推出真值為假的結(jié)論。

例1.5.2 證明“如果牛吃草，則馬會(huì)飛；馬不會(huì)飛，所以牛不吃草”是正確的推理。

證明 設(shè)p表示“牛吃草”，q表示“馬會(huì)飛”。

上述推理問(wèn)題的前提符號(hào)化為p→q、，結(jié)論符號(hào)化為。因此，只需證明是p→q和的結(jié)論。

而

所以，是p→q和的結(jié)論，即蘊(yùn)涵關(guān)系式成立。盡管結(jié)論“牛不吃草”真值為假，這仍然是正確的推理，這個(gè)結(jié)論是有效的，得出這個(gè)真值為假的結(jié)論的原因是前提條件中的p→q的真值為假。

?

有一些重要的蘊(yùn)涵關(guān)系式，稱為推理定律。這些蘊(yùn)涵式如下。

定理1.5.1 對(duì)任意公式A₁，A₂，…，A_n，B，C，由A₁，A₂，…，A_n推出B→C是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)由A₁，A₂，…，A_n和B推出C是有效的。

證明 根據(jù)定義1.5.1，有（A₁∧A₂∧…∧A_n）→（B→C）?1。

因?yàn)?/p>

所以（A₁∧A₂∧…∧A_n）→（B→C）是永真式，當(dāng)且僅當(dāng)（A₁∧A₂∧…∧A_n∧B）→C是永真式，即A₁，A₂，…，A_n和B推出C是有效的。

?

該定理在證明推理問(wèn)題時(shí)十分有用。根據(jù)該定理，如果需要推出結(jié)論的形式為B→C，則可以把B放在前提中，設(shè)法推出C即可。這是一條命題推理規(guī)則，稱為CP規(guī)則。