1.5　連續波雷達

與脈沖雷達不同，連續波雷達發射和接收的波形不是間歇式的，而是在較長時間范圍內分別利用發射天線和接收天線連續發射與接收信號。連續波雷達可以分為單頻連續波雷達和調頻連續波（Frequency Modulated Continuous Wave，FMCW）雷達，其中單頻連續波雷達僅可測速而無法測距，而調頻連續波雷達既可測速又可測距。單頻連續波雷達、調頻連續波雷達的數學表達式與前述單頻脈沖雷達、調頻脈沖雷達基本一致，僅從發射波形上看，可以將它們視作占空比接近100％的脈沖波形的特殊情況。此外，連續波雷達中的帶寬、相參處理間隔等基本概念也與脈沖雷達中的相近，這里不再贅述。

1.5.1　單頻連續波雷達測量速度的算法

單頻連續波雷達發射的波形如式（1-20）所示，形式上與單頻脈沖相同，只不過單頻連續波雷達可以同時接收和發射信號。假設在一個相參處理間隔內只有一個chirp，滿足Tp=TCPI。在連續波雷達中，目標的距離、多普勒參數主要通過差頻獲取。將差頻表示為fb，其為接收信號頻率fR與發射信號頻率，即fT之差fb（t）=fR（t）-fT（t）。差頻信號的形式為

單頻連續波雷達差頻信號示意如圖1-17所示，其中給出了靜止目標和運動目標的回波。靜止目標的回波為sR（t）=αexp（j2πf0（t-τ）），不產生多普勒頻率，因此差頻為fb=0。對于運動目標，假設目標在徑向做勻速運動，目標到雷達的距離為R（t）=R0+vrt，則目標散射回波的延時為，其中。則運動目標的回波為

式中，時間范圍為。于是差頻信號為

差頻信號是一個單頻信號，差頻等于多普勒頻率，即fb=fd。對差頻信號做傅里葉變換，則頻譜會在fd處產生峰值。由于多普勒頻率fd=-2vr/λ與徑向速度vr成正比，因此差頻信號的頻譜可表征目標的速度分布。無論是對靜止目標還是對運動目標而言，回波的差頻都無法反映回波的延時，因此單頻連續波雷達通常只能被用于測速，而不能用于測距［5-10］。

1.5.2　單chirp調頻連續波雷達測量距離與速度的算法

使用調頻連續波可以有效解決單頻連續波不能測距的問題。單chirp調頻連續波雷達測量靜止目標距離的原理如圖1-18所示。在一個相參處理間隔中包含一個up-chirp階段和一個down-chirp階段，設它們的長度均為Tp=TCPI/2。首先考慮靜止目標，接收信號與發射信號之間的延時導致兩者之間存在頻率差。以up-chirp階段為例，差頻信號的表達式為

式中，時間范圍為。因此，在up-chirp階段，差頻信號是一個單頻信號，差頻為fb=-γτ，其中γ=B/Tp為調頻率（圖1-18中up-chirp階段的斜率）。通過對差頻信號做傅里葉變換，可以估計出差頻fb，據此計算出目標到雷達的距離為

1.4節討論了脈沖雷達中匹配濾波與模糊函數的關系。線性調頻脈沖雷達波形的模糊函數幅度已在式（1.49）中給出。當場景中只有單個靜止目標時，差頻信號為，因此差頻信號的傅里葉變換為

式中，（τ，f）b為線性調頻信號的模糊函數。這說明差頻信號的傅里葉變換形式與模糊函數有關，而模糊函數可以視作匹配濾波的推廣。因此，調頻連續波雷達測距算法的本質也是匹配濾波，只不過這里的匹配濾波是通過差頻信號的傅里葉變換實現的。根據式（1-49），對于固定的延時τ，式（1-70）中的在處取最大值，這與式（1-69）的結果相同。

當目標有徑向運動時，目標的回波在產生延時τ的同時，也產生多普勒頻率。與1.5.1節相同，假設目標在徑向做勻速運動，目標到雷達的距離為R（t）=R0+vrt，則目標散射回波的延時為。將其代入式（1-68），并忽略二次相位項的變化，得到up-chirp階段的差頻信號表達式為

即差頻信號為單頻信號，頻率為fb=fd-γτ0。

單chirp調頻連續波雷達收發信號與差頻信號的時頻分布如圖1-19所示。此時，式（1-70）變為S（fb）=σ*（τ0，fb-fd），峰值出現在fb=fd-γτ0處，則式（1-69）不再成立，不能僅通過up-chirp階段的S（fb）實現測距。此時，可以綜合up-chirp階段和down-chirp階段的差頻信號測量目標的徑向速度與距離。在圖1-19（a）中，up-chirp階段的差頻為fR（t）-fT（t）=f1，滿足f1=fd-γτ0；down-chirp階段的差頻為fR（t）-fT（t）=f2，滿足f2=fd+γτ0，因此有f1+f2=2fd。則可估計目標的徑向速度為

在圖1-19（b）中，差頻信號的兩個拐點的坐標滿足2γτ=Δf=f2-f1，因此可以計算出運動目標的距離為

當目標靜止時，有f1=-f2=fb，則式（1-73）與式（1-69）相同。

需要說明的是，以上分析僅涉及一個目標。在式（1-72）和式（1-73）中，測量運動目標的徑向速度與距離時需要同時用到up-chirp階段和down-chirp階段的差頻信號。這是因為線性調頻脈沖雷達波形的距離-多普勒耦合、延時（或目標距離）和多普勒頻率（或目標徑向速度）都會產生接收信號與發射信號的差頻。圖1-20是“距離-速度”平面示意。在圖1-20（a）中，單個up-chirp階段和單個down-chirp階段的差頻fb只能各自給出“距離-速度”平面內的一條測量直線，只有結合兩條測量直線才能確定唯一的交點。然而，當場景中存在多個目標時，up-chirp階段和down-chirp階段的測量直線在“距離-速度”平面內會產生多個交點，除了目標真實的運動狀態，還有“鬼像”。例如，在圖1-20（b）的4個交點中，只有兩個為真實目標［7］。

1.5.3　快速chirp雷達測量距離與速度的算法

快速chirp的調頻體制是一種應用廣泛的雷達波形，其特點是在一個相參處理間隔內有多個chirp信號，很好地解決了單chirp調頻連續波雷達觀測多個目標時出現的“鬼像”問題［7］。快速chirp信號的波形及處理流程如圖1-21所示，它包含一組up-chirp信號。chirp重復的間隔稱為掃頻重復間隔（Chirp Repetition Interval，CRI），記為T，其倒數稱為掃頻重復頻率（Chirp Repetition Frequency，CRF），記為fCRF。與脈沖串雷達類似，可以將快速chirp雷達采集的差頻信號排列為數據矩陣。在一個chirp內的采樣點對應的維度稱為快時間，采樣間隔為Ts=1/fs，fs為采樣率，設每個chirp內的采樣點數為N，滿足T=NTs；不同chirp對應的維度稱為慢時間，設每個相參處理間隔內的chirp數為M，滿足TCPI=MT。這樣，時間t可以表示為t=mT+tn=mT+（n-N/2）Ts，m=0，1，…，M-1，n=0，1，…，N-1，差頻信號可以排列為數據矩陣s［n，m］=sm（tn）=s（mT+tn）。

與1.5.2節中up-chirp階段的推導類似，假設目標以恒定的徑向速度vr運動，目標到雷達的距離為R（t）=R0+vrt，延時為，其中。則第m個chirp中差頻信號的表達式變為

假設目標在一個相參處理間隔內的運動不超過一個距離單元，即，則在γτtn和兩項中可以近似認為R（t）≈R0或τ≈τ0，于是有

式中，；快時間取值范圍為。與脈沖串雷達類似，快速chirp雷達的最大無模糊多普勒頻率取決于掃頻重復間隔。如果目標的多普勒頻率為-fd，ua～fd，ua，則有，這說明差頻主要受距離的影響，而多普勒頻率對差頻的影響小于一個距離單元對差頻的影響。因此，可以認為，在快時間維做傅里葉變換，就得到了目標距離像信號ym（R），表達式為

在快速chirp體制中，差頻信號的采樣率通常遠小于chirp信號的帶寬，即fs?B。當不產生距離模糊時，差頻滿足fb≤fs，最大無模糊距離為，則有。因此，在計算式（1-76）的積分時，可以近似認為式（1-75）成立的時間范圍為-T/2≤tn≤T/2。由此得到目標距離像信號ym（R）的表達式為

式中，為多普勒頻率造成的距離測量誤差。當不產生速度模糊時，，可以近似認為R0+ΔR≈R0，而目標運動對差頻的影響主要體現在多個慢時間單元之間的相位exp（j2πfdmT）上。在實際的信號處理中，可以對s［n，m］在快時間維做FFT，得到距離-慢時間信號y［l，m］，將距離R離散化為L個距離單元，l=0，1，…，L-1，表達式為

式中，為歸一化多普勒角頻率。多普勒頻率估計的后續推導與1.4.3節中的相同。在慢時間維做FFT，得到距離-多普勒譜為

其幅度近似為

距離-多普勒譜表征了目標的距離、徑向速度分布，其峰值出現在rl=R0、ωk=ωd處。

單個運動目標的距離-多普勒譜仿真如圖1-22所示。在仿真中，雷達載頻為24GHz，波長約為1.25cm。目標在徑向做簡諧運動（這里雷達只反映目標的徑向運動，目標實際運動狀態也可以是勻速圓周運動等曲線運動），目標距離、徑向速度分別為R（t）=R0+R1sin（ωt），vr（t）=ωR1cos（ωt），其中目標運動的起始距離為R0=10m，幅度為R1=0.4m，角速度為ω=π rad/s，最大徑向速度為ωR1=0.4π≈1.26m/s，最大多普勒頻率約為201Hz。由于目標的運動狀態滿足方程，因此目標的距離-多普勒譜近似為一個橢圓，如圖1-22中的藍色實線所示。不同運動狀態的目標會在距離-多普勒平面留下不同的軌跡，因此距離-多普勒譜可用于識別目標的不同運動狀態，如識別人體不同的手勢、步態等。

1.5.4　快速chirp雷達微多普勒測量的算法

除了目標整體運動導致的多普勒頻率，由于各部分的運動狀態不同，人體等復雜目標還會產生微多普勒。例如，人體四肢運動、呼吸、心跳等都會產生微多普勒［15］。下面介紹利用快速chirp波形測量微多普勒的處理流程。首先根據式（1-76）對數據矩陣s［n，m］沿快時間維做FFT，得到距離-慢時間信號y［l，m］。由于目標整體位于某一距離范圍內，因此微多普勒分析的輸入（t）可以是一個或若干個距離門內的慢時間信號，即

式中，G為選定的距離門范圍。對一維時序信號（t）做時頻分析，即得到時頻圖，可以反映多普勒頻率隨時間變化的規律。常用的時頻分析工具有短時傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT）、維格納-威利分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）、科恩（Cohen）類等［10-14］。

以STFT為例，微多普勒譜可獲取如下。

式中，w（t）是某一窗函數（如矩形窗、Hamming窗等）。STFT就是用一個滑動窗截取信號，對窗內信號做傅里葉變換，即可得到隨時間窗滑動變化的頻率分布，也就是目標的時頻圖。滑動窗的窗長設置會影響時頻分辨率，窗長越長，時間分辨率ρt越低，頻率分辨率ρfd越高。時頻分辨率的關系滿足［14］

這就是STFT的不確定性關系，說明高時間分辨率與高頻率分辨率不能兼顧。不同窗長下STFT計算得到的時頻圖如圖1-23所示，其中窗長分別為64、128和512，慢時間采樣間隔均為1ms。在仿真中，雷達載頻為24GHz，波長約為1.25cm。目標在4s內做了一次勻速折返運動，徑向速度為1m/s。在前2s中，目標勻速遠離雷達，多普勒頻率為fd=-160Hz；在后2s中，目標勻速接近雷達，多普勒頻率為fd=160Hz。當窗長為64時，時頻圖上的條帶在多普勒頻率維較寬，說明頻率分辨率較低，但是兩個條帶在時間維幾乎沒有重疊，說明時間分辨率較高。當窗長為512時，盡管兩個條帶在多普勒頻率維較窄，即頻率分辨率較高，但是兩個條帶在時間維明顯重疊，說明時間分辨率較低。當窗長為128時，時頻圖的時頻分辨率介于上述兩者之間。

WVD是另一種重要的時頻分析工具，其表達式為

WVD的物理含義是瞬時自相關函數的傅里葉變換，因此WVD的幅度具有能量譜的含義，表征了信號（t）的能量在時間、頻率兩個維度上的分布。

下面用仿真實驗展示STFT和WVD的時頻分析結果，如圖1-24所示。在仿真中，雷達載頻為24GHz，波長約為1.25cm。在圖1-24（a）～（c）中，目標在徑向做簡諧振動。與1.5.3節相同，目標距離、徑向速度分別為R（t）=R0+R1sin（ωt），vr（t）=ωR1cos（ωt），其中目標運動的起始距離為R0=10m，幅度為R1=0.4m，角速度為ω=π rad/s，最大徑向速度為ωR1=0.4π≈1.26m/s，最大多普勒頻率約為201Hz。從圖中可以看出，目標距離、多普勒頻率均為時間的正弦函數。在圖1-24（d）～（f）中，目標在徑向做勻速折返運動。目標初始距離為R0=8m，徑向速度為1m/s。在前2s中，目標勻速遠離雷達，多普勒頻率為fd=-160Hz；在后2s中，目標勻速接近雷達，多普勒頻率為fd=160Hz。由于在兩段運動中目標速度保持不變，因此在時頻圖中出現了兩個水平的條帶。

STFT和WVD在實際應用中各有優缺點。STFT使用時頻基函數與信號計算內積，是一種線性變換，物理意義比較明確，不足之處在于時頻分辨率相互限制；WVD是一種非線性變換，沒有STFT等線性變換中的時頻分辨率限制，但不足之處在于對多分量信號進行分析時存在交叉項，這種交叉項可以用Cohen類算法（帶有低通濾波器的WVD）來抑制［14］。時頻分析有望提取目標精細的運動信息。例如，在人體感知應用中，當人面朝雷達站立時，人體的四肢、胸廓幾乎處于同一個距離單元內，根據距離上的變化很難分析人體各部分的運動，但通過時頻分析能夠感知到人體的四肢運動、呼吸、心跳等產生的微多普勒［15］。