1.2 基本運算

MATLAB的產(chǎn)生是由矩陣運算推出的，因此矩陣和數(shù)組運算是MATLAB最基本、最重要的功能.本章主要介紹MATLAB的數(shù)據(jù)類型，以及矩陣和數(shù)組的基本運算.

1.2.1 數(shù)據(jù)類型

MATLAB R2023定義了15種基本的數(shù)據(jù)類型，包括整型、浮點型、字符型和邏輯型等，用戶也可以定義自己的數(shù)據(jù)類型.MATLAB內(nèi)部的所有數(shù)據(jù)類型都是按照數(shù)組的形式進行存儲和運算的.

數(shù)值型包括整數(shù)和浮點數(shù)，其中整數(shù)包括有符號數(shù)和無符號數(shù)，浮點數(shù)包括單精度型和雙精度型.在默認(rèn)情況下，MATLAB R2023默認(rèn)將所有數(shù)值都按照雙精度浮點數(shù)類型來存儲和操作，用戶如果要節(jié)省存儲空間，可以使用不同的數(shù)據(jù)類型.

1.常數(shù)和變量

1）常數(shù).MATLAB的常數(shù)采用十進制表示，可以用帶小數(shù)點的形式直接表示，也可以用科學(xué)計數(shù)法表示，數(shù)值的表示范圍是10-309～10309.

2）變量.變量是數(shù)值計算的基本單元，使用MATLAB變量時無須先定義，其名稱是第一次合法出現(xiàn)時的名稱，因此使用起來很便捷.

（1）變量的命名規(guī)則

●變量名區(qū)分字母的大小寫.例如“A”和“a”是不同的變量.

●變量名不能超過63個字符，第63個字符后的字符被忽略.

●變量名必須以字母開頭，變量名的組成可以是任意字母、數(shù)字或者下劃線，但不能有空格和標(biāo)點符號.

●關(guān)鍵字（如if、while等）不能作為變量名.

在MATLAB R2023中，所有標(biāo)識符（包括函數(shù)名、文件名）都遵循變量名的命名規(guī)則.

（2）特殊變量

MATLAB有一些自己的特殊變量，是由系統(tǒng)預(yù)先自動定義的，當(dāng)MATLAB啟動時駐留在內(nèi)存中，常用特殊變量如表1-4所示.

2.整數(shù)和浮點數(shù)

（1）整數(shù)

MATLAB R2023提供了8種內(nèi)置的整數(shù)類型，為了在使用時提高運行速度和存儲空間，應(yīng)該盡量使用字節(jié)少的數(shù)據(jù)類型，使用類型轉(zhuǎn)換函數(shù)可以將各種整數(shù)類型強制相互轉(zhuǎn)換.表1-5中列出了各種整數(shù)類型的數(shù)值范圍和類型轉(zhuǎn)換函數(shù).

（2）浮點數(shù)

浮點數(shù)包括單精度型（single）和雙精度型（double），其中雙精度型為MATLAB默認(rèn)的數(shù)據(jù)類型.表1-6中列出了各種浮點數(shù)的數(shù)值范圍和類型轉(zhuǎn)換函數(shù).

3.復(fù)數(shù)

MATLAB用特殊變量“i”和“j”表述虛數(shù)的單位，因此，注意在編程時不要和其他變量混淆.

復(fù)數(shù)的產(chǎn)生可以有幾種方式：

●z=a+b*i或z=a+b*j.

●z=a+bi或z=a+bj（當(dāng)b為常數(shù)時）.

●z=r*exp（i*theta），其中相角theta以弧度為單位，復(fù)數(shù)z的實部a=r*cos（theta）；復(fù)數(shù)z的虛部b=r*sin（theta）.

●z=complex（a，b）.

MATLAB中關(guān)于復(fù)數(shù)的運算函數(shù)如表1-7所示.

1.2.2 矩陣和數(shù)組的運算

1.矩陣的輸入

下面介紹幾種矩陣的常用輸入方法.

（1）直接輸入

這是一種最方便、最直接的方法，它適用于對象維數(shù)較少的矩陣.矩陣的輸入應(yīng)遵循以下基本規(guī)則：

●矩陣元素應(yīng)用方括號“[]”括住.

●同行內(nèi)的元素間用逗號“，”或空格隔開.

●行與行之間用分號“;”或回車鍵隔開.

●元素可以是數(shù)值或表達式.

例1-5 直接輸入命令創(chuàng)建矩陣

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

（2）用矩陣編輯器輸入

矩陣編輯器適用于維數(shù)較大的矩陣.在調(diào)用矩陣編輯器之前必須先定義一個變量，無論是一個數(shù)值還是一個矩陣均可.輸入步驟如下：

●在命令行窗口創(chuàng)建變量A.

●在工作區(qū)可以看到多了一個變量A，雙擊變量A就可打開矩陣編輯器.

●選中元素可以直接修改元素的值，修改完畢后單擊關(guān)閉按鈕，這時變量就被定義并保存了.

（3）用矩陣函數(shù)生成矩陣

除了逐個輸入元素生成所需矩陣外，MATLAB還提供了大量的函數(shù)來創(chuàng)建一些特殊的矩陣.

1）生成對角矩陣：

●A=diag（v，k）生成主對角線方向上的第k（整數(shù)）層元素是向量v的矩陣.規(guī)定：當(dāng)k=0時，它表示矩陣的主對角線；當(dāng)k>0時，它表示主對角線的平行位置上方的第k層；當(dāng)k<0時，它表示主對角線的平行位置下方的第|k|層.

●v=diag（A，k）提取矩陣A中主對角線方向上第k（整數(shù)）層元素，得到的是向量v.

2）魔方矩陣（矩陣中每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等）：magic（n）生成n階魔方矩陣，其中n為大于2的正整數(shù).

3）隨機矩陣：rand（m，n）隨機生成服從均勻分布的m×n矩陣，其元素為0～1之間的數(shù).

此外，還有零矩陣、單位矩陣、元素全為1的矩陣等特殊矩陣，函數(shù)功能見表2-5.

例1-6 利用函數(shù)生成矩陣

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

例1-7 （1）生成一個3階魔方矩陣A；（2）生成一個4階單位矩陣B.

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

例1-8 輸入矩陣

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

例1-9 隨機生成含有5個元素的行向量.

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

例1-10 隨機生成數(shù)值在10～30之間的含有5個元素的行向量.

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

例1-11 生成三對角矩陣

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

（4）通過文件生成

有時需要處理一些沒有規(guī)律的數(shù)據(jù)，如果在命令行窗口輸入，清除后再次使用時需要重新輸入，這就增加了工作量.為解決此類問題，MATLAB提供了兩種解決方案：一種方案是直接將數(shù)據(jù)作為矩陣輸入到M文件中；另一種方案是將數(shù)據(jù)作為變量保存到MAT文件中.

用M文件保存矩陣的方法是在M文件編輯器中按照正常輸入矩陣的方法輸入數(shù)據(jù)，然后將其保存成M文件.使用時在命令行窗口直接輸入文件名即可.

例1-12 用M文件保存矩陣

解 在M文件編輯器中輸入以下矩陣，保存成文件shuju1.m：

在命令行窗口直接輸入文件名將顯示矩陣信息：

（5）數(shù)組生成

數(shù)組作為特殊的矩陣，即1×n矩陣或n×1矩陣，除了可以作為普通的矩陣輸入外，還有其他生成方式.

1）使用from:step:to生成數(shù)組，當(dāng)step省略時，表示步長step=1.當(dāng)step為負數(shù)時，可以創(chuàng)建降序的數(shù)組.

例1-13 使用from:step:to創(chuàng)建數(shù)組.

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

2）使用linspace和logspace函數(shù)生成數(shù)組.linspace用來生成線性等分?jǐn)?shù)組，logspace用來生成對數(shù)等分?jǐn)?shù)組.logspace函數(shù)可以用于對數(shù)坐標(biāo)的繪制.

命令格式如下：

2.矩陣和數(shù)組的算術(shù)運算

矩陣的運算規(guī)則是按照線性代數(shù)運算法則定義的，但是有著明確而嚴(yán)格的數(shù)學(xué)規(guī)則，而數(shù)組運算是按數(shù)組的元素逐個進行的.

（1）矩陣運算

矩陣的基本運算包括加法（+）、減法（-）、乘法（×）、左除（）、右除（/）和乘冪（^）等.另外還有其他運算，如求矩陣A的轉(zhuǎn)置（transpose（A））、A的行列式（det（A））、A的秩（rank（A））等，本書后面的章節(jié)將對這些運算進行詳細介紹.

（2）數(shù)組運算

數(shù)組運算又稱點運算，其加、減、乘、除和乘方運算都是對兩個尺寸相同的數(shù)組進行元素對元素的運算.設(shè)數(shù)組為

α=[a1，a2，…，an]，β=[b1，b2，…，bn]

則對應(yīng)的具體運算為

例1-14 數(shù)組運算示例.

例1-15 計算sin（kπ/2）（k=±2，±1，0）的值.

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

從以上示例可以看出，數(shù)組運算是對應(yīng)元素的運算.

3.關(guān)系運算和邏輯運算

MATLAB常用的關(guān)系操作符有<（小于）、<=（小于等于）、>（大于）、>=（大于等于）、==（等于）、～=（不等于）.關(guān)系運算的結(jié)果是邏輯值1（true）或0（false）.常用的邏輯運算符是&（與）、|（或）、～（非）和xor（異或）.

例1-16 已知矩陣，對它們進行簡單的關(guān)系與邏輯運算.

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

1.2.3 字符串

MATLAB處理字符串的功能也非常強大，字符串用單引號（''）括起的一串字符表示.

1.字符串的輸入

1）直接賦值：用單引號（''）括起字符來直接賦值創(chuàng)建字符串.

●輸入英文字符：

●輸入中文字符：

●使用兩個單引號輸入字符串中的單引號：

2）多個字符串組合.

●用“，”連成長字符串：

●用“;”構(gòu)成m×n的字符串矩陣，每行字符串元素的個數(shù)可以不同，但每行字符的總數(shù)必須相同，否則系統(tǒng)報錯.

2.字符串常用操作

MATLAB R2023可以對字符串進行查找、比較、運行等操作.

例1-17 使用字符串函數(shù)運算.

解 MATLAB命令為：

運行結(jié)果為：

常用的字符串函數(shù)如表1-9所示.