1　緒論

1.1　選題背景與問題提出

1.1.1　選題背景

資產收益率分布具有尖峰厚尾、非對稱等高階矩特征，以及投資者效用函數的非二次性，已經被大量研究證實。這導致了馬克維茨的均值-方差分析和期望效用原則具有一致性的充分條件不再成立（Markowitz，1952；Liu，2004；Hong，Tu和Zhou，2007；Markowitz，2014）。在一個對效用函數形狀相對較弱的假設條件下，Scott和Horvath（1980）以及Kimball（1993）發現除了均值和方差外，投資者對單個資產或投資組合的高階矩同樣存在顯著的偏好。Ang等（2006）以及Harvey和Sidddique（2000）基于上述問題通過實證研究發現，在不存在估計誤差的條件下，大部分投資者愿意放棄均值-方差投資組合，以低收益、高風險為代價來獲得偏度為正、峰度較低的投資組合方式。為了突破均值-方差投資組合模型的局限性，基于高階矩的投資組合研究逐漸得到了學者們的關注（Kendall和Hill，1953；Mandelbrot，1963a和1963b；Samuelson，1970；Liu，Wang和Qiu，2010；Cvitanic，Polimenis和Zapatero，2008；Boudt，Lu和Peeters，2015；Lu，Yang和Boudt，2019）。

如何將高階矩與投資組合關聯起來，主流文獻中通常采用如下兩種方式：一種是在均值-方差模型框架下直接加入高階矩（偏度和峰度），從而形成均值-方差-偏度或均值-方差-偏度-峰度投資組合模型（Lai，1991；Sun和Yan，2003；Briec，Kerstens和Woestyne，2013）；另一種是以投資者期望效用函數最大化為目標，通過泰勒級數展開將投資組合問題近似轉化為基于高階矩的投資組合優化來進行間接求解（Harvey和Siddique，2000a；蔣翠俠、許啟發、張世英，2007，2009）。

以上兩種研究方法各有利弊，但不可避免地均需要估計協方差矩陣、協偏度矩陣以及協峰度矩陣。隨著資產個數的增加，估計協偏度矩陣和協峰度矩陣中的維數會以指數形式快速增加進而涉及高維問題，這一問題在估計協方差矩陣時同樣存在。同時大量研究已經表明，使用歷史收益率數據估計的樣本協方差矩陣存在較大的估計誤差，從而無法良好地分散風險以達到最優的投資組合效果（Michaud，1998）。因此，大量參數需要估計，使得“維數災難”成為研究此類問題亟待解決的難題。例如，在包含20個資產的投資組合中，協方差矩陣、協偏度矩陣以及協峰度矩陣需要估計的參數分別達到了210、1 540和8 855個。為了保證樣本觀測數量超過待估參數的個數，我們至少需要45年的月度數據。考慮中國金融市場起步較晚，沒有足夠的低頻時間序列數據可供使用，因此將“均值-方差”分析的傳統方法直接推廣到高階矩中存在著現實意義上的困難（Brandt，Santa-Clara和Valkanov，2009）。

1.1.2　問題提出

目前，國內外已有部分學者對高階矩建模及其投資組合理論和應用進行了研究。盡管部分研究在某些方面已經較為深入，但仍存在以下幾點不足之處，具體來看：

（1）在因子模型最優因子個數識別方面，幾乎所有研究均是基于均值-方差理論展開的，而基于高階矩最優因子個數識別的理論和識別方法尚未被進行深入的研究。目前來看，盡管已有大量文獻在投資組合框架下研究了如何減少協方差矩陣中元素的估計誤差，但基于高階矩投資組合方面如何提高高階矩估計質量的研究并不多見。在高階矩方面，之前大部分研究聚焦于如何利用高階矩信息進行資產定價（Kraus和Litzenberger，1976；Harvery和Siddique，2000），且大量學者通過實證研究發現風險溢價的存在同樣與投資組合收益率分布的高階矩有關（Dittmar，2002；Ang，Chen和Xing，2006）。但很少有研究關注如何提高高階矩矩陣的估計質量。相比之下，Martellini和Ziemann（2010）較早地拓展了多種在協方差矩陣估計中被證明有用的統計技術并應用到高階矩條件中。比較直觀的解決“維數災難”的方式是對各階矩矩陣中元素施加某種約束，使其結構化以降低參數空間的維度。其中，單因子模型（Sharpe，1963）或多因子模型（Chan，Karceski和Lakonishok，1999；Fama和French，1993，2015）可以作為一個有意義的拓展手段解決“維數災難”問題。這兩種方法均以增加模型設定誤差為代價來減少估計誤差。目前，根據因子選擇方法的不同，主流文獻中存在三種類型的多因子模型：宏觀經濟因子模型、基本面因子模型和統計因子模型（Zivot，2011；Goyal，2012）。對于該三種因子模型的優劣，Connor（1995）較早地采用美國證券市場數據基于解釋能力對該三種方法進行了比較，研究發現統計因子模型和基本面因子模型顯著優于宏觀經濟因子模型，同時基本面因子模型略優于統計因子模型。Chan，Karceski和Lakonishok（1999）基于樣本外預測角度認為Fama和French（1993）三因子模型在選擇最小方差投資組合時已經足夠，更多的因子無益于提高預測精度。Martellini和Ziemann（2010）較早地將因子模型拓展到了高階矩的估計，但在因子個數選擇方面并沒有過多討論，而僅僅是采用了Sharpe（1963）的單因子模型，對于一些簡單的投資組合問題，如在同一市場中的組合或資產個數較低時，用單因子模型來描述資產收益率有可能是可以接受的，但面對不同市場的組合或高維投資組合時，僅僅使用單一因子估計就可能會導致較大的偏差。在對多因子模型高階矩估計方面，僅有Boudt、Lu和Peeters（2015）基于多因子模型討論了協偏度和協峰度的估計，不僅在一定程度上緩解了“維數災難”的問題，同時也證明了樣本外預測的優良性質。Boudt、Cornilly和Verdonck（2016）對Martellini和Ziemann（2010）的研究做了進一步推廣，獲得了多因子模型下協偏度矩陣的最優壓縮估計量，并發現其在均方誤差下具有令人滿意的效果。

采用因子模型方法估計協方差矩陣已經被廣泛使用，然而采用同樣方法估計三階矩和四階矩等高階矩矩陣直到近些年才引起部分學者的重視（Harvey和Siddique，2000a和2000b；Christie-David和Chaudhry，2001；Martellini和Ziemann，2010），這在一定程度上得益于投資者對極值風險的關注、對沖基金等非正態資產的使用、決策理論的提出以及統計方法和計量經濟學模型的發展。傳統的非限制性估計方法雖然可以保證參數估計的無偏性，但面對高階矩時無法解決“維數災難”這一問題。而通過因子模型對高階矩矩陣施加結構化約束雖然可以大大減少待估參數的個數，但也增加了模型設定錯誤的可能性，因此在對矩陣施加結構化約束的過程中，因子個數選取的合理性這一問題也不可避免地需要考慮。綜合以上原因，有必要提出一套完整的統計方法用以檢驗使用因子模型估計高階矩矩陣時的最優因子個數。

（2）為了降低高階矩中元素的估計誤差在投資組合優化中帶來的影響，受到研究方法以及數據頻率的限制，目前大部分研究采用同頻數據，而忽略了非同頻因素的影響。Fan、Li和Yu（2012），馬丹和劉麗萍（2012）和Hautsch，Kyj和Malec（2013）等基于高頻數據獲得協方差矩陣研究均值-方差投資組合問題時，發現相對于低頻數據的投資組合，使用高頻數據投資組合風險更小，經濟價值更高。但考慮到我國金融市場中資產收益率歷史數據往往較少，而可供使用的因子歷史數據往往較多，因此可充分利用頻率較高的因子數據構建具有較高R2的混頻模型，從而進一步降低各階矩矩陣中元素的估計誤差。可以將基于混合頻率多因子模型的高階矩投資組合建模作為一種十分具有研究價值的手段以解決“維數災難”問題。在關于混合頻率回歸模型的相關文獻中，Ghysels等（2004，2007）提出了一種可行性較強的混頻數據抽樣（MIDAS）模型方法，Clements和Galvao（2008，2009）研究了混合頻率回歸模型的預測表現。Bai等（2013）通過使用混頻動態因子模型研究了混頻模型和卡爾曼濾波的關系，并且發現對于平穩序列，兩種方法可以獲得同等的預測效果。Fuleky和Bonham（2013）已經證明了混合頻率因子模型在預測方面的優良性質，但基于混頻高階矩建模的研究鮮有。

綜上所述，盡管國內外已有眾多學者對高階矩建模及其投資組合理論進行了較為廣泛的研究，但在基于因子模型高階矩建模最優因子個數識別以及混頻高階矩投資組合理論與建模這一研究方向上，仍然存在諸多問題有待解決。