2.2.1 雙運(yùn)放三折線負(fù)阻非線性蔡氏電路

蔡氏電路原理圖非常簡單，然而電路動(dòng)態(tài)特性卻極其復(fù)雜，成為現(xiàn)代非線性電路的典范。之后，電子學(xué)工作者設(shè)計(jì)了一大批混沌電路。現(xiàn)在的混沌電路現(xiàn)已經(jīng)形成一個(gè)龐大的家族，使得非線性電子學(xué)電路現(xiàn)成為非線性科學(xué)領(lǐng)域中引人矚目的一個(gè)學(xué)科分支。蔡氏電路因其簡潔性和代表性而成為研究非線性電路中混沌現(xiàn)象的典范。

蔡氏電路的結(jié)構(gòu)有多種，其變形電路更是數(shù)目眾多。本小節(jié)介紹的電路稱為經(jīng)典蔡氏電路，是雙運(yùn)放三折線負(fù)阻非線性蔡氏電路。該電路由一個(gè)非線性單元（蔡氏二極管）、一個(gè)線性電阻、一個(gè)線性電感和兩個(gè)線性電容組成。常用、和iL表示電容元件C1、C2的兩端電壓及通過電感L的電流，G表示電阻器的電導(dǎo)，這三個(gè)變量不顯示時(shí)間，系統(tǒng)狀態(tài)由、、iL三個(gè)狀態(tài)變量描述，三個(gè)狀態(tài)變量構(gòu)成三維相空間。其電路原理圖如圖2.33所示。

經(jīng)典蔡氏電路的結(jié)構(gòu)分為兩部分，即線性部分與非線性部分。線性部分包含一個(gè)電阻、一個(gè)電感與兩個(gè)電容，用它們構(gòu)成電路數(shù)學(xué)模型的微分方程動(dòng)態(tài)部分；非線性部分是由兩個(gè)運(yùn)算放大器構(gòu)成的電路，是“兩端器件”，是靜態(tài)電壓-電流型非線性器件，伏安特性曲線呈三折線形狀，稱為“蔡氏二極管”。非線性電路的伏安特性曲線分布在第二、四象限，是負(fù)電阻，像電池一樣對(duì)外供電，是供能元件。兩部分電路的能量傳送關(guān)系是“蔡氏二極管”向線性耗能部分電路傳送能量（有時(shí)也吸收能量），深入地看，這符合物理學(xué)中的耗散結(jié)構(gòu)理論的數(shù)學(xué)模型。

蔡氏電路滿足的微分方程是

式中

或

以上電路狀態(tài)方程是根據(jù)電路原理圖直接寫出來的，從數(shù)學(xué)的角度來看沒有“數(shù)學(xué)化”，也不便于使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值仿真。為便于研究，將上面的公式進(jìn)行數(shù)學(xué)變量代換處理，成為無量綱的歸一化公式[18]，即

式中

代入一組具體電路參數(shù)，歸一化公式成為

式中

以后還要遇到標(biāo)度化公式（2.24），這里暫時(shí)不列出。用EWB軟件仿真的結(jié)果如圖2.34所示。

對(duì)于經(jīng)典蔡氏電路，使用示波器測量能夠得到兩個(gè)波形圖與一個(gè)相圖，仿真圖與其中的仿真參數(shù)清晰圖分別如圖2.35和圖2.36所示。

改變經(jīng)典蔡氏電路中的線性電阻R值，電路輸出相圖的形態(tài)出現(xiàn)復(fù)雜的、差別很大的圖形，蔡氏電路的混沌演變?nèi)鐖D2.37所示，在專業(yè)術(shù)語中分別稱為穩(wěn)態(tài)不動(dòng)點(diǎn)——穩(wěn)定焦點(diǎn)，經(jīng)典周期-周期1、周期2、周期4、周期8等倍分岔，第一次進(jìn)入單渦旋混沌，周期3，周期6等第二次進(jìn)入單渦旋混沌……雙渦旋混沌、雙渦旋周期、雙渦旋混沌與周期……發(fā)散單葉周期（單葉周期實(shí)際是集成電路穩(wěn)壓電源限幅振蕩，不是蔡氏電路的理論推導(dǎo)結(jié)果）。這個(gè)過程稱為混沌演變，是混沌科學(xué)中的重要概念。