1.2 魯棒優化

1.2.1 魯棒優化的一般概念

魯棒優化（Robust Optimization，RO）是一類基于區間擾動信息的不確定性決策方法，其目標在于實現不確定參數最劣情況下的最優決策，即通常所說的最大最小決策問題[1-3]。

魯棒優化具有如下特點：

1）決策關注于不確定參數的擾動邊界，一般不需要獲知不確定參數精確的概率分布；

2）一般來講，魯棒優化模型可通過轉化，構成其確定性等價模型進行求解，求解規模與隨機規劃方法相比相對較小；

3）由于魯棒優化決策針對不確定參數的最劣實現情況，其解往往存在一定的保守性。

上述特點使魯棒優化成為一類特殊的不確定優化方法，具有獨特的應用條件與效果。

不失一般性，以考慮參數不確定性的線性規劃問題為例，構建魯棒優化的一般模型[1]，表示為

式中，x代表n階待決策向量；c是線性目標函數中的參數向量；A是約束方程中的m×n階系數矩陣；b是m階右邊項參數向量；U是不確定集。

由式（1.1）可以看出，線性魯棒優化模型與線性規劃模型在形式上具有一致性，但兩者參數的屬性有著本質區別。魯棒優化模型考慮了目標函數和約束條件中參數的不確定性，即參數c，A，b可在不確定集合U中任意取值，當然，其也可以為確定值。

根據魯棒優化的定義，其解具有以下特點：

1）決策在不確定參數實現情況未知條件下進行，可以獲得一個確定的解；

2）決策結果足以應對所有不確定參數的同時擾動；

3）當不確定參數在預先設定的不確定集內取值時，模型約束必然滿足。

由此可見，魯棒優化模型的有效解是指當模型參數在不確定集合中任意取值時，能夠保證所有約束均滿足的一組確定的數值解。

為體現魯棒優化解的上述特點，需在魯棒優化模型中顯式表達參數不確定性給決策結果帶來的最劣影響，由此，可將式（1.1）所示的魯棒優化標準模型轉化為其魯棒對等模型，如式（1.2）所示：

該模型中，內部嵌套的最大化問題表征了不確定參量對于優化的最劣影響，而外部最小化問題則表明了魯棒優化所尋求的最優解是在最劣情況下的最好解。觀察式（1.2）不難發現，在將不確定參量作為內層優化問題的決策變量后，該式變為一個確定性的多層嵌套的優化問題，其求解思路是將內層子問題通過對偶變換等方式處理，形成單層線性或非線性確定性優化問題，實現模型的可解化處理。進而，可通過各類分解迭代快速算法（如Benders分解法、割平面法、C&CG算法等），實現問題的有效求解[4-6]。