1.1.2　一些常用的時間序列

在研究離散時間信號與系統理論時，一些常用的序列是非常重要的。

1．單位沖激序列δ（n）

單位沖激序列（unit sample sequence）也稱為單位采樣序列或脈沖序列，其定義為

單位沖激序列類似于模擬信號中的單位沖激函數δ（t）。單位沖激信號δ（t）是建立在積分定義上的，即。δ（t）是不可實現的數學極限，而δ（n）是可實現的。單位沖激序列和單位沖激信號如圖1-3所示。

單位沖激序列在離散信號與系統的分析與綜合中有著重要的作用。將單位沖激序列平移m個單位，可以表示為

這樣，任意的序列都可以表示成單位沖激序列移位加權和的形式，即

例如，序列如圖1-4所示。

可以采用單位沖激序列δ（n）來表示，即

x（n）=0.5δ（n+2）+1.5δ（n-1）-δ（n-2）+δ（n-4）+0.75δ（n-6）

因此，在說明某些離散時間系統（線性移不變系統）特性的時候，可以利用單位沖激序列作用時系統的輸出響應序列，即單位沖激響應來完全描述，進而可以得到任意序列輸入下系統的輸出，因此單位沖激序列在離散系統的研究中具有重要的意義。

2．單位階躍序列u（n）

單位階躍序列（unit step sequence）定義為

單位階躍序列如圖1-5所示。

單位階躍序列u（n）可以看作是一組延遲的單位沖激序列之和，即

或者

單位階躍序列也可以表示為

可見，單位階躍序列u（n）相當于單位沖激序列的累加和序列。同樣，單位沖激序列也可以用單位階躍序列來表示

即單位沖激序列是單位階躍序列的一階向后差分。

3．矩形序列R_N（n）

矩形序列（rectangle sequence）也是信號處理中常用的序列，一般用R_N（n）表示，其中下腳標N表示矩形序列的長度。矩形序列R_N（n）定義為

矩形序列如圖1-6所示。

矩形序列R_N（n）可以采用單位沖激序列和單位階躍序列表示

在序列的表示中，經常采用矩形序列來表示一個序列的序列號n的取值范圍。例如一個序列x（n）=2n，-1＜n＜4，可以利用矩形序列表示為x（n）=2n·R₄（n）。

4．實指數序列

實指數序列（real exponential sequence）可以定義為

實指數序列如圖1-7所示。

隨著a取值不同，實指數序列呈現四種狀態，具體如圖1-8所示。

若|a|＞1，則序列發散；若|a|＜1，則序列收斂；若a＜0，則序列值表現為正、負交替的形式。

5．復指數序列

復指數序列（complex number exponential sequence）表示為

由歐拉公式可知，復指數序列可以表示為

其中，，表示信號序列的幅值；arg[x（n）]=ω₀n，表示信號序列的幅角。

復指數序列也可以表示為實部和虛部的形式，即

其中，x_re（n）表示復指數序列的實部，x_im（n）表示復指數序列的虛部。

例如，復指數序列的序列圖如圖1-9所示。

6．正弦序列

正弦序列（sinusoidal sequence）就是指序列值按正弦或余弦規律變化的序列。通常正弦序列可以表示為

其中ω₀是數字域頻率，單位為rad，反映序列按次序周期變化快慢的速率。?表示初相。

N表示序列在一個周期內的采樣點數。

正弦序列如圖1-10所示。

正弦序列也可以表示為

其中f表示頻率，單位為Hz。若令Ω=2πf，Ω表示相對連續信號x（t）的模擬角頻率，單位為rad/s。當頻率f從-∞到+∞變化時，模擬角頻率Ω也是從-∞到+∞變化。數字頻率ω₀與實際頻率f之間的關系如下：

其中f_s為采樣頻率。當頻率f從0變化到f_s時，ω₀從0變化到2π。當頻率f從0變化到-f_s時，ω₀從0變化到-2π。這樣，頻率f每變化f_s，ω₀變化2π。