5.1　斐波那契數列

列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250），意大利數學家，他在研究兔子繁殖問題時，發現了斐波那契數列。一般而言，兔子在出生兩個月后就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？

我們不妨從一對新出生的小兔子開始分析一下：

第一月，兔子剛出生，只有一對兔子；

第二月，小兔子還沒有繁殖能力，所以還是一對；

第三月，生下一對小兔，共有兩對兔子；

第四月，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對。這樣繼續畫下去我們可以得到圖5-1。

我們把月份、成年兔子對數和幼仔對數放入一張表，依此類推可以列出表5-1。

幼仔對數=前月成兔對數

成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數

總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數

可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有個十分明顯的特點：前面相鄰兩項之和構成了后一項。這樣我們把兔子對數寫下來構成斐波那契數列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

如果設a_n為該數列的第n項（n∈N*），那么相鄰項的關系可以寫成如下形式：

a_n=a_n-1+a_n-2

此時，

a₁=1，a₂=1　a_n=a_n-1+a_n-2?。?i>n≥3，n∈N*）

有了這個公式，我們用程序來產生斐波那契數列的前100項，并把它存在一張表里面，程序如下：

這個程序里面使用了列表這種數據結構，列表是Python中一個重要的數據對象，可以把它看成一個一排編了號的抽屜，抽屜中能存放任何能放得下的東西，可以通過編號訪問，可以排序，可以增加。表5-2列出了常用的操作中列表的方法，表中假設已經定義了一個列表L。

人們發現，當n趨向于無窮大時，前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618，我們可以試著計算一下：

1÷1=1，

1÷2=0.5，

2÷3=0.666…，

3÷5=0.6，

5÷8=0.625，

……

55÷89=0.617 977…，

144÷233=0.618 025…，

……

46 368÷75 025=0.618 033 988 6…，

……

可以看到，從第11個數開始，已經與黃金分割比的前三位小數一致了。仍然用前面的小程序來核算一下：