第136章 雙心四邊形2
- 數(shù)學(xué)屋
- 雪南衣
- 1316字
- 2022-11-02 22:46:39
以前,我覺(jué)得雙心四邊形一定是對(duì)角互補(bǔ)的。為什么呢?因?yàn)槲矣X(jué)得四邊形有內(nèi)接圓,那么它的對(duì)角就是互補(bǔ)的。然而,我就用尋找角平分線的交點(diǎn)來(lái)作圖時(shí)發(fā)現(xiàn)根本不行。當(dāng)時(shí)我沒(méi)有懷疑尋找角平分線交點(diǎn)的這個(gè)方法,但是后來(lái)通過(guò)我的嘗試卻開(kāi)始懷疑它。沒(méi)錯(cuò),我們的確是通過(guò)角平分線交點(diǎn)來(lái)找到三角形的內(nèi)接圓的。但是,在四邊形上并不適應(yīng)。原因就是四邊形是兩個(gè)三角形拼成的,但是實(shí)質(zhì)上是四個(gè)三角形。關(guān)鍵是這四個(gè)三角形的最大角的角平分線一定交于一點(diǎn)。并不是這樣的。你可能會(huì)說(shuō),有內(nèi)接圓的四邊形就可以。然而,真是這樣。于是,我先畫(huà)了一個(gè)圓。然后再在圓外接一個(gè)四邊形,結(jié)果發(fā)現(xiàn)角平分線并不是交于一點(diǎn)。還有,我偶然發(fā)現(xiàn)有時(shí)這個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。這時(shí),我才明白過(guò)來(lái)。原來(lái),對(duì)角互補(bǔ)才是順心四邊形的條件。因此,我就開(kāi)始了畫(huà)雙心四邊形的旅程。其中關(guān)鍵就是兩個(gè)對(duì)角互補(bǔ)。然后,剩下的兩個(gè)對(duì)角自然互補(bǔ)。因此,最重要的就是畫(huà)出這兩個(gè)對(duì)角。標(biāo)準(zhǔn)的尺規(guī)作圖是只允許用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī),而我自然無(wú)法這樣。要想畫(huà)出這兩個(gè)對(duì)角,必須要使用量角尺。首先,在已知圓外選取一定角度a。畫(huà)出射線并平移,使得射線與圓相切即可。延長(zhǎng)射線到很長(zhǎng)為止。同理,畫(huà)出角度(180-a),平移使得射線與圓相切。找出兩個(gè)交點(diǎn),這就是這個(gè)圓的外接四邊形。當(dāng)然,這只是粗略的描述而已。真正的方法還是有些微小的差異的。具體如下,
在已知圓上取一點(diǎn)A,從這點(diǎn)出發(fā)作一條切線在B點(diǎn)停止。用量角尺量出a度。過(guò)C點(diǎn)作AB垂線CD。再過(guò)C點(diǎn)作CD的垂線CE,所以CE平行于AB。其中E點(diǎn)是與已知圓的交點(diǎn)。以E點(diǎn)為圓心和BC為半徑畫(huà)弧,交于BC于點(diǎn)F。然后,就是在角AFE的對(duì)應(yīng)的已知圓的圓弧AE的另一邊取一點(diǎn)G。用量角尺畫(huà)出角度(180-a)。同上。然后,延長(zhǎng)四條射線。交于HI兩點(diǎn),那么AEHI就是雙心四邊形。
經(jīng)過(guò)測(cè)量,外接圓半徑是2.3,內(nèi)接圓半徑是1.5。而圓心距離是0.5。我推測(cè)圓心距離是內(nèi)接圓半徑的1/3。據(jù)此,我有理由認(rèn)為這是可能的結(jié)論。其實(shí),我覺(jué)得也就是內(nèi)接圓如此費(fèi)勁而已。所以,圓心距離才只是與內(nèi)接圓半徑有關(guān)。雖然不知道正確與否,但是我覺(jué)得可信度很高。
當(dāng)我第二次作圖時(shí),就發(fā)現(xiàn)有了錯(cuò)誤。在已知圓取一點(diǎn)A,過(guò)A點(diǎn)作圓的切線。在B點(diǎn)停止。取角a度,作出BC。要求三角形ABC要包含已知圓的一個(gè)半圓,圓心為o連接OA,以它為一條射線,O點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)角。使得這個(gè)角等于角B的補(bǔ)角。作出射線OD交圓于E。過(guò)E點(diǎn)作DE的垂線,交AB于F。在四邊形AODB中,角B和角AoD互補(bǔ)。所以,角BAO等于角ODB等于90度。因而,DE垂直于BD。又因?yàn)镈E垂直于EF,所以,EF平行于BD。所以,角ABD等于AFE。延長(zhǎng)BA和FE。三角形ABC對(duì)應(yīng)的已知圓的圓弧的另一邊取一點(diǎn)G,使得角度等于(180-a)。過(guò)G點(diǎn)的切線交FA于于H,量出角H的度數(shù)b。可知圓心角AOG等于(180-b)。根據(jù)作圖目的,對(duì)角互補(bǔ)。由于角B不是角H互補(bǔ),那么角H就要和另一個(gè)角互補(bǔ)。而這個(gè)角就是角E。當(dāng)然,現(xiàn)在角還沒(méi)有出現(xiàn)。然后,我們知道角E對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)就是b。以O(shè)E為射線,O點(diǎn)為頂點(diǎn)。作出度數(shù)等于b的角,角已知圓于I點(diǎn)。然后,作OI的垂線,交GH于J點(diǎn),交EF于K點(diǎn)。然后,四邊形AFKJ就是所求的雙心四邊形。核桃長(zhǎng)舒一口氣,總算把這座大山給拿下了。
三人也聽(tīng)得入神,忘記了自己應(yīng)該說(shuō)的話。然后,就沒(méi)有然后了。