1.4.2 質量損失函數

如何度量產品功能波動所導致的損失？田口博士發明了下述質量損失函數，質量損失函數按照質量特性的類型不同而取不同的形式。

1. 望目特性的質量損失函數

（1）望目特性質量損失函數的定義

設產品的質量特性Y為望目特性，目標值為m。若Y≠m，則造成損失，且|Y-m|越大，損失越大。設質量特性為Y的產品，相應的質量損失為L（Y），若L（Y）在Y=m處存在二階導數，按泰勒公式有：

不失一般性，設Y=m時，L（Y）=0，即L（m）=0；又因為L（Y）在Y=m時有最小值，所以

L′（m）=0

再略去二階以上的高階項，有

式中k=［L″（m）/2!］是不依賴于Y的常數，稱之為質量損失系數。今后我們稱以式（1-2）表示的函數為望目特性的質量損失函數，其圖形見圖1-1。

（2）質量水平

由于產品的質量特性Y表現為隨機變量，所以L（Y）亦為隨機變量，此時我們稱L（Y）的期望值

為產品的質量水平，式中μ、σ2分別為質量特性Y的期望值和方差。只有當μ=m時，式（1-3）才可簡化為

若有n件產品，其質量特性值分別為y1，y2，…，yn，則由式（1-3），質量水平可近似表示為

我們稱為這n件產品的平均質量損失。

式（1-2）和式（1-5）說明，由于質量特性波動所造成的損失與質量特性偏離目標值m的偏差均方成正比。這又一次說明，不僅不合格品會造成損失，即使合格品也會造成損失，質量特性值偏離目標值越遠，造成的損失越大。這就是田口博士對產品質量概念的新觀點。

（3）質量損失系數k的確定方法

如何確定質量損失函數中的系數k？原則上只需知道拋物線L（Y）上的一點，即可求得。常用方法有兩種，參考圖1-1：

1）根據產品的功能界限Δ0和相應的質量損失A0來確定k

對于望目特性，產品的功能界限Δ0是指產品能夠正常發揮功能的極限值。若產品的質量特性為Y，目標值為m，則當|Y-m|≤Δ0時，產品尚能正常發揮功能；而當|Y-m|>Δ0時，產品即喪失功能。假設產品喪失功能時的損失為A0，則可以認為在Y=m±Δ0這兩點上，L（Y）均為A0，由式（1-2）得

A 0=k×Δ02

故有

2）根據產品的容差Δ和相應的質量損失A來確定k。

對于望目特性，產品的容差Δ是指合格品的范圍。若產品的質量特性為Y，目標值為m，則當|Y-m|≤Δ時，產品為合格品；而當|Y-m|>Δ時，產品為不合格品。若產品為不合格品時，工廠的損失為A，則可以認為在Y=m±Δ這兩點上，L（Y）均為A，由式（1-2）得

A=k×Δ2

故有

綜合式（1-6）和式（1-7），得到

2. 望小特性的質量損失函數

（1）望小特性質量損失函數的定義

仿照望目特性質量損失函數的定義，望小特性的質量損失函數可定義為

其圖形見圖1-2。

（2）質量水平

由于產品的質量特性Y表現為隨機變量，所以L（Y）亦為隨機變量，此時我們稱L（Y）的期望值

為產品的質量水平，式中μ、σ2分別為質量特性Y的期望值和方差。

若有n件產品，其質量特性值分別為y1，y2，…，yn，則由式（1-10），質量水平可近似表示為

我們稱為這n件產品的平均質量損失。

（3）質量損失系數k的確定方法

常用方法有兩種，參考圖1-2：

1）根據產品的功能界限Δ0和相應的質量損失A0來確定k

對于望小特性，產品的功能界限A0是指產品能夠正常發揮功能的極限值。若產品的質量特性為Y，則Y≤Δ0時，產品尚能正常發揮功能；而當Y>Δ0時，產品即喪失功能。假設產品喪失功能時的損失為A0，則可以認為在Y=Δ0時，L（Y）為A0，由式（1-9）得

A 0=k×Δ02

故有

2）根據產品的容差Δ和相應的質量損失A來確定k

對于望小特性，產品的容差Δ是指合格品的范圍。若產品的質量特性為Y，則當Y≤Δ時，產品為合格品；而當Y>Δ時，產品為不合格品。若產品為不合格品時，工廠的損失為A，則可以認為在Y=Δ時，L（Y）為A，由式（1-9）得

A=k×Δ2

故有

綜合式（1-12）和式（1-13），得到

3. 望大特性的質量損失函數

（1）望大特性質量損失函數的定義

當Y為望大特性時，1/Y為望小特性。仿照望小特性質量損失函數的定義，望大特性的質量損失函數可定義為

其圖形見圖1-3。

（2）質量水平

由于產品的質量特性Y表現為隨機變量，所以L（Y）亦為隨機變量，此時我們稱L（Y）的期望值

為產品的質量水平。

若有n件產品，其質量特性值分別為y1，y2，…，yn，則由式（1-16），質量水平可近似表示為

我們稱為這n件產品的平均質量損失。

（3）質量損失系數k的確定方法

常用方法有兩種，參考圖1-3：

1）根據產品的功能界限Δ0和相應的質量損失A0來確定k

對于望大特性，產品的功能界限Δ0是指產品能夠正常發揮功能的極限值。若產品的質量特性為Y，則Y≥Δ0時，產品尚能正常發揮功能；而當Y<Δ0時，產品即喪失功能。假設產品喪失功能時的損失為A0，則可以認為在Y=Δ0時，L（Y）為A0，由式（1-15）得

A 0=k/Δ02

故有

2）根據產品的容差Δ和相應的質量損失A來確定k

對于望大特性，產品的容差Δ是指合格品的范圍。若產品的質量特性為Y，則當Y≥Δ時產品為合格品；而當Y<Δ時，產品為不合格品。若產品為不合格品時，工廠的損失為A，則可以認為在Y=Δ時，L（Y）為A，由式（1-15）得

A=k/Δ2

故有

綜合式（1-18）和式（1-19），得到