3.3.3 溫度壁函數和壁面傳熱

可以通過給定壁面溫度T_w或壁面傳熱量q_w而確定剛性壁面上的溫度邊界條件，對于絕熱壁面，q_w為零。對于自由滑動或無滑動的定溫壁面，壁面溫度預先設定。對于使用湍流壁函數模型的固定溫度壁面，q_w由以下方程式確定。

溫度壁函數為計算壁面單元內的氣體溫度提供了一種公式，并給出了計算壁面傳熱量的表達式。在此我們首先推導溫度壁函數[28]，然后討論壁面傳熱問題。

在內燃機中缸內流動的近壁區，在前面給出的流體假設下，式（3-11）的一般能量守恒方程可以簡化為

式中，c_p是比定壓熱容；傳熱量為

式中，λ_t是湍流導熱系數。式（3-38）右側的第一項是非定常項，說明了控制容積中能量隨時間的變化；第二項是壓力做功項；第三項是化學反應的放熱項。

眾所周知，內燃機壁面傳熱在本質上是非定常的，如式（3-38）所述。但是，我們可以通過借用準定常假設來近似這個過程。在壁面（y=0）處，對式（3-38）積分得到

式中，是平均化學放熱量；普朗特常數為Pr=c_pμ/λ，湍流普朗特常數為Pr_t=c_pμ_t/λ_t，μ_t是湍流黏度。我們引入無量綱量如下：

接著，我們得到

對式（3-42）從0到y+積分。式（3-42）的左側變成

為了對式（3-42）的右側積分，需要有描述Pr_t和ν_t（ν_t=μ_t/ρ）變化的相關表達式。基于對文獻中許多關系式的分析，韓志玉和Reitz[28]提出了一種曲線擬合關系式，如下所示：

式中，常數a、b、c和m分別為0.1、0.025、0.012和0.4767，從數學上考慮，把設為40。將式（3-44）代入式（3-42），并將積分分成兩部分，則有

其中積分的第二部分忽略了Pr-1，因此假設湍流效應在邊界層區域占主導地位。最后，給出壁面溫度函數：

并給出對應的壁面傳熱通量公式為

如果源項G可以忽略，公式（3-47）就變成

對于不可壓縮流體，式（3-46）依舊成立，但是式（3-43）變成

相應的，我們得到

如果不考慮燃燒，式（3-50）簡化為

比較式（3-48）中的可壓縮流體傳熱和式（3-51）中的不可壓縮流體傳熱，可以立即看出，由于氣體的可壓縮性，氣體溫度對傳熱計算的影響是完全不同的。

現在我們討論壁面傳熱模型。內燃機傳熱是內燃機研究的經典課題。它很重要，因為它影響內燃機熱效率、污染物排放和部件熱應力。準確預測壁面傳熱不僅有助于更好地理解傳熱損失機理，而且有助于提高內燃機燃燒模擬的整體精度。通過燃燒室壁面的傳熱量主要是由于氣相對流、燃油油膜傳導以及高溫氣體和碳煙輻射。在許多情況下，例如在預混發動機和無噴霧碰壁的柴油機壁面上，氣相對流傳熱是主要問題。

數十年來，人們對內燃機傳熱現象進行了廣泛的研究。前人已經提出了許多數學模型。從整體分析的角度來看，基于量綱分析的傳統模型（關系式）是有用的[29]。但是，它們不能提供空間變化率。此外，這些模型缺乏可靠的理論基礎，當應用范圍超過其經驗常數對應的條件時，其預測結果往往不準確。

由于相對于實際計算網格尺寸而言，內燃機缸內流體的邊界層很薄，因此在內燃機多維計算中，通常使用速度和溫度壁函數（或溫度曲線）來求解壁面剪切應力和傳熱。一些模型是基于湍流邊界層理論和不可壓縮流體假設提出的[5，27]。然而，這些模型的預測效果不盡人意，研究表明，壁面傳熱量被嚴重低估了[30]。

內燃機流動的不可壓縮性假設是值得懷疑的，因為氣體密度會因活塞運動和燃燒而發生顯著變化。從壁面傳熱方程的推導可以看出，氣體壓縮性的影響是顯著的。韓志玉和Reitz[28]建立了內燃機可壓縮流體的溫度壁函數模型，如式（3-46）～式（3-48）所示，該模型顯著提高了內燃機傳熱的預測精度。

為了評估傳熱模型，將預混點燃式發動機的計算結果與試驗數據進行比較，如圖3-2所示。發動機在1500r·min-1，中等負荷工況下運轉。使用KIVA2程序進行模擬。圖3-2中，計算的監測點位置與在HT-1至HT-5標記的測量位置相同。HT-1到HT-4的四個徑向位置位于發動機缸蓋上，HT-5位于缸套上。有關測量的更多信息，請參見文獻[31]。如圖3-2所示，就傳熱量的相位和數量而言，得到了令人滿意的預測結果。還可以看出，當火焰在燃燒室中傳播時，傳熱量峰值從HT-1到HT-5的曲軸轉角逐步后移。

如圖3-3所示，氣體壓縮性顯著影響壁面傳熱預測。其中采用式（3-48）的模型稱為可壓縮模型，采用式（3-51）的模型稱為不可壓縮模型。此外，還用Launder和Spalding提出的不可壓縮流體的L-S模型[27]進行了比較。L-S模型如下所示為

式中，T+由式（3-49）定義；范德里斯常數A為26。

圖3-3中的結果清楚地表明，不考慮氣體壓縮性的模型明顯低估了發動機中的傳熱，而可壓縮模型很好地再現了試驗測量結果。

在當前傳熱模型的推導過程中，引用了準穩態假設，如式（3-40）所示。因此，該模型不包含能量方程中的瞬態溫度項和壓力做功項。非定常性的影響通過在傳熱量中加入一個近似項q_ss來檢驗[28]，結果如圖3-4所示。從圖3-4a可以看出，非定常性的影響是微不足道的。模型中考慮了化學放熱的影響。圖3-4b比較了式（3-47）（考慮放熱）和式（3-48）（不考慮放熱），結果表明能量方程中忽略放熱源項不會導致壁面傳熱量預測出現較大誤差。

對卡特彼勒一款柴油機的傳熱也進行了模擬[28]。在模擬中，選擇氣缸蓋上的三個位置來監測壁面傳熱量計算，它們分別位于距氣缸軸線15mm、45mm和60mm處，標記為HT-1～HT-3。HT-1位于噴油器附近，HT-2位于靠近活塞凹坑邊緣的上方，HT-3位于缸套擠流區最近的上方。在卡特彼勒柴油機中，噴油后不久，噴霧油滴會碰撞到活塞凹坑表面，但在氣缸蓋上噴霧與壁面的相互作用忽略不計。因此，在現有的傳熱模型中忽略噴霧影響對分析缸蓋傳熱過程是有效的。

計算的壁面傳熱量如圖3-5所示，同時也給出了燃燒放熱率以供參考。可以看出，與圖3-2中討論的均勻混合氣發動機不同，柴油機的壁面傳熱量分布非常不均勻。在HT-1處有兩個傳熱峰值，第一個峰值對應于著火后的初始預混燃燒，如放熱率曲線所示。第二個峰值是由擴散燃燒的高溫氣體引起的。HT-2處的傳熱量在約10°（CA）（ATDC）時迅速增加。此時，計算和試驗火焰圖像均表明高溫火焰到達HT-2所在的活塞坑邊緣。因此，HT-2處的傳熱量高達10MW·m-2。隨后，在約20°（CA）（ATDC）時，火焰向擠流區延伸，HT-3處的壁面傳熱量開始增加。預測的傳熱量變化與內窺鏡燃燒圖像顯示的火焰發展過程一致，其數量大小也在重型柴油機以往測量值的范圍內[29]。

以上所討論的壁函數傳熱模型由于其精確和簡單的特點得到了廣泛的應用。Rakopoulos等通過對不同壓縮比、渦流比和活塞形狀的三個火花點燃式發動機和三個柴油機試驗數據進行詳細比較，對幾種傳熱模型進行了深入的評估[32]。他們的結論是，韓志玉和Reitz的模型[28]雖然是一個非常簡單的公式，但表現卻令人滿意。在所研究的大多數發動機和工況中，它捕捉到了壓縮和膨脹行程中峰值傳熱量的大小及其趨勢，且結果接近試驗值。它適用于低轉速和高轉速工況、不同壓縮比和負荷的火花點燃式發動機和柴油機。