1.6.1 基本方程的推導

根據動量矩定理，單位時間內液流質量對透平主軸的動量矩變化等于作用在該質量上的全部外力對同一軸的力矩總和，即

式中 Δm——dt時間內通過透平葉輪的液流質量；

r——半徑；

∑ΔMz——作用在液體質量m上的所有外力矩總和。下標z代表透平軸線。

由于進入葉輪中的流體是軸對稱的，因此可選取一個葉輪流道的流體來進行分析，如圖1?8所示。圖1?9所示為液力透平進出口速度三角形。

圖1?8 流體運動控制面示意圖

圖1?9 液力透平進出口速度三角形

葉輪出口2—2和2′—2′斷面間流體的動量矩

葉輪進口1—1和1′—1′斷面間流體的動量矩

dt時間內的動量矩變化為

則一個流道的動量矩方程為

式中 vu1——葉輪進口絕對速度的圓周分量；

vu2——葉輪出口絕對速度的圓周分量。

對于式（1?19）右端的外力矩MZ，分析作用在液流（控制面內）質量上的外力及外力形成力矩的情況：

1）控制面以外的液流對控制面以內液流的作用力，這部分力作用在控制面內、外兩個圓柱面上。顯然，這部分力對葉輪軸線的力矩為零。

2）葉輪對控制面內液流的作用力，其中葉片對液流的作用力對葉輪轉軸的力矩是MZ的最主要的組成部分。葉輪的蓋板對液流的正壓力對軸的力矩為零，而由黏性摩擦產生的剪應力對軸的力矩不為零，但其值通常較小，其作用反映在透平的效率中，故在此處不予考慮。

這樣，作用在液流質量上的外力矩就僅有葉輪葉片對液流的作用力所產生的力矩，記為M0，即MZ=M0。

液流對葉輪的作用力矩記為M，根據作用力與反作用力定律，它與葉輪葉片對液流的作用力矩M0在數值上相等而方向相反，即M=-M0，則（1?19）式可寫成

式（1?20）初步說明了液力透平中液體能量轉換為旋轉機械能的基本平衡關系。為了應用方便，常將這種機械力矩M乘以葉輪的旋轉角速度ω，用功率的形式來表達，這樣即可得出液流作用在透平葉輪上的功率為

即

又，通過液力透平的有效功率為

P=QHγηh （1?22）

式中 ηh——液力透平的水力效率。

將式（1?22）代入式（1?21）得

或

式（1?23）和式（1?24）為液力透平的基本方程。