2.2.2 風輪動量理論（貝茲極限理論）

風輪機的第一個氣動理論是由德國的貝茲（Betz）于1926年建立的。為了簡化分析，貝茲假定風輪是理想的，即沒有輪轂，具有無限多葉片，且不考慮風輪尾流的旋轉。此外，還進行了以下假設。

（1）氣流是不可壓縮的均勻定常流。

（2）風輪簡化成一個槳盤。

（3）槳盤上沒有摩擦力。

（4）風輪流動模型簡化成如圖2.3所示的一個單元流管。

（5）風輪前、后遠方的氣流靜壓相等。

（6）軸向力（推力）沿槳盤均勻分布。

圖2.4所示為風輪的氣流圖，并規定：v₁為距離風輪機一定距離的上游風速；v為通過風輪的實際風速；v₂為離風輪遠處的下游風速。設通過風輪的氣流的上游截面積為S₁，下游截面積為S₂。由于風輪的機械能量僅由空氣的動能降低所致，因而v₂必然低于v₁，所以通過風輪的氣流截面積從上游至下游是增加的，即S₂大于S₁。假設空氣是不可壓縮的，因此有

由Euler理論得到作用在風輪上的軸向力F為

由圖2.4得到

式中，p_a、p_b分別為風輪兩側的氣流靜壓。

由伯努利方程可得

假設風輪遠方的氣流靜壓相等，即p₁=p₂，得到

由式（2.7）和式（2.9）得到

比較式（2.6）和式（2.10）得到

式（2.11）表明，流過風輪的速度是風輪前來流風速和風輪后尾流風速的平均值。

根據能量方程，有

令，即，求解得

v₁=-v₂不合理，舍去，得到，代入式（2.12），得

式（2.14）即為根據貝茲理論推得的最大功率。

定義風輪機功率因數為C_p。C_p又稱風能利用因數，為可提取的風能P與輸入的風能E之比，即C_p=P/E。將最大功率除以氣流所具有的動能，可得到風輪機的理想風能利用因數C_pmax表達式

式（2.15）說明，風輪從風中所能捕獲的能量是有限的，實際上只有不到59.3%的風能可利用，實際的風能利用因數遠達不到0.593，一般為0.2～0.5，其功率損失部分可以解釋為留在尾流中的旋轉動能。

能量轉換的效率與采用的風輪機和發電機形式有關。風輪葉片的平面形狀與剖面幾何形狀和風輪機的空氣動力特性密切相關，特別是剖面幾何形狀（翼型氣動特性）的好壞，將直接影響到風輪機的風能利用因數和風力發電機組的性能。在設計風力發電機組時，總希望得到較高的風能利用因數，使風輪的能量損失盡可能小，即阻力盡可能小，為此要求選擇的翼型具有較高的升力因數。一般應根據以下規則選擇翼型：對于低速風輪，葉片數較多，不需要特殊的翼型升阻比；對于高速風輪，葉片數較少，應當選用在很寬的風速范圍內具有較高升阻比和平穩失速特性的翼型，使其對粗糙度不敏感，以便獲得較高的功率因數；另外，要求翼型的氣動噪聲較低。