第1章 有限元仿真分析理論

1.1 有限元分析方法概述

1.1.1 有限元方法

有限元方法（Finite Element Method，FEM），是將有限個單元的連續體離散化，通過對有限個單元做分片插值并求解各種力學和物理問題的一種求解方法。在早期，有限元方法是在變分原理的基礎上發展起來的，廣泛地應用于與泛函的極值問題相聯系的泊松方程和拉普拉斯方程所描述的物理場中，后來在流體力學中利用加權余數法中的最小二乘法或伽遼金法（Galerkin）等也獲得了有限元方程，不需要與泛函的極值有關系，可以應用到任何微分方程所描述的物理場中。

有限元方法是20世紀50年代末60年代初興起的應用數學、現代力學及計算機科學相互滲透、綜合利用的交叉學科。經過50年特別是近30年的發展，已經成為當今工程技術領域應用最廣泛、成效最顯著的數值分析方法，例如，在基礎產業（汽車、船舶、飛機等）和高新技術產業（宇宙飛船、空間站、微機電系統、納米器件等），更需要新的設計理論和制造方法。

有限元方法分析計算的基本步驟可以歸納為以下5點：

1）結構離散化。將某個機械結構劃分成有限個單元組成體，離散后的單元體和單元體之間用節點相互連接起來，并將有限個單元組合成集合體，然后用集合體來代表原來的物體或機械結構。

2）單元分析。

① 選擇位移模式：位移模式是表示單元內任意點的位移隨位置變化的函數式，這種函數式不能精確地反映單元中真實的位移分布，也是有限元的一種近似行為。采用位移法的時候，物體和結構被離散后，單元中的一些物理量，如位移、應變、應力等都可以用節點位移來表示。通常將有限元方法中的位移表示為坐標變量的簡單函數，這種函數叫做位移函數或者位移模式，如

式中，α_i為待定系數；　?_i為與坐標有關的某種函數。

② 建立單元剛度方程：選好位移模式和單元的類型后，就可以按照最小勢能原理或虛功原理建立單元剛度方程，它實際上是單元的每個節點上的平衡方程，其系數矩陣被稱作單元剛度矩陣

k^eσ^e＝F^e

式中，e為單元編號；　σ^e為單元的節點位置向量；　F^e為單元的節點力向量；　k^e為單元剛度矩陣，它的每一個元素都反映了一定的剛度特性。

③ 計算等效節點力：物體被離散后，假設力是通過節點從其中一個單元傳遞到了另一個單元。但是實際物體為連續體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個單元中去的。因此，這種在單元邊界的表面力、集中力或體積力都要等效地移動到節點上去，也就是要用等效節點力來替代作用在單元上的力。

3）整體分析。有限元方法的分析過程為先分后合，即在建立單元剛度方程后，先進行單元分析，再進行整體分析，把這些方程式集合起來，形成求解域所需要的剛度方程，其稱為有限元位移法的基本方程。集成所遵守的原則為各個相鄰的單元在共同擁有的節點處具有相同位移。利用結構力學的邊界條件和平衡條件把每個單元按照原來的結構方式重新連接起來，形成整體有限元方程

Kσ＝F

式中，K是結構的總剛度矩陣；　σ是節點的位移方向向量；　F是載荷方向向量。

4）求解方程并得出節點各方位移：選擇最為簡明的計算方法得到有限元方程，并且得出位移各方結果。

5）由節點各方位移得出所有單元的應變和應力，算出節點各方位移，可以根據彈性力學彈性方程和幾何方程計算應力和應變。

1.1.2 ANSYS分析流程簡介

ANSYS分析流程主要包含3個步驟，分別為

1. 建立有限元模型

1）創建或者導入幾何模型；

2）定義材料的各項屬性；

3）對模型劃分有限元網格，使其產生單元和節點；

4）定義節點和單元的各項屬性。

2. 對有限元單元施加載荷并且求解

1）對有限元單元施加載荷；

2）設定模型的邊界約束條件；

3）求解運算。

3. 查看后處理結果

1）查看需要得到的分析結果；

2）檢查結果。