1.2 機電傳動系統的動力學分析

1.2.1 機電傳動系統的運動方程式

機電傳動系統是一個由電動機驅動、通過傳動機構帶動生產機械運轉的整體。盡管電動機種類繁多、性能各異，生產機械的負載特性多種多樣，但從動力學的角度去分析，它們都應服從動力學的統一規律。

1.單軸驅動系統運動方程式

如圖1-8所示，電動機通過聯軸器直接與生產機械相連，由電動機M產生輸出轉矩T_M，用來克服生產機械的負載轉矩T_L，帶動生產機械以角速度ω（或轉速n）進行運動。

圖1-8 單軸驅動系統

a）系統組成 b）轉矩方向

當電動機的輸出轉矩T_M與負載轉矩T_L平衡時，轉速n或角速度ω不變；加速度或角加速度等于零，即T_M=T_L，這種運動狀態稱為靜態（相對靜止狀態）或穩態（穩定運轉狀態）。

當T_M≠T_L時，轉速或角速度就要發生變化，產生角加速度，速度變化的大小與傳動系統的轉動慣量J有關。

把上述各種參量的關系用方程式表示出來，則有

式中 T_M——電動機的輸出轉矩（亦稱驅動轉矩，N·m）；

T_L——生產機械的負載轉矩（N·m）；

J——機電傳動系統的轉動慣量（kg·m²）；

ω——機電傳動系統的角速度（rad/s）；

t——時間（s）。

式（1-1）就是機電傳動系統的運動方程式。

在工程計算中，常用轉速n代替角速度ω，用飛輪慣量（亦稱飛輪轉矩）GD²代替轉動慣量J來進行系統的動力學分析。

由于

式中 G——機電傳動系統的重力（N）；

m——機電傳動系統的質量（kg）；

g——重力加速度（m/s²）；

ρ——機電傳動系統轉動部分的轉動慣性半徑（m）；

D——機電傳動系統轉動部分的轉動慣性直徑（m）。

據此，機電傳動系統的運動方程式可以轉化為更為常用的工程形式：

式中，常數375包含著g=9.81m/s²，因此，常數375具有加速度的量綱；而GD²是一個整體物理量。

工程形式的機電傳動系統運動方程式是研究機電傳動系統的最基本的方程式，它決定著機電傳動系統的動力學特征。

二維碼1-4

（1）靜態

當T_M=T_L時，系統的加速度，n為常數。此時，機電傳動系統以恒速n運轉，機電傳動系統處于靜態（亦稱穩態）。

（2）動態

當T_M>T_L時，系統的加速度，n不為常數。此時，機電傳動系統加速運轉，處于加速狀態；當T_M<T_L時，系統的加速度，n不為常數。此時，機電傳動系統減速運轉，處于減速狀態。

機電傳動系統處于加速狀態或減速狀態時，稱系統處于動態（亦稱非穩態）。系統處于動態時，系統中必然存在一個動態轉矩T_d

正是因為動態轉矩T_d的存在，才使得機電傳動系統的運動狀態發生了變化。因此，機電傳動系統的運動方程式（1-1）和式（1-4）還可以轉化為系統的轉矩平衡方程式

或者

也就是說，在任何情況下，電動機所輸出的驅動轉矩T_M總是被生產機械的負載轉矩（即靜態轉矩）T_L和系統動態轉矩T_d之和所平衡。

當T_M=T_L時，T_d=0。此時，系統沒有動態轉矩，系統恒速運轉，即系統處于穩態。系統處于穩態時，電動機輸出轉矩的大小僅由電動機所驅動的負載轉矩決定。

2.轉矩方向的確定

由于傳動系統有多種運動狀態，相應的運動方程式中的轉速和轉矩的方向就不同，因此需要約定方向的表達規則。

因為電動機和生產機械以共同的轉速旋轉，所以，一般以n（或ω）的轉動方向為參考來確定轉矩的正負。

（1）T_M的符號與性質

當T_M的實際作用方向與n的方向相同時（符號相同），T_M取與n相同的符號，為驅動轉矩；當T_M的實際作用方向與n的方向相反時，T_M取與n相反的符號，為制動轉矩。驅動轉矩促進運動；制動轉矩阻礙運動。

（2）T_L的符號與性質

當T_L的實際作用方向與n的方向相同時，T_L取與n相反的符號（符號相反），為驅動轉矩；當T_L的實際作用方向與n的方向相反時，T_L取與n相同的符號（符號相同），為制動轉矩。

舉例：如圖1-9所示，電動機拖動重物上升和下降。設重物上升時速度n的符號為正，下降時n的符號為負。

圖1-9 T_M和T_L符號的判定

a）系統起動時 b）系統制動時 c）重物下降時

當重物上升時，T_M為正，T_L也為正。T_M、T_L、n的方向如圖1-9a所示。此時，系統的運動方程式為

因此，重物上升時，T_M為驅動轉矩，T_L為制動轉矩。

當重物在上升過程中制動（圖1-9b）時，T_M為負，T_L為正。此時，系統的運動方程式為

此時，動態轉矩和加速度都是負的，它們使重物減速上升，直到停止為止，系統中由動能產生的動態轉矩被電動機的制動轉矩和負載轉矩所平衡。

當重物下降時，T_M為正，T_L也為正。T_M、T_L、n的方向如圖1-9c所示。此時，系統的運動方程式為

因此，重物下降時，T_M為制動轉矩，T_L為驅動轉矩。

3.多軸驅動系統的等效折算

由于許多生產機械都要求在低速狀態下工作，而作為原動機的電動機，往往具有較高的額定轉速。因此，多數生產機械在電動機與工作機構之間，都設有減速機構（齒輪減速器、蝸輪蝸桿減速器等）和變速機構（機床主軸箱變速器等），借此實現減速、增矩，以適應生產機械的工作要求。因此，在機電傳動領域，絕大多數驅動系統實際上都是多軸驅動系統。

為了便于對多軸驅動系統進行運行狀態的分析，一般是將多軸驅動系統等效折算為單軸驅動系統，即將多軸驅動系統中各轉動部分的轉矩和轉動慣量或直線運動部分的質量折算到某一根軸（一般折算到電動機的輸出軸）上，將其轉化為等效的單軸驅動系統之后，再進行系統動力學分析。

負載轉矩、轉動慣量和飛輪轉矩等效折算的基本原則：折算前的多軸系統和折算后的單軸系統在能量關系或功率關系上保持不變，即遵循能量守恒原則或功率守恒原則。

二維碼1-5

1.2.2 機電傳動系統的負載特性

前面討論的機電傳動系統運動方程中，負載轉矩T_L可能是常數，也可能是轉速的函數。把同一軸上負載轉矩與轉速之間的函數關系稱為機電傳動系統的負載特性。

機電傳動系統的負載特性就是生產機械的負載特性，有時也稱為生產機械的機械特性。如無特別說明，在本書中，機電傳動系統的負載特性均指折算到電動機輸出軸上的負載特性。

不同類型的生產機械在運動中受阻的性質是不同的，其負載特性曲線的形狀也有所不同，大致可分為恒轉矩型負載特性、離心式通風機型負載特性、直線型負載特性和恒功率型負載特性等幾種。

1.恒轉矩型負載特性

這一類型負載特性的特點是負載轉矩為常數，如圖1-10和圖1-11所示。依據負載轉矩與運動方向的關系不同，恒轉矩型負載特性可分為反抗性轉矩和位能性轉矩兩種。

（1）反抗性轉矩

由摩擦、非彈性體的壓縮、拉伸與扭轉等作用所產生的負載轉矩稱為反抗性轉矩，又稱為摩擦性轉矩。反抗性轉矩的方向恒與運動方向相反，阻礙運動；反抗性轉矩的大小恒定不變。

圖1-10 反抗性轉矩的負載特性

圖1-11 位能性轉矩的負載特性

根據轉矩正方向的約定可知，反抗性轉矩與轉速n的方向相反時取正號，即n為正方向時，T_L為正，特性在第一象限；n為負方向時，T_L為負，特性在第三象限（圖1-10）。

（2）位能性轉矩

位能性轉矩是由物體的重力或彈性體的壓縮、拉伸、扭轉等作用所引起的負載轉矩。位能性轉矩的大小恒定不變，作用方向不變，與運動方向無關，即在某一方向阻礙運動而在另一方向促進運動（圖1-11）。

卷揚機起吊重物（圖1-12）時，由于重力的作用方向永遠向著地心，所以，由它產生的負載轉矩永遠作用在使重物下降的方向。當電動機驅動重物上升時，T_L與n的方向相反；當重物下降時，T_L和n的方向相同（圖1-11）。

圖1-12 卷揚機起吊重物

假設n為正，T_L阻礙運動；則n為負時，T_L一定促進運動，其特性在第一、四象限。

不難理解，在運動方程式中，反抗性轉矩T_L的符號總是與n相同；位能性轉矩T_L的符號則有時與n相同，有時與n相反。

2.離心式通風機型負載特性

離心式通風機型機械是按離心力原理工作的，如離心式鼓風機、水泵等，其負載轉矩T_L的大小與轉速n的二次方成正比（因此，這類負載特性又稱為二次方特性），即

式中 T₀——摩擦阻力矩；

C——常數。

離心式通風機型機械的負載特性曲線（最初是沿著虛線變化的）如圖1-13所示。

3.直線型負載特性

直線型負載的負載轉矩T_L的大小與轉速n的大小成正比，即

式中 C——常數。

直線型負載的特性曲線如圖1-14所示。

圖1-13 離心式通風機型負載特性曲線

圖1-14 直線型負載特性曲線

4.恒功率型負載特性

恒功率型負載的負載轉矩T_L的大小與轉速n的大小成反比，即

式中 C——常數。

例如，機床在進行金屬切削加工過程中，粗加工時，切削量大，吃刀量大，負載轉矩T_L大，機床主軸低速運轉，轉速n低；精加工時，切削量小，吃刀量小，負載轉矩T_L小，機床主軸高速運轉，轉速n高。但不管是粗加工還是精加工，負載轉矩T_L與轉速n的乘積為常數，即功率恒定不變。

恒功率型負載的特性曲線如圖1-15所示。

在實際的生產機械中，負載特性可以是單一類型的，也可以是幾種類型的復合。

圖1-15 恒功率型負載特性曲線

1.2.3 機電傳動系統的穩定運行

在機電傳動系統中，電動機與生產機械連成一體，為了使整個系統運行合理，就要使電動機的機械特性與生產機械的負載特性盡量相匹配。特性配合的基本要求是系統能夠穩定運行。

1.機電傳動系統穩定運行的含義

1）機電傳動系統應能以一定速度勻速運行。

2）機電傳動系統受某種外部干擾作用（如電壓波動、負載轉矩波動等）而使運行速度發生變化，應保證系統在干擾消除后能恢復到原來的運行速度。

2.機電傳動系統穩定運行的條件

（1）必要條件

如圖1-16所示，電動機的輸出轉矩T_M和負載轉矩T_L大小相等，方向相反。從T-n坐標上看，就是電動機的機械特性曲線n=f（T_M）和生產機械的機械特性曲線n=f（T_L）必須有交點，其交點稱為平衡點。

（2）充分條件

機電傳動系統受到干擾后，要具有自動恢復到原平衡狀態的能力，即：當干擾使速度上升時，有T_M<T_L；當干擾使速度下降時，有T_M>T_L。這是機電傳動系統穩定運行的充分條件。符合穩定運行條件的平衡點稱為穩定平衡點。

圖1-16 穩定工作點的判別

機電傳動系統穩定運行的充分必要條件也可表述如下。

1）電動機的機械特性曲線n=f（T_M）和生產機械的機械特性曲線n=f（T_L）有交點。

2）。

分析舉例：在圖1-16中，曲線ABC是三相異步電動機的機械特性曲線，鉛垂線2-T_L和是負載的機械特性曲線。下面分析a、b兩點是否為穩定平衡點。

對于a點，有T_M-T_L=0。當負載突然增加后，有，轉速會由先前的n_a下降到，系統工作點會由先前的a點漂移到a′點。在a′點，系統建立起新的轉矩平衡關系，有，因此，系統會在a′點穩定運行。當負載波動消除后，有，系統會自動加速，轉速由上升到n_a，并在a點建立起新的轉矩平衡關系，即T_M-T_L=0，因此，系統會重新在a點穩定運行，故a點為系統的穩定平衡點。

按照同樣的分析方法，依據特性曲線的變化關系進行分析，可知b點不是穩定平衡點。對此，讀者可自行分析。提示一點：重點觀察負載波動后，系統能否自動建立起新的轉矩平衡關系。

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1.2.4 機電傳動系統的過渡過程

在實際工作中，機電傳動系統具有兩種運行狀態，即靜態（穩態）和動態（暫態）。處于靜態時，系統的動態轉矩為0，電動機以恒速運轉；處于動態時，系統的動態轉矩非0，電動機速度處于變化之中。

當機電傳動系統中電動機的驅動轉矩T_M或負載轉矩T_L發生變化時，系統就要由一個穩定運行狀態變化到另外一個穩定運行狀態，這個變化過程稱為過渡過程。

在過渡過程中，電動機的轉速、轉矩和電流都會按照一定的規律變化，它們都是時間的函數。

1.過渡過程的影響

生產機械對機電傳動系統的過渡過程都有各自的、多樣化的要求。

如龍門刨床的工作臺、可逆式軋鋼機、軋鋼機的輔助機械等，它們在工作中需要經常進行起動、制動、反轉和調速。因此，都要求過渡過程盡量快，以縮短非生產時間，提高生產率。

升降機、載人電梯、地鐵、鐵路機車、有軌電車等生產機械和運輸設備，則要求起動、制動過程平穩、順滑，加減速度變化不能過大，以保證安全生產和乘坐舒適性。

而造紙機、印刷機等生產機械，則必須限制其加速度的大小，以確保產品質量。如果加速度超過允許值，則可能損壞機器部件或造成產品質量下降。

在過渡過程中，能量損耗的大小、系統的準確停車與各部分協調運轉等方面，都對機電傳動系統的過渡過程提出了不同的要求。

為滿足上述要求，必須研究過渡過程的基本規律，研究系統各參量對時間的變化規律，如轉速、轉矩、電流等對時間的變化規律。這樣，才能正確地設計、選擇機電傳動系統，為機電傳動系統的自動控制提出控制原則，設計出完善的起動、制動等自動控制電路，以求改善產品質量，提高生產效率和減輕勞動強度。這就是研究機電傳動系統過渡過程的目的和意義所在。

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2.過渡過程分析

機電傳動系統之所以存在過渡過程，是因為存在以下慣性。

（1）機械慣性

機械慣性反映在轉動慣量J或飛輪轉矩GD²上，機械慣性的存在使轉速n不能發生突變。

（2）電磁慣性

電磁慣性反映在電樞回路電感和勵磁繞組電感上，電磁慣性的存在使電樞回路電流I_a和勵磁磁通Φ不能突變。

（3）熱慣性

熱慣性反映在溫度上，熱慣性的存在使溫度不能突變。

這三種慣性在機電傳動系統中是互相影響的。如電動機運行發熱時，電樞繞組和勵磁繞組的電阻都會變化，從而會引起電樞電流I_a和磁通Φ的變化。

由于熱慣性較大，溫度變化較轉速、電流等參量變化要慢得多，一般可不考慮，而只考慮機械慣性和電磁慣性。

由于存在機械慣性和電磁慣性，當對機電傳動系統進行控制（如起動、制動、反向和調速）、系統的電氣參數（如電壓、電阻、頻率）突然發生變化、傳動系統的負載突然發生變化時，傳動系統的轉速、轉矩、電流、磁通等不能馬上跟著變化，其變化都要經歷一定的時間，因而形成機電傳動系統的電氣機械過渡過程。

在有些情況下，如直流他勵電動機電樞回路不串接電感，電磁慣性影響也不大，則只考慮機械慣性。在這種過渡過程中，僅轉速n不能突變，電樞電流I_a和轉矩T_M是可以突變的。

研究過渡過程的方法，一般是先列出反映變化規律的基本方程式，在此基礎上使用數學解析法，或者使用圖解法及實驗方法來求得過渡過程的解答。

3.機電時間常數

深入的理論研究和數學分析表明，機電傳動系統過渡過程的時間長短，與系統的飛輪轉矩GD²和速度變化量成正比，而與動態轉矩成反比。在這里，要引入一個反映機電傳動系統機械慣性的物理量——機電傳動系統的機電時間常數τ_m。

τ_m是反映機電傳動系統機械慣性的物理量，通常稱為機電傳動系統的機電時間常數。τ_m是指系統轉速達到穩態值的63.2%所經歷的時間。

式中 τ_m——機電時間常數（s）；

n₀——理想空載轉速（r/min）；

T_st——系統的起動轉矩（N·m）；

GD²——系統的飛輪轉矩（N·m²）。

對于既定的機電傳動系統而言，其T_st和GD²值為常數。

機電時間常數τ_m直接影響機電傳動系統過渡過程的快慢。τ_m大，則過渡過程進行得緩慢，過渡過程歷時時間長；反之，τ_m小，則過渡過程進行得快捷，過渡過程歷時時間短。所以，τ_m是機電傳動系統中一個非常重要的動態參數。

4.加快過渡過程的方法

由式（1-13）可知，要想有效地縮短機電傳動系統的過渡過程，應設法降低GD²值和提高動態轉矩T_d值（在系統起動過程中，系統的起動轉矩T_st實際上就是系統的驅動轉矩T_M與負載轉矩T_L的差值，亦即系統的動態轉矩T_d）。

（1）降低系統的GD²值

機電傳動系統的飛輪轉矩GD²值中，大部分是電動機轉子的GD²，因此，降低電動機GD²值，就成為加快過渡過程的關鍵措施之一。

在系統結構和條件允許的情況下，采用兩臺電動機同軸驅動系統生產機械，或者直接采用小慣量電動機，均可有效降低機電傳動系統的GD²值。

1）兩臺電動機同軸驅動。例如，龍門刨床采用兩臺電動機同軸驅動工作臺，其目的之一就在于此。如用一臺46kW、轉速為580r/min的直流電動機驅動工作臺，則GD²為216N·m²；但采用兩臺23kW、轉速為600r/min的直流電動機同軸驅動工作臺，則GD²僅為184N·m²。與采用一臺電動機相比，系統的GD²值減小了15%，使過渡過程得以顯著加快。

2）采用小慣量電動機。小慣量電動機的電樞軸做得細而長，轉動慣量小，且起動轉矩大，起動快，從而能夠加速過渡過程，提高系統的快速響應性能。

（2）提高動態轉矩T_d值

提高系統的動態轉矩T_d值，可以從電動機的選擇和控制系統的設計兩方面采取措施。

1）合理選擇電動機。目前，大慣量直流電動機（亦稱寬調速直流力矩電動機）已在很多場合下取代小慣量直流電動機。大慣量直流電動機的電樞做得短而粗，GD²值較大（缺點），但其最大轉矩T_max為額定轉矩T_N的5～10倍（優點），因此，大慣量直流電動機的快速響應性指標T_max/GD²仍然很好，并不比小慣量電動機差。

大慣量直流電動機低速時轉矩大，可以不用齒輪減速機構，直接驅動生產機械，也更容易與生產機械匹配。由于大慣量直流電動機省掉了齒輪減速機構，結構大大簡化，沒有齒隙的存在，使系統傳動精度得以顯著提高。

另外，因電樞粗短，散熱良好，大慣量直流電動機的過載持續時間可以很長，性能好的大慣量直流電動機可在3倍于額定轉矩（或電流）的過載條件下持續工作30min以上而不發生損壞。因此，大慣量直流電動機在快速直流驅動系統中已得到廣泛應用。

2）優化控制系統的設計。動態轉矩T_d越大，系統的加速度也越大，過渡過程的時間也就越短，系統的響應性也就越好。所以，希望在整個過渡過程中，電流（或轉矩）大，以加快系統的過渡過程，但又要限制其最大值，使其不超過電動機所允許的最大電流I_max（或最大轉矩T_max）。

為此，引入充滿系數的概念——充滿系數K表征在過渡過程中，電動機的起動電流與最大電流的接近程度。

充滿系數K越接近于1越好。若K=1，則說明在整個動態過程中，電動機的工作電流保持在最大值不變，亦即動態轉矩保持最大值不變，從而可以獲得最短的過渡過程。在機電傳動控制系統中，將在充滿系數K=1的條件下完成的過渡過程稱為最優過渡過程。

例如，采用電樞串電阻多級起動的方法，其目的就是獲得較大的平均起動轉矩。起動電阻的級數越多，充滿系數K值越大，起動就越快。

再如，在晶閘管供電的直流驅動控制系統中，電流調節器的整定原則是盡量保證電樞電流波形在起動和制動過程中近似為矩形，從而使過渡過程最短，以接近最優過程。