第1章
不確定情景下的選擇

資產定價理論旨在描述金融市場的平衡態。在此金融市場里，各個經濟體通過互動來交易不確定的未來收益要求權。正如克里斯蒂安·戈利耶（Christian Gollier）在《風險和時間經濟學》（The Economics of Risk and Time）一書中指出的，這里面的兩個修飾詞“不確定”和“未來”都是重要的，但在本章中，我們將回顧“不確定”情形下的基礎選擇理論，通過假設所有的不確定性都會在未來某個時點得以解決，而暫時忽略時間（即“未來”）對于選擇的影響。這一章的探討將引用Gollier（2001）和Ingersoll（1987）的研究。

在第1.1節里我們先簡單介紹期望效用函數理論的基礎原理。第1.2節將此期望效用函數理論應用于風險厭惡程度的度量和參與主體在風險厭惡程度的比較上。第1.3節討論一類雙曲線絕對風險厭惡（HARA）期望效用函數。由于這一類函數容易處理，人們都喜歡使用這類函數。第1.4節討論對期望效用函數理論的一些批評，包括阿萊（Allais，1953）悖論和拉賓（Rabin，2000）批評。第1.5節展示如何比較不同分布函數的風險。

1.1 期望效用

標準微觀經濟學用序數效用函數來代表偏好。序數效用函數Υ（.）代表的是：如果Υ（x）=Υ（y），則參與主體對x和y的選擇偏好一樣，而如果Υ（x）>Υ（y），則x與y相比，主體更偏好x。任意一個嚴格單調函數都有相同的性質，所以用Υ（.）表示的偏好函數和用嚴格單調上升函數Θ（Υ（.））代表的偏好函數是等價的。換句話說，序數效用函數在單調上升變換中具有不變性。它定義了一個等價函數，但是無法用任何有意義的值來標識這個曲線。

一個基數效用函數Ψ（.）對于正仿射（線性增加）變換具有不變性，但不對非線性變換具有不變性。用Ψ（.）表示的偏好和用a+bΨ（.）表示的偏好函數在b>0下是等價的。換句話說，基數效用函數沒有天生的單位，但是如果給定一個單位選擇，基數效用函數的增長率是有實際意義的。

馮·諾伊曼-摩根斯坦（von Neumann-Morgenstern）的效用理論是資產定價理論的基石。該效用理論認為，在滿足一定原理的情形下，參與彩票的選擇意味著定義在結果上的基數效用函數期望值的最大化。

1.1.1 馮·諾伊曼-摩根斯坦的效用理論簡介

在離散情境下，馮·諾伊曼-摩根斯坦的效用理論非常好理解。定義s=1…S，這里每一個s與集合X里的一個結果值xs相對應，不同結果的概率ps則定義了一個彩票問題。當S=3，我們可以在二維平面中畫出概率（因為p3=1-p1-p2）。我們得到了Machina三角［Machina（1982）］，如圖1.1所示。

我們來定義一個復合彩票問題。這個復合彩票的結果決定了我們將獲得哪一個基礎彩票。舉例來說：一個復合彩票L就是以概率a的情形下獲得彩票La，概率（1-a）的情形下獲得彩票Lb。這樣L的獲獎概率等同于La+（1-a）Lb。

定義彩票的偏好排序為≥，那么一個人對于La和Lb沒有偏好的數學表示：La~Lb，此公式當且僅當La≥Lb和Lb≥La時成立。

下面我們將兩個原理應用于對彩票的選擇問題上。

連續原理

對于所有La、Lb、Lc ，使得 La≥Lb≥Lc，則存在一個標量a∈［0，1］，使得下式成立：

（1.1）

這個原理表明，如果三個彩票可以根據偏好來（弱）排列，那么總能找到一個由排序最高和最低組合成的復合彩票。這個復合彩票與排序在中間的彩票對于購買人來說是等價的。這個原理意味著存在一個彩票選擇偏好函數，也就是一個彩票基數效用函數，這個函數可以讓我們在Machina三角上畫出多個等價曲線。

獨立性原理

對于所有可能的彩票Lc：

（1.2）

這個原理指出如果有兩個彩票按選擇偏好大小排序，那么存在兩個復合彩票具有同樣的排序。這兩個復合彩票是由其中一個原始彩票和任意第三個彩票按相同權重組成的。

獨立性原理意味著偏好函數在概率上是線性的。在Machina三角中，等價曲線是直線（見圖1.1）。這就意味著給定一個概率（如p1）的提高，需要另一個概率（如p3）有相同幅度的提高，才能使得參與者與初始p1和p3概率水平具有相同偏好。

這樣我們就可以定義一個標量us，對于每一個結果xs，使得下式成立：

（1.3）

這個標量us決定了Machina三角中線性等價曲線的斜率。因為總概率相加為1并且一個常數可以加到us上而不改變偏好排序，兩個標量可以歸一化（如把最小值設為0，最大值設為1）。

式（1.3）表示一個彩票可以通過與結果相連的標量us的概率加權平均來估值。我們稱這些標量為“效用”。在每一個狀態s中，概率加權效用us是隨機變量“效用”的數學期望值。這個效用在狀態s中值為us。所以我們明確地定義了一個基于結果的基數效用函數u（xs），而參與者偏好能夠獲得此函數更高預期效用的彩票。任一個對最小和最大值區間的歸一化就對應于定義了基數效用函數的度量單位的兩個參數a和b。

這種構造方法可以推廣到處理連續狀態情況。嚴格說來，推導出的效用函數必須有上下界限。但是這個要求經常被現代效用理論應用所忽視。

1.2 風險厭惡

現假設存在一個基數效用函數，由這個函數代表的參與主體的偏好是風險厭惡，我們想知道這種表述代表著什么意思。我們也將討論風險偏好的量化度量。

為了盡可能清楚地展現主要思路，我們假設效用函數的變量是財富值。這就相當于考慮一個單消耗品下的靜態雙時間周期模型。在第二個周期里，當不確定性變得確定時，所有的財富都將被變賣并且消耗掉。在后面的章節中，我們將討論更復雜的可以在多周期消耗的模型，有些模型中還考慮有多個可消耗品。

為簡單起見，我們在全文中使用弱條件下的非等價和偏好排序情景。而把弱條件下的結論推廣到強非等價和偏好排序情形下也是比較容易的。

1.2.1 詹森不等式和風險厭惡

一個重要的數學結果——詹森（Jensen）不等式，可以將風險厭惡概念和效用函數的凹性性質連接起來。我們先來定義一個函數f的凹性。

定義 當且僅當是一個凹性函數時f對于所有λ∈［0，1］和值a、b：

（1.4）

如果f是二次可微的，那么凹性表明f ″≤0。圖1.2展示了一個凹性函數。

需要注意的是因為不等性在上面定義中是弱不等，一個線性函數也是一個凹性函數。強凹性要求強不等式，并不包括線性函數。以下我們使用的是弱凹性概念。

現在考慮一個隨機變量。詹森不等式聲明：對于所有可能的值，當且僅當f是凹性時：

（1.5）

由丹麥數學家和電話工程師詹森發現的這個理論在金融領域里面非常有用，以至于可以將其命名為“經濟學的詹森不等式”。作為這個理論的第一個應用，我們用它來證明風險厭惡和效用函數凹性是等價的。

定義 如果一個參與者無論自己的財富多少都不喜歡（非嚴格）所有均值為0的風險，那他就是風險厭惡的。也就是說，對于初始財富水平W0和E=0的風險：

（1.6）

為了證明風險厭惡和效用函數的凹性是等價的，我們可以簡單地改寫一下風險厭惡的定義：

（1.7）

其中，=W0+，并且應用了詹森不等式。

因為風險厭惡是具有凹性的，而凹性限制了效用函數的二次導數符號（假設導數存在），非常自然地可以用這個二次導數u″構建一個風險厭惡的可量化的度量函數，這個函數通過調整大小可以避免對于度量效用單位的依賴性。絕對風險厭惡系數A（W0）可以定義為：

（1.8）

從上式的標注可以明確地知道，一般來說這是一個依賴于初始財富水平變量的函數。

1.2.2 風險厭惡比較

假設兩位投資者的效用函數分別是u1和u2，他們的初始財富相同。當買彩票會降低期望效用時，即初始財富加上買彩票帶來的支出和收入所獲得的期望效用低于初始財富的效用時，投資者將不會購買彩票。在這里我們繼續使用弱不等式，那么在買彩票帶來的期望效用與初始財富的效用水平相當的時候，投資者也會選擇不購買彩票。

定義 無論共同的初始財富水平是多少，當u1拒絕購買所有u2不會購買的彩票時，u1比u2的風險厭惡水平更高。

很多效用函數無法用這種方式進行排序，因為在給定初始財富水平下，兩個投資者很有可能在購買彩票上意見相左：當一個投資者愿意購買某種彩票時，另一個投資者不愿購買，反之亦然。并且，初始財富水平的高低也有可能影響他們的決定，導致在低初始財富水平下，第一個投資者拒絕購買第二個投資者不購買的所有彩票，而在高初始財富水平下，第二個投資者拒絕購買第一個投資者不購買的所有彩票，兩人角色互換。

當u1比u2更加風險厭惡時，什么情況還會發生呢？為了回答這個問題，先讓我們定義一個函數：

（1.9）

這個函數有三個重要的性質：

（1）u1（z）=?（u2（z）），?（.）將 u2 變成u1。

（2）u′1（z）=?′（u2（z））u′2（z），?′=u′1/u′2＞0。

（3）u″1（z）=?′（u2（z））u″2（z）+?″（u2（z））u′2（z）2，于是：

（1.10）

性質（2）由性質（1）求導得到，性質（3）由性質（2）求導得到。在這個領域中，這種方法（通過反復求導得到對導數的限制條件）經常被使用到。

性質（3）非常重要，通過它我們可以知道，?（x）的凹性（即?″≤0）與投資者1的更高風險厭惡（即A1≥A2）等價。

現在，讓我們考慮一個被u2拒絕的風險組合，即一個滿足條件Eu2（W0+）≤u2（W0）的風險組合。如果u1比u2更加厭惡風險，那么一定有Eu1（W0+）≤u1（W0）。利用函數?（.）我們得到：

（1.11）

同時因為?′>0，推出：

（1.12）

由此可知，u1比u2更加厭惡風險的一個必要條件是，對于所有的，都有：

（1.13）

根據詹森不等式，這等價于函數?（x）的凹性，即?″≤0。

綜上所述，我們證明了如果一個投資者比另一個投資者更加厭惡風險，那么這個投資者的效用函數是另一個投資者效用函數的凹轉換，并且在任意初始財富水平下的絕對風險厭惡系數都更高。我們也已經證明了如上命題的逆命題。

這些概念和投資者愿意為規避一個期望值為0的風險組合所付出的財富相關。

定義 風險溢價π（W0，u，）是指，初始財富為W0，效用函數為u的投資者為規避風險（假設期望值為0）愿意支付的最大財富。

以上定義可以用更簡單的公式表達出來，即π可以通過求解以下公式得到：

（1.14）

定義z=W0-π和=π+，則該公式可改寫為：

（1.15）

現在定義投資者2的風險溢價為π2，并相應地定義z2和2，我們有：

（1.16）

如果u1比u2更加厭惡風險。那么：

（1.17）

這意味著π1≥π2。反過來推導也成立，π1≥π2意味著u1比u2更加厭惡風險。

上述分析可以拓展到一個有著非零期望值μ的風險。這個風險組合的回報為μ+，其中期望為0。

定義 風險組合的確定性等價Ce滿足：

（1.18）

也就是說：

（1.19）

所以，如果u1比u2更加風險厭惡，那么Ce1≤Ce2。同樣，其逆命題也成立。

總的來說，以下說法是等價的：

利用上述思想，我們還可以探究單個投資者的風險厭惡程度是如何隨著財富水平的變化而變化的。我們很自然地認為，富人會比窮人更不在意給定的絕對風險，并愿意為規避該風險支付更少的錢；或者說，對任意風險而言，風險溢價會隨著初始財富W0的增加而遞減。可以證明以下條件是等價的：

絕對風險厭惡遞減從直覺上來說比較合理，而絕對風險厭惡遞增顯然讓人難以接受。

1.2.3 阿羅-帕拉特測度

在前一節中，我們通過隱函數定義了風險溢價和確定性等價，即式（1.14）和式（1.18）的解。阿羅（Arrow，1971）和帕拉特（Pratt，1964）分析指出，當風險很小的時候，這些等式可能有近似的封閉解。

考慮一個期望值為0的風險=k，其中k是比例因子。將風險溢價寫為k的一個函數，g（k）=π（W0，u，k）。通過風險溢價的定義可知：

（1.20）

注意，這里g（0）=0，因為不會有人愿意為規避確定性風險付出成本。

利用前面章節介紹過的反復求導的方法，我們反復對k求導。對式（1.20）求導后得到：

（1.21）

當k=0時，式（1.21）的左邊變為E［u′（W0）］=E［］u′（W0），能將u′（W0）提到期望值外面來是因為這是一個確定值。鑒于E［］=0、k=0時，式（1.21）的左邊為0，所以右邊也一定為0，即g′（0）=0。

現在我們對k做第二次差分，得到：

（1.22）

則：

（1.23）

現在用泰勒展開對g（k）在k=0附近求近似：

（1.24）

將前面推出的值代入其中，得到：

（1.25）

風險溢價與風險的平方成一定比例。可微分效用函數的這種性質被稱為二階風險厭惡。這意味著人們對于很小的風險（并且通常是指與他們面臨的其他風險相獨立的小風險）是近乎風險中性的。溢價與風險平方間比例系數是絕對風險厭惡系數的一半，所以我們有了將風險溢價與風險規模和風險厭惡程度相聯系的定量預測。這一結果是現代量化研究的基礎。

對確定性等價也可以應用相似的分析。結果為：

（1.26）

這表明對小的風險而言，風險回報的均值μ對確定性等價有著顯著的影響。

在金融領域，風險的效果通常是做乘法而不是做加法。換句話來說，當投資的財富增加時，風險的絕對水平是成倍增加的。我們前面所說的理論通過簡單的修改就可以適用于這種情況。定義一個乘法性質的風險=W0（1+k）=W0（1+。定義為一個人為了避免該風險愿意付出的財富比例：

（1.27）

那么：

（1.28）

其中，R（W0）=W0A（W0）被稱為相對風險厭惡系數。

1.3 幾個易處理的效用函數

幾乎所有金融領域的理論應用和實證研究都會用到幾種線性風險容忍（LRT）或雙曲線絕對風險厭惡（HARA）的函數。在效用函數中繼續將財富水平作為一個討論對象，則HARA效用函數族可以寫為：

（1.29）

根據滿足η+W/γ>0的不同財富水平W進行定義。參數a和參數b的大小不影響投資者的選擇，可以根據特殊情況自由選擇參數大小以方便代表投資者效用。

對這些效用函數，風險容忍度，即絕對風險厭惡的倒數，定義為：

（1.30）

風險容忍度對W線性。絕對風險厭惡自身是W的雙曲線：

（1.31）

顯然，相對風險厭惡是：

（1.32）

HARA效用有幾種重要的特殊形式。

二次效用函數 γ=-1。這意味著根據式（1.30），風險容忍度隨財富遞減；根據式（1.31），絕對風險厭惡隨財富遞增。此外，u′=0時二次效用函數有饜足點。這些是重要的缺點，雖然二次效用在具有可加性風險的模型中方便使用，甚至已被使用在具有增長的宏觀經濟模型中，這些模型使用趨勢偏好參數保持饜足點遠遠高于數據中觀察到的財富或消費水平。

指數效用函數或恒定絕對風險厭惡（CARA）效用函數 γ→―∞。為了獲得恒定絕對風險厭惡A，我們需要對所有的W＞0都有：

（1.33）

解這個微分方程，得到：

（1.34）

其中，A=1/η。這個效用函數沒有饜足點，但有上邊界；隨著財富的增加，效用趨近于零。指數效用函數通常適用于正態分布的風險，因為效用是對數正態分布的。另外，正如我們將在下一章中看到的，在這種效用函數中，財富對風險資產的需求沒有影響，這使得計算均衡相對容易，因為人們不必再跟蹤財富分配。

冪效用函數或恒定相對風險厭惡（CRRA）效用函數 η=0及γ>0。絕對風險厭惡隨財富值遞減——這是一個理想的性質——而相對風險厭惡R（W）=γ，為常量。對γ≠ 1而言，可以選擇a和b的值將式（1.29）中的效用寫作：

（1.35）

對γ=1而言，我們用洛必達法則（L'H?pital's rule）對式（1.35）取γ趨近于1的極限。結果是：

（1.36）

冪效用函數具有吸引力，因為它意味著即使有長期經濟增長，也存在固定的風險溢價和利率，并且在存在乘法性質的對數正態分布風險的情況下也易于處理。由于這些原因，它是資產定價和宏觀經濟學文獻中的主力模型，我們將在本書中對此進行深入研究。對數效用函數的特殊情況具有更加方便的特性，但相對風險厭惡程度低到難以與金融市場中觀察到的實質風險溢價相協調，我們將在第6章中討論這一點。

維持生計水平（subsistence level）。負η表示維持生計水平，即定義效用函數所需的最低消費水平。Litzenberger和Rubinstein（1976）提出了一個模型，其中對數效用的財富水平高于維持生存水平，我們稱之為廣義對數效用模型。該模型沒能吸引足夠的注意，或許部分原因是經濟增長使得任何固定的維持生計水平在長期內變得無關緊要。第6章討論的習慣養成模型具有隨時間變化的維持生計水平，可隨經濟增長而增長。

1.4 期望效用理論批判

1.4.1 阿萊悖論

阿萊（Allais，1953）提出的著名悖論挑戰了馮·諾伊曼-摩根斯坦理論框架。假設有一組彩票，每個彩票都是從包含100個標記為0~9的球的甕中抽出一個球。表1.1顯示了在4個不同的彩票La、Lb、Ma和Mb中抽中每個球所能獲得的獎金。

彩票La提供50美元的確定獎金，而彩票Lb有89%的概率能中50美元，10%的概率能中250美元，1%的概率沒有任何獎金。面對這種選擇，許多人相較Lb更喜歡La，盡管彩票Lb的預期獎金更高。彩票Ma有11%的概率贏得50美元，89%的概率得不到任何收益，而彩票Mb有10%的概率贏得250美元，90%的概率什么也得不到。面對這種選擇，許多人相較于Ma更喜歡Mb。

對效用理論的挑戰是選擇La而不是Lb，同時選擇Mb而不是Ma，這違反了獨立性公理。通過表1.1可以看到，La和Lb之間的唯一區別在于標記為0~10的球；標記為11~99的球在這兩個彩票中是相同的；Ma和Mb也是如此。根據獨立性公理，繪制球11~99的獎勵應該與La和Lb，以及Mb和Ma之間的選擇無關。但如果是這種情況，那么兩個選擇應該相同，因為如果只考慮球0~10，則La具有與Ma相同的獎勵，并且Lb具有與Mb相同的獎勵。

關于這一悖論，人們爭論已久。要么是人們容易被誤導（但可以通過教育矯正），要么需要放棄獨立性公理。放寬這個公理必須小心謹慎，以避免產生進一步的悖論［Chew（1983），Dekel（1986），Gul（1991）］。^[1]最近的動態決策模型，特別是本書第6.4節中討論的愛潑斯坦- 茲恩偏好(1989，1991), 在跨時間的情況下放寬獨立性公理，謹慎處理以保持時間一致決策。

1.4.2 拉賓批評

拉賓（2000）批評了效用理論，理由是它不能解釋人們對小型賭博表現出明顯的厭惡，卻對大型賭博沒有極其強烈的厭惡情緒。這是因為可微效用具有二階風險規避。

要理解拉賓批評，可以假設一場賭博，能以1/2的概率贏得11美元，并以1/2的概率輸掉10美元。隨著邊際效用遞減，勝利的效用至少為11u′（W0+11）。損失的效用成本最多為10u′（W0-10）。因此，如果一個人拒絕這個賭博，我們必須有10u′（W0-10）>11u′（W0+11），這意味著：

現在假設這個人在W0+21的初始財富水平上拒絕同樣的賭博。那么：

結合這兩個不等式：

如果進行重復迭代，那么會在高財富水平上得到極小的邊際效用，這將導致人們拒絕顯然極具吸引力的賭博。

表1.2摘自拉賓（2000）的表I，原注釋為“如果對所有財富水平，拒絕在50-50概率上輸100美元/贏g的賭博，也將拒絕在50-50概率上輸L/贏G的賭博； G的值在表中給出”。g值為列標題，L值為行標題，而表格的單元格表示G。換句話說，每向右移動一列時，一個參與者就會拒絕更多有利可圖的小型賭博；每向下移動一行時，都對應一個更大的可能損失；而單元格中是引誘參與者下注所需的獎金。∞意味著他將拒絕最高獎勵為任何有限數值的賭博，無論獎勵有多大。

第一個顯而易見的問題是，參與者如何能夠對任意大的獎金沒有反應，拒絕承擔有限損失的風險。這個問題將作為非正式練習，并將在本章末尾回答。作為提示，表1.3摘自拉賓（2000）的表II。這個表與表1.2的唯一區別在于，這里的數字都限定于特定的初始財富水平（290 000美元），而表1.2中對50-50概率損失100美元 / 贏得g的賭博的厭惡被認為僅適用于高達300 000美元的財富水平。

1.4.3 一階風險厭惡和前景理論

拉賓批評表明，預期效用的標準理論無法解釋在很大范圍的財富水平上對小型賭博的風險規避。在任意財富水平上，人們可以通過放寬效用是二次可微的假設來增加對標準理論中的小型賭博的厭惡，允許效用函數中的突兀點使式（1.25）中給出的風險溢價的標準公式無效。這種突兀點使得風險厭惡局部無限，并使得小型賭博的風險溢價與其標準差而非其方差成正比；與二次可微效用相應的“二階”風險厭惡相比［Segal和Spivak（1990）］，這被稱為“一階”風險厭惡。然而，這種方法只會在單點上增加小型賭博的厭惡，而如果一個參與者反對一系列財富水平下的小型賭博，拉賓的論證（不假設效用函數的二次可微性）仍然適用。

為此，經濟學家和心理學家已經探索了具有參考點的模型，其中效用來自相對于參考點的收益或損失，該參考點通常設定為等于當前財富。這使得效用函數中的突兀點可移動，讓它始終發揮作用并且在任意初始財富水平處導致一階風險厭惡。

最著名的例子是卡尼曼（Kahneman）和特沃斯基（Tversky）在1979年提出的前景理論，它不僅在參考點上存在拐點，而且有兩個其他特征符合對風險態度的實證證據：偏好函數在獲得收益時為凹，在遭受損失時為凸（風險愛好），以及當概率很小時，主觀概率大于客觀概率。前景理論偏好函數的標準參數化是：

（1.37）

其中，x=W-WREF，表示財富與參考財富水平之間的差異。我們假設0<β<1來確定遭受損失時的凸度和獲得回報時的凹度，并且λ>1，以在參考點處產生突兀點。Gul（1991）中令人失望的厭惡偏好也將參考點附近突兀點設置為賭博的內生確定性等價［Backus、Routledge和Zin（2004）］。

Barberis、Huang和Thaler（2006）指出，即使存在這些偏好也不能對小的延遲賭博產生實質性的厭惡。在決定進行賭博和結果塵埃落定之間的時間段內，參與者將面臨其他風險，并將這些與正在進行的賭博合并。如果賭博與其他風險不相關，那就是分散化的。實際上，對于延遲賭博，參與者將具有二階風險規避。為了解決這個問題，Barberis等人爭辯說人們獨立地對待每一個賭博，也就是說，他們“目光狹隘”。

在本書中，我們將繼續使用標準效用函數，盡管它們無法解釋對小風險的厭惡。這也是我的觀點，即該理論對于資產定價問題是有用的，與拉賓（2000）承認它“很可能是極大規模保險選擇的有用模型”一致。有人可能會以物理學類比，其中重力在宏觀角度上極為重要，盡管在亞原子尺度上其他種類的力變得更為重要，而重力變得可以忽略不計。

最后，值得注意的是，可以擴展預期效用理論，以得到對中等規模和大規模風險的厭惡差異。尤其是，Chetty和Szeidl（2007）表明，“消費承諾”（用于調整消費比例的固定成本）相對于大型賭博提高了對中型賭博的風險厭惡，而大型賭博的極端結果被認為支付調整消費所需的成本是值得的。

1.5 風險比較

前述我們討論了效用函數的比較，特別是兩個效用函數可以在其風險厭惡程度上排名的情況，其中一個拒絕了另一個拒絕的所有彩票，而不管風險的分布情況如何。現在我們進行對稱分析，比較兩種不同分布的風險，而不對效用函數做除了凹度的任何假設。

1.5.1 比較具有相同均值的風險

在本節中，我們考慮兩個具有相同均值的分布。通俗地說，有三種自然而然的方法來定義一個概念，即這些分布中的一個比另一個更具風險：

羅思柴爾德（Rothschild）和斯蒂格利茨（Stiglitz）在1970年的經典分析表明，這些陳述都是等價的。

考慮隨機變量和，它們有相同的期望。

（1）如果相對于而言，沒有具有遞增凹效用函數的個體更偏好，則的風險弱低于：

（1.38）

對于所有的遞增凹效用函數u（.）都成立。如果風險弱低于，并且有一些遞增凹函數u（.）相對于嚴格偏好于，則的風險低于（無嚴格限制條件）。

請注意，這是偏序。并不是說對于任何和，要么的風險弱低于，要么的風險弱低于。如果我們將討論范圍限制在比凹效用函數范圍還要小的一系列效用函數（例如二次曲線）內，我們就可以得到全序。

（2）如果通過運用一個均值保留展開式（MPS）可以從的密度函數獲得的密度函數，則的風險小于。一個MPS s（x）被定義為：

（1.39）

其中，α，β，t> 0; c + t <c′<c′+ t <d <d + t <d′；并且α（c′-c）=β（d′-d）；也就是說，“移動的物體質量越大，移動的距離就越小”。如圖1.3所示。

MPS是你添加到密度函數f（x）的東西。如果g（x）=f（x）+s（x），則：①g（x）也是密度函數；②它具有與f（x）相同的均值。

①顯而易見，因為∫s（x）dx是s（x）=0以下的面積。

②遵循一個事實，即s（x）的“均值”，∫xs（x）dx=0，這又可以由α（c′-c）=β（d′-d）推出。代數過程為：

（1.40）

在什么意義上MPS是一種差值呢？顯然，如果f（x）的平均值在c′+t和d之間，那么g（x）在尾部具有更多的權重。在圖1.3中，當f（x）的平均值遠離左側或右側時，這不是那么明顯。然而，我們可以證明，從（1）的角度來說，具有密度g的比具有密度f的風險更大。在這個意義上，術語“差值”是合適的。

我們計算和之間的預期效用差異為：

（1.41）

MPS的定義意味著β/α=（c′-c）/（d′-d）。另外，對于一些在z和z+h之間的z*而言，u（z+h）-u（z）=u′（z*）h。

因此，對于z和z+c′-c之間的z*1而言：

（1.42）

并且，對于z+d-c和z+d′-c之間的z*2而言：

（1.43）

替換進式（1.41），我們得到：

（1.44）

其中，不等式成立，因為z*1<z*2導致u′（z*1）> u′（z*2）。

（3）一個正式的關于“增加噪聲”的定義是，如果具有與+相同的分布，其中對于X的所有值，E|X］=0，則的風險小于。我們說是關于的“公平游戲”。

公平游戲條件強于零協方差，Cov（，）=0，比對所有函數f和g都有兩函數獨立且Cov（f（），g（））=0的條件要弱。它等價于對所有函數g都有Cov（，g（））=0。為增進對這一點的了解，本章末尾的習題1.1要求構建隨機變量和的例子，要求這些變量具有零協方差但不滿足公平游戲條件，或滿足公平游戲條件但并不獨立。

很容易證明增加的噪聲足以使凹的效用函數不喜歡得到的分布，即（3）隱含著（1）：

（1.45）

因為和+有同樣的分布。

羅思柴爾德和斯蒂格利茨證明條件（1）、（2）和（3）都是等價的。這是一個很重要的結論，因為在特定應用中，其中一個或另一個條件可能最有用。

這些條件都不等價于具有比更大的方差。從（3）可以明顯看出，如果比風險更大，則的方差大于。問題在于，反過來一般都不正確。更大的方差是增加風險的必要不充分條件。可以具有比更大的方差，但是如果它具有更好的高階矩特性，則仍然會被一些凹的效用函數所偏好。只有當我們將注意力集中在有限類別的分布（例如正態分布）上，才能消除這種可能性。

1.5.2 比較具有不同均值的風險

羅思柴爾德-斯蒂格利茨條件僅適用于具有相同均值的分布。然而，它們直接拓展到在羅思柴爾德-斯蒂格利茨意義上更有風險的分布向下移動并具有較低均值的情況。一些簡短的定義說明了這一點。

定義 如果=+，其中≤0，則（一階）優于。在這種情況下，的每個結果至少與的相應結果一樣大。

定義 如果具有+的分布，其中≤0，則一階隨機優于。同樣，如果F（.）是的累積分布函數，并且G（.）是的累積分布函數，那么假如對于每個z都有F（z）≤G（z），就有一階隨機優于。在這種情況下，分布的每個分位數至少與分布的相應分位數一樣大，但是的特定結果可能超過的相應結果。一階隨機占優意味著每個遞增的效用函數都會更偏好分布。

定義 如果具有++的分布，其中≤0并且E[|X+ξ]=0，則二階隨機優于。二階隨機占優（SOSD）意味著每個遞增凹效用函數將更偏好分布。增加風險是SOSD的特殊情況，其中=0。

基于所有風險厭惡決策者對一次賭博而不是其他賭博的一致偏好，SOSD提供了無可爭議的風險比較。遺憾的是，這也限制了它的適用性：SOSD只是賭博的偏序。也就是說，許多的兩個賭博間不能使用SOSD進行排名。具體而言，在羅思柴爾德-斯蒂格利茨意義上，當更具有風險的分布向上移動時——即其具有更高的均值——就不能斷言任何凹效用函數將更喜歡風險更小的另一個分布。選擇將取決于風險的規模和效用函數的形式。這種權衡是投資組合選擇理論的主要研究對象，我們將在下一章中探討。

如果將注意力集中在更具體的一群決策者（定義了其效用函數和財富水平）上，則可以建立全序排名，提供任意兩個賭博的排名。全序可用于構建風險指數，即將賭博映射到僅依賴于賭博本身屬性的實數的摘要統計。例如，Aumann和Serrano（2008）根據具有CARA效用的投資人的偏好提出了風險指數AS指數，對這些投資人而言，財富并不會影響他們對賭博的態度。AS指數是使得一個CARA投資人對一個賭博感到無所謂參不參與的風險容忍度（風險厭惡的倒數）。習題1.2將邀請你探討這個風險指數，以及Foster和Hart（2009）提出的另一個風險指數FH指數。雖然風險指數缺乏SOSD的一般性并且取決于所考慮的偏好，但它們仍然可用于描述和調控的目的。

1.5.3 分散化原則

我們在本節展示一下羅思柴爾德-斯蒂格利茨分析方法如何在具有相同風險資產的簡單投資組合選擇問題中證明完美分散化的最優性。

考慮n個彩票，收益1，2，…，n是獨立同分布的。你要選擇權重α1，α2，…，αn，且∑iαi=1。很明顯，最優的選擇是一個完全多元化且同等加權的投資組合，其中對所有的i而言，權重為αi1/n。收益就是：

（1.46）

羅思柴爾德-斯蒂格利茨分析方法可以很容易證明這個是最優的。只要注意到其他任何策略中的收益是：

（1.47）

（1.48）

因此，任何其他策略都具有相等加權投資組合的收益，加上增加的噪聲［根據羅思柴爾德-斯蒂格利茨條件（3）］。因此，任何凹效用函數都會偏好相等加權的投資組合［根據羅思柴爾德-斯蒂格利茨條件（1）］。

1.6 延伸練習

本章提出了一項非正式練習，一個投資者如何能夠不管可能的獎金有多少，都拒絕50-50勝率且損失恒定的賭博，就像在拉賓（2000）表I中那樣。答案是：如果效用是有上界的，那么即使勝利的獎金規模變得非常大，贏利的效用收益也會收斂到有限的極限。拉賓（2000）表I中的假設——具有期望效用的投資者在所有初始財富水平下都拒絕給定的小型賭博——要求絕對風險厭惡是不遞減的（因為隨著絕對風險厭惡的下降，在某些足夠高的財富水平下，投資者會接受小型賭博）。但是具有恒定絕對風險厭惡的效用函數，如指數效用函數，是有上界的，并且所有具有遞增絕對風險厭惡的效用函數，例如二次效用函數，也都是如此。這一討論表明表II相對于表I可能是對預期效用的更有意義的批評。表II對投資者拒絕給定小賭注的財富范圍做出了較弱的假設，因此符合遞減的絕對風險厭惡。

習題1.1公平游戲

判斷下列說法的對錯。如果正確，請給予證明；如果錯誤，請舉出反例。

（1）如果是關于的公平游戲，且是關于的公平游戲，那么和是相互獨立的。

（2）如果和都有零均值且有零協方差，那么是關于的公平游戲，且是關于的公平游戲。

（3）對聯合正態分布隨機變量，零協方差代表著相互獨立。

習題1.2風險指數

本練習探討了前面提出的兩個風險指數——AS指數和FH指數——的屬性。決策者有初始財富水平W0和以財富值為變量的馮·諾依曼-摩根斯坦效用函數u，u′>0且u″<0。賭博由實值隨機變量g表示，g代表一旦賭博被決策者接受，給財富帶來的可能變化。如果E［u（W0+g）］≤u（W0），投資者（W0，u）將拒絕賭博；如果E［u（W0+g）］>u（W0），則接受g。我們只考慮E［g］>0且Pr（g<0）>0的賭博。為簡單起見，我們假設賭博結果的可能性是有限的。設Lg≡max（-g）和Mg≡max g分別表示g的最大損失和最大所得。

對任意賭博g而言，AS風險指數RAS（g）是由以下等式的唯一正數解確定的：

（1.49）

對任意賭博g，FH風險指數RFH（g）是由以下等式的唯一正數解確定的：

（1.50）

（1）證明AS指數等于讓一個CARA投資者在接受或拒絕賭博之間無差異的風險容忍度。即如果A<1/RAS（g）［如果A≥1/RAS（g）］，一個具有CARA效用u（w）=-exp（-Aw）的投資者將接受（拒絕）g。

（2）證明AS指數等于讓一個對數效用的投資者在接受或拒絕賭博之間無差異的財富水平。即一個具有財富值W0>RFH（g）［W0≤RFH（g）］的對數效用投資者將接受（拒絕）g。

（3）考慮一個有pL概率輸掉Lg且有1-pL概率贏得Mg的二值賭博。在二值賭博有Lg=100美元，Mg=105美元且pL=1/2的情況下［Rabin（2000）］，計算這兩種指標。再對Lg=100美元，Mg=10 100美元且pL=1/2的情況做一次同樣的計算。（對FH的計算求解析解，而AS的計算求數值解。）

（4）考慮一個收益可以無窮大的二值賭博，即Mg可以任意大。求出兩個指數的顯式公式，寫成關于Lg和pL的函數趨近極限Mg→+∞的形式。解釋這些公式背后的直覺。為什么在這些指數衡量下，無限期望的賭博風險不為零？ pL→0會發生什么？

（5）夏普比率為一個賭博的均值除以其標準差的比值，，被廣泛用于衡量風險調整的資產組合回報。我們可以將其倒數視為風險指數。

① 舉例證明夏普比率（的倒數）違背了一階隨機占優（因此也違背了二階隨機占優）。也就是說，如果一個賭博h一階隨機優于賭博g，SR（h）≥SR（g）并不總是成立。

② Aumann和Serrano（2008）提出了夏普比率的廣義形式（GSR（g）≡E［g］/RAS（g），用于衡量“風險調整后”期望收益。試論證GSR符合二階隨機占優（因此也符合一階隨機占優）。

③ 證明當g是一個正態分布的賭博時，（GSR（g）通常相當于SR（g）。

提示：使用正態分布的概率密度函數來證明RAS（g）=Var（g）/ （2E［g］）。