第3章?最優(yōu)控制基礎(chǔ)

3.1?最優(yōu)控制問題的提出[1]

在生產(chǎn)過程、軍事行動、經(jīng)濟(jì)活動以及人類的其他有目的的活動中,常需要對被控系統(tǒng)或被控過程施加某種控制作用以使某個(gè)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu),這種控制作用稱為最優(yōu)控制。下面,結(jié)合本書的應(yīng)用對象,列舉一個(gè)簡單的最優(yōu)控制例子。

例3?1　對于月球軟著陸,假設(shè)飛行軌跡垂直向下,并且著陸器接觸月面時(shí)的速度為0,

要求尋找著陸過程中發(fā)動機(jī)推力的最優(yōu)控制規(guī)律,使得燃料消耗最少。設(shè)著陸器的質(zhì)量為m(t),離月球表面的高度為h(t),著陸器的垂直速度為v(t),發(fā)動機(jī)推力為u(t),月球表面的重力加速度為g。設(shè)著陸器干質(zhì)量為M(不含推進(jìn)劑),初始燃料的質(zhì)量為F,則著陸器的運(yùn)動方程可表示為(如圖3?1所示)

(3?1)

式中,I_sp是發(fā)動機(jī)的比沖。

初始條件

h(t₀)=h₀,v(t₀)=v₀,m(t₀)=M+F(3?2)

終端條件

h(t_f)=0,v(t_f)=0(3?3)

容許控制

0≤u(t)≤α(3?4)

控制的目的是使燃料消耗量最小,即著陸器在著陸時(shí)的質(zhì)量保持最大,即式(3?5)為最大。

J(u)=m(t_f)(3?5)

由這個(gè)例子可見,求解最優(yōu)控制問題時(shí)要給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程、狀態(tài)變量所滿足的初始條件和終端條件、性能指標(biāo)的形式以及控制作用的容許范圍等。

用數(shù)學(xué)語言來詳細(xì)地表達(dá)最優(yōu)控制問題所包含的內(nèi)容如下。

(1)建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程

=f[X(t),U(t),t](3?6)

式中,X(t)為n維狀態(tài)向量,U(t)為m維控制向量,f[X(t),U(t),t]為n維向量函數(shù),它可以是非線性時(shí)變向量函數(shù),也可以是線性定常的向量函數(shù)。狀態(tài)方程必須精確已知。

(2)確定狀態(tài)方程的邊界條件

一個(gè)動態(tài)過程對應(yīng)于n維狀態(tài)空間中從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移,也就是狀態(tài)空間中的一條軌跡。在最優(yōu)控制中初態(tài)通常是已知的,即

X(t₀)=X₀(3?7)

而到達(dá)終端的時(shí)刻t_f和狀態(tài)X(t_f)則因問題而異。在有些問題中t_f是固定的,有些問題中t_f是自由的;而終端狀態(tài)X(t_f)一般屬于一個(gè)目標(biāo)集S,即

X(t_f)∈S(3?8)

當(dāng)終端狀態(tài)固定時(shí),即X(t_f)=X_f,則目標(biāo)集退化為n維狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)。而當(dāng)終端狀態(tài)滿足有些約束條件,即

G[X(t_f),t_f]=0(3?9)

這時(shí)X(t_f)處在n維狀態(tài)空間中某個(gè)超曲面上。若終態(tài)不受約束,則目標(biāo)集便擴(kuò)展到整個(gè)n維空間,或稱終端狀態(tài)自由。

(3)選定性能指標(biāo)J

性能指標(biāo)一般有下面的形式:

(3?10)

上述性能指標(biāo)包括兩個(gè)部分,即積分指標(biāo)和終端指標(biāo)Φ[X(t_f),t_f],這種綜合性能指標(biāo)所對應(yīng)的最優(yōu)控制問題稱為波爾扎(Bolza)問題。當(dāng)只有終端指標(biāo)時(shí),稱為邁耶爾(Mayer)問題;當(dāng)只有積分指標(biāo)時(shí),稱為拉格朗日(Lagrange)問題。性能指標(biāo)J是控制作用U(t)的函數(shù),所以J又稱為性能泛函,也有文獻(xiàn)中將其稱為代價(jià)函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)等。

(4)確定控制作用的容許范圍

U(t)∈Ω(3?11)

Ω是m維控制空間Rm中的一個(gè)集合。如果控制量是有界的,例如例3?1中的發(fā)動機(jī)推力,則控制作用屬于一個(gè)閉集。當(dāng)U(t)不受任何限制時(shí),它屬于一個(gè)開集。這兩類問題的處理方法不同。Ω可稱為容許集合,屬于Ω的控制稱為容許控制。

(5)按一定的方法計(jì)算出容許控制

將計(jì)算出的容許控制U(t)[U(t)∈Ω]施加于用狀態(tài)方程描述的系統(tǒng),使?fàn)顟B(tài)從初態(tài)X₀轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集S中某一個(gè)終態(tài)X_f,并使性能指標(biāo)達(dá)到最大或最小,即達(dá)到某種意義下的最優(yōu)。