2.3　拉格朗日型的Navier?Stokes方程

對(duì)控制方程的描述有兩種形式:歐拉描述法和拉格朗日描述法。歐拉描述法是對(duì)空間點(diǎn)的描述,而拉格朗日描述法是對(duì)物質(zhì)點(diǎn)的描述。流體的流動(dòng)過程可以用歐拉方程以及適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)方程來表示,這些方程表示了質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒。如果用上標(biāo)α和β來表示坐標(biāo)方向和求和重復(fù)指標(biāo),采用時(shí)間全導(dǎo)數(shù)形式,N?S方程組可以表示為:

連續(xù)性方程

=-ρ(2?13)

動(dòng)量方程

=-×(2?14)

能量方程

=-×(2?15)

在以上方程中,σ為總應(yīng)力張量,由兩部分組成:一部分是壓力p,另外一部分是黏性應(yīng)力τ。

σαβ=-pδαβ+ταβ(2?16)

對(duì)于牛頓流體,黏性剪應(yīng)力與剪應(yīng)變率ε成比例,且比例系數(shù)為黏性系數(shù)μ。

ταβ=μεαβ(2?17)

其中

εαβ=+-(Δ·v)δαβ(2?18)

如果將壓力與黏性應(yīng)力分開寫,我們可以得到如下的能量方程

=-+εαβεαβ(2?19)

在式(2?13)~式(2?19)中,各字母代表的意義如下:

v——速度向量;

e——內(nèi)能;

ρ——密度;

p——壓力;

t?——時(shí)間。