2.1.3 內(nèi)力計(jì)算

（一）計(jì)算簡圖

內(nèi)力計(jì)算基本假定：

（1）當(dāng)不考慮結(jié)構(gòu)縱向不均勻變形時(shí)，結(jié)構(gòu)可視為平面變形問題，計(jì)算時(shí)可沿縱向截取單位長度（1m）的截條當(dāng)作閉合框架來計(jì)算。

（2）不考慮支托（腋角）對(duì)構(gòu)件的影響，認(rèn)為桿件為等截面。

（3）中間隔墻的剛度相對(duì)較小，當(dāng)側(cè)力不大時(shí)，將中間隔墻看作只承受軸力的二力桿。

根據(jù)上述基本假定，圖2-4a所示的兩孔閉合框架計(jì)算簡圖可用圖2-4b替代。

（二）內(nèi)力計(jì)算方法

1. 彈性地基框架內(nèi)力計(jì)算方法——力法

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)或近似計(jì)算方法設(shè)定各桿件的截面尺寸后，進(jìn)行超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。靜載作用下淺埋式閉合框架結(jié)構(gòu)一般可按彈性地基上閉合框架進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算。計(jì)算時(shí)沿縱向取一單位寬度（b=1m）作為計(jì)算單元，對(duì)地基也截取相同的單位寬度并把它看作一個(gè)彈性半無限平面。

框架的內(nèi)力分析可采用圖2-5a所示的計(jì)算簡圖，與一般平面框架的區(qū)別在于底板承受未知的地基彈性反力，內(nèi)力計(jì)算相對(duì)較為復(fù)雜。

彈性地基上閉合框架的內(nèi)力計(jì)算可采用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法，只是需要將底板按彈性地基梁來考慮。取圖2-5a的基本體系（圖2-5b），在橫梁中央切開，未知力x₁、x₂和x₃，力法典型的方程為

δ ₁₁ x ₁+δ₁₂x₂+δ₁₃x₃+Δ_1p=0

系數(shù)δ_ij是指在未知力x_i=1作用下，沿x_j方向的變位值；Δ_ip是指外荷載作用下沿x_i方向的變位值，可按下式計(jì)算

式中 ——框架基本結(jié)構(gòu)在單位力x_i=1作用下產(chǎn)生的x_j方向的位移（不包括底板）；

b_ij——底板按彈性地基梁在單位力x_i作用下計(jì)算出的切口處x_j方向的位移；

——框架基本結(jié)構(gòu)在外荷載q作用下產(chǎn)生的位移（不包括底板）；

b_{i p}——底板按彈性地基梁在外荷載q作用下計(jì)算出的切口處x_i方向的位移；

M_i、M_j、M_p——框架基本結(jié)構(gòu)在未知量x_i=1、x_j=1以及外荷載q作用下的彎矩。

將所求得的系數(shù)及自由項(xiàng)代入典型方程，即可求得未知力x_i，并進(jìn)而計(jì)算閉合框架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（彎矩M、剪力V、軸力N）值。

根據(jù)計(jì)算簡圖求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，可直接求得節(jié)點(diǎn)處的內(nèi)力（即構(gòu)件軸線相交處的內(nèi)力），然后利用平衡條件求得任意截面處的內(nèi)力。截面的計(jì)算彎矩M可采用疊加法按式（2-18）計(jì)算

2. 彈性地基框架的內(nèi)力分析方法——力法或位移法

彈性地基框架的內(nèi)力分析可將超靜定的上部剛架與底板作為基本結(jié)構(gòu)，將上部剛架與底板分開計(jì)算，再按照切口處反力相等（圖2-6b）或變形協(xié)調(diào)（圖2-6c），用位移法或力法解出切口處的未知位移或未知力，然后計(jì)算上部剛架和底板的內(nèi)力。

對(duì)圖2-7a所示彈性地基閉合框架，取基本結(jié)構(gòu)（圖2-7b），因結(jié)構(gòu)及荷載對(duì)稱，可取未知力x，其典型方程為

（1）系數(shù)Δ_1p

對(duì)上部剛架A點(diǎn)角變值，有

式中 k₁、k₂——上部剛架柱、梁的線慣性矩，k₁=I/H、k₂=I/L。

這里，固端彎矩以順時(shí)針為正，。

如圖2-8所示，在兩個(gè)對(duì)稱反力P作用下彈性地基梁，引起A點(diǎn)的角變值為

式中 P——作用于梁上兩個(gè)對(duì)稱集中力值；

——兩個(gè)對(duì)稱集中力作用下，彈性地基梁的角變計(jì)算系數(shù)，查相關(guān)表確定。

對(duì)于底板，首先按式（2-22）計(jì)算彈性地基梁的柔度指標(biāo)t，查在單位力P=1kN時(shí)，在α=1、ξ=1處（A點(diǎn)）角變值系數(shù)。

將式（2-20）和式（2-21）疊加可得，Δ_1p=

（2）系數(shù)δ₁₁對(duì)上部剛架A點(diǎn)角變值：

式中 k₁、k₂——上部剛架柱、梁的線慣性矩，k₁=I/H、k₂=I/L。

這里，固端彎矩M_AB=-1，M_BA=0，M_BC=0。

如圖2-9所示，在兩個(gè)對(duì)稱彎矩m作用下彈性地基梁，引起A點(diǎn)的角變值為

式中 m——作用于梁上兩個(gè)對(duì)稱彎矩值；

——兩個(gè)對(duì)稱彎矩作用下，彈性地基梁的角變計(jì)算系數(shù)，查相關(guān)表確定。

對(duì)于底板，首先計(jì)算彈性地基梁的柔度指標(biāo)t，查單位彎矩m=1kN·m作用下，在α=1、ξ=1處（A點(diǎn)）角變值系數(shù)。

將式（2-23）和式（2-24）疊加可得，

（3）未知力x 由式（2-19）可得，未知力x=-Δ_1p/δ₁₁。

這樣可根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法計(jì)算二鉸剛架的彎矩，同時(shí)根據(jù)A點(diǎn)及D點(diǎn)處的反力和彎矩計(jì)算底板彎矩。

3. 彈性地基框架內(nèi)力計(jì)算方法——鏈桿法

鏈桿法求解彈性地基框架內(nèi)力的基本思路：將與地基接觸的底板用有限個(gè)剛性鏈桿（或彈簧）替代，每個(gè)剛性鏈桿的作用力，代表一段接觸面積上地基反力的合力，只要求出各個(gè)剛性鏈桿（彈簧）的內(nèi)力，即可求得地基反力以及底板的彎矩和剪力。

將未知反力分段代入剛性鏈桿（或彈簧單元），用混合法（或力法）求解。切斷剛性鏈桿（或彈簧單元）并以未知力及變位作為未知數(shù)，而上部剛架仍可采用力法或位移法分析。將上述未知力代入典型方程中，可解出框架內(nèi)力。

圖2-10a所示彈性地基框架，將框架橫梁在中部切開，代以未知力x₄和x₅（因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)對(duì)稱，荷載對(duì)稱，切開處剪力等于零）。在底板與地基之間設(shè)置剛性鏈桿（或彈簧單元），設(shè)置8個(gè)剛性鏈桿（或彈簧單元），切開剛性鏈桿采用未知力x₀、x₁、x₂和x₃表示。采用懸臂剛架的基本結(jié)構(gòu)，固定底板的中點(diǎn)，基本結(jié)構(gòu)如圖2-10b所示。

這樣典型的方程為

在式（2-25）中，有些系數(shù)為零，在框架切口處，未知力x₀不會(huì)使切口x₄和x₅產(chǎn)生相對(duì)變位，故δ₀₄=δ₄₀=0，δ₀₅=δ₅₀=0；外荷載在x₀方向產(chǎn)生的位移為零，即Δ_0p=0；框架切口處沿x₄和x₅方向的相對(duì)變位也與基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的沉陷y是無關(guān)的，故相應(yīng)的方程中y₀=0。

采用鏈桿法彈性地基梁的方法計(jì)算x₀、x₁、x₂和x₃等單位力作用下沿x₀、x₁、x₂和x₃方向的變位，變位δ_ki包括梁和地基兩部分，即

式中 y_ki——地基的沉陷；

v _{k i} ——梁的撓度。

（1）地基的沉陷y_ki 由于剛性鏈桿的反力是按等間距分布的，可將各鏈桿點(diǎn)的相對(duì)沉陷值推導(dǎo)出與x/c有關(guān)的計(jì)算式（其中x為力作用點(diǎn)到沉陷計(jì)算點(diǎn)的距離，c為鏈桿間距）得

式中 F_ki——與x/c有關(guān)的系數(shù)，按表2-3確定；

C_i——積分常數(shù)，其值與所選參考點(diǎn)至力作用點(diǎn)的距離有關(guān)，當(dāng)參考點(diǎn)選擇足夠遠(yuǎn)時(shí)，計(jì)算各點(diǎn)沉陷時(shí)可將其當(dāng)作常數(shù)。

（2）懸臂梁的撓度v_ki 懸臂梁的撓度v_ki可采用下列求變位的公式

根據(jù)圖2-11和式（2-28）可得

令

則

式中 a_i——x_i點(diǎn)至固定截面之間的距離；

a _k ——x _k點(diǎn)至固定截面之間的距離。

ω _{k i} 僅與及有關(guān)，可以制成計(jì)算用表（表2-4）。

將y_ki、v_ki代入式（2-26）可得

由于對(duì)半無限平面所求得的沉陷值為對(duì)某一定點(diǎn)的相對(duì)沉陷值，積分常數(shù)項(xiàng)對(duì)所求反力的大小沒有影響，上式可變換為

若將系數(shù)δ_ki每一項(xiàng)都乘以E₀π并不影響結(jié)果，則將系數(shù)的計(jì)算式簡化為

式中 α——與底板和地基剛度有關(guān)的常數(shù)，。F_ki和ω_ki值可根據(jù)x/c、a_i/c、a_k/c值由表2-3或表2-4確定。

需要注意：在計(jì)算地基的沉陷時(shí)，要考慮到左右兩側(cè)一對(duì)x_k力對(duì)點(diǎn)x_i產(chǎn)生的影響。而計(jì)算底板的變位時(shí)，由于選用中央固定的懸臂剛架為基本結(jié)構(gòu)，左邊的反力x_k對(duì)右邊的x_i點(diǎn)將不產(chǎn)生影響，如圖2-12所示。

當(dāng)計(jì)算剛性鏈桿處單位力x₀、x₁、x₂和x₃作用下沿框架切口處x₄和x₅方向變位時(shí)，可按剛架求變位公式計(jì)算。當(dāng)為等截面直桿時(shí)，可采用圖乘法。需要注意，在采用上述系數(shù)表計(jì)算中，由于在建立典型方程時(shí)，剛性鏈桿未知力產(chǎn)生的位移值，都曾乘以E₀π[若為平面變形情形為，因此計(jì)算δ_ki、δ₁₅、…、δ₅₅等系數(shù)時(shí)，也應(yīng)乘以相同的數(shù)值。

同樣，可按相同方法求得自由項(xiàng)的數(shù)值。當(dāng)各系數(shù)求出后，代入典型方程即可得出框架內(nèi)力（彎矩M、剪力V、軸力N）。

（三）內(nèi)力計(jì)算

1. 設(shè)計(jì)彎矩M_i

由于閉合框架節(jié)點(diǎn)處設(shè)置托板（腋角），實(shí)際不利截面在墻的邊緣處。根據(jù)隔離體平衡條件（圖2-13b）可得控制截面的設(shè)計(jì)彎矩為

式中 M_i——設(shè)計(jì)彎矩；

M——計(jì)算彎矩；

Q——計(jì)算剪力；

b——支座寬度；

q——作用于桿件上的均布荷載。

設(shè)計(jì)中，為了簡化計(jì)算，式（2-31）可近似地用下式代替

2. 設(shè)計(jì)剪力Q_i

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法，可計(jì)算截面的計(jì)算剪力Q；彈性地基梁的截面計(jì)算剪力Q可按式（2-33）計(jì)算

同理，控制截面（不利截面）處的設(shè)計(jì)剪力Q_i（圖2-14）可按下式計(jì)算

3. 設(shè)計(jì)軸力N_i

由靜載引起的設(shè)計(jì)軸力可按下式計(jì)算

式中 N——由靜載引起的截面計(jì)算軸力。

由特殊荷載引起的設(shè)計(jì)軸力可按下式計(jì)算

式中 Nt——由特殊荷載引起的計(jì)算軸力；

ξ——折減系數(shù)，對(duì)于頂板取ξ=0.3，對(duì)于底板和側(cè)墻可取ξ=0.6。

將上述兩種情況求得的設(shè)計(jì)軸力疊加即得各桿件的最終設(shè)計(jì)軸力。