2.1.1 彈性地基梁基本理論

如圖2-2所示，局部彈性地基上的長為l、寬度b=1m的等截面直梁，在外荷載q（x）及P作用下，梁和地基的沉陷為y（x），梁與地基之間的反力為σ（x）。選取坐標系xOy，外荷載、地基反力、梁截面內力及變形正負號規定如圖2-2所示。

彈性地基梁的撓曲微分方程為

式中 k——地基的彈性壓縮系數（kN/m3）。

彈性地基梁撓曲微分方程對應齊次方程為

齊次微分方程的通解為

令代入式（2-3）可得

根據θ（x）、M（x）、Q（x）與y（x）之間關系可得

式中 B₁、B₂、B₃、B₄——待定積分常數，可用初始截面（x=0）初參數（y₀、θ₀、M₀、Q₀）表示。

彈性地基梁左端（x=0）的邊界條件為

y（x）|_x=0=y₀

θ（x）|_x=0=θ₀

將式（2-5）代入式（2-4）可得

將式（2-6）代入式（2-4），并注意，則有

其中 φ₁=chαxcosαx

φ₂=chαxsinαx+shαxcosαx

φ₃=shαxsinαx

φ₄=chαxsinαx-shαxcosαx

φ ₁、φ₂、φ₃、φ₄稱為雙曲線三角函數，它們之間存在如下微分關系

式（2-7）即為用初參數表示的齊次微分方程的解，式中每一項系數都具有明確的物理意義，例如式（2-7）的第一式中，φ₁表示當原點有單位撓度（其他三個初參數均為零）時梁的撓度方程，φ₂/2α表示原點有單位轉角時梁的撓度方程等。在四個待定參數y₀、θ₀、M₀、Q₀中有兩個參數可由原點端的兩個邊界條件直接求出，另外兩個待定參數由另一端的邊界條件來確定。表2-1給出了兩端自由彈性地基梁的梁端參數值。