1.陰影的長度

在我很小的時候，有件事給我留下了難以磨滅的印象，以至于到了今天它依然在我腦海回旋。有一天我看到一個有些謝頂的護林員正在測一棵大松樹的高度，但是他并沒有爬樹，更沒有將樹伐倒去測，而是站在樹下用一個精巧的鏈尺進行測量。我還以為他要拿著鏈尺爬樹，然而老護林員只拿了塊方形的木板對著樹梢比畫了一下就說已經測完了，我還以為測量剛剛開始。

當時我尚未成年，我認為用不著爬樹更不用砍倒大樹來測量樹的高度的方法簡直不可思議。等學了幾何學的一些基本知識后，我才發現老護林員的測高法簡直再簡單不過了，而且利用物體的投影測物體高度的方法數不勝數。

最早的簡便實用的測高法是泰勒斯（古希臘哲學家）在公元前六世紀時測金字塔時選用的方法。他當時就利用了塔的投影。當時法老與祭司圍在最高的金字塔下面，滿腹狐疑地觀察著要靠塔的陰影來測塔高的泰勒斯。據傳說，泰勒斯測金字塔高度的日子很講究，一般會選擇在他的影子與身高基本一致的日子和時間段測塔身的高度，原來泰勒斯經過反復試驗發現唯有那個時段金字塔的影子才與其高較為接近。由此看來，我們的影子并非一無是處。

大家可能會覺得好笑，因為這么簡單的問題居然需要大哲學家泰勒斯出面，而這點兒小事如今甚至難不倒小孩子。但是，我們都是在應用他們的成果而已，泰勒斯所生活的時代歐幾里得還沒有出生。大家可能都記得歐幾里得的幾何學專著，在這之后2000多年的時間里，世界上的人就是依賴歐幾里得的書了解幾何學的。盡管現在每個中學生可能都對歐幾里得書中的定理耳熟能詳，不過在泰勒斯所生活的時期它們還沒被人們所知悉。泰勒斯要利用金字塔的影長來測塔身的高度的確有些難度，起碼得了解三角形的一些特征：

其一，等腰三角形的兩個底角相等；反之，如果三角形的兩個角一樣大，那么它們所對的邊也相等。

其二，任何三角形的內角之和均為180°。

正因為泰勒斯了解上面的這些知識，他才認定，在他的投影和身高相同的時候，太陽會呈45°角照射在大地上，所以就有下面的結論：金字塔的塔尖、塔底的中央與塔投影的端點會形成一個等腰三角形。

在天氣晴朗的時候，我們可借助這個方法測獨立生長的樹木的高度，因為樹木的投影不與周圍的樹木投影重疊。但是，在緯度較高的地方，基本不易碰上適合測物體高度的時間，因為這些地帶的太陽一直徘徊于地平線周邊。正因為如此，一年當中唯有夏天的正午，影子才和物體同高。這么看來，泰勒斯的方法也不是十全十美的。

不過在晴好的日子里，只需對該方法稍加改進就能借助一切物體的投影來進行測量，無須考慮它們投影的長度。這不僅需要測量物體的投影長，還得測自己影子或木桿投影的長度，依據它們相互間的比例關系推算出要測物體的高度：

AB：ab=BC：bc

可以看出，大樹的影子是你影子（或長桿陰影）長度的多少倍，大樹的高度就是你身高（或長桿高度）的多少倍。

該結論依照的是△ABC∽△abc（相似三角形的對應角相等）的幾何原理。

也許有的朋友會不以為然，覺得這個方法太簡單，根本沒有必要去幾何學里找理論依據：難道離開了幾何學，人們就無法知道樹高多少倍，樹的投影就長多少倍的道理？然而，事實并非如此。你不妨把這個結論用于路燈映射上，試一試就能知道該結論不是萬能的。在圖2中可以發現，木柱AB長度是木樁ab長度的3倍，但木柱的投影卻相當于木樁投影（BC：bc）的8倍。只有借助幾何學才能解釋為何這種方法在這種狀況下有效，而換一種情形就不可用。

【題目】我們一起來討論一下二者的不同。關鍵之處在于，太陽光線灑向地面時它們之間非常近似平行狀態，但是路燈拋灑出的光線并不平行。這一點很容易察覺，但是，我們為什么說太陽光是平行光呢？我們一直認為，陽光從出發的地方就有交點了。

【題解】我們之所以說太陽光線照射到地球時為平行線，是因為太陽光的光線互相之間的角度非常小，這一點借助一個簡單的幾何運算就能消除我們的疑慮。現在設定自太陽上的一個點往地面上投下了兩束光，分別投向地面的兩個位置。假設兩個位置相距1000m，那么，如果我們將圓規的一只腳擺放到投出光線的那點，而用另外一只腳以太陽同地球之間的長度（15×107km）為半徑作一個圓，兩束光線半徑間的圓弧就長1000m，圓的周長是2π×15×107=9.4×108km。推算下來，圓周上的任何1°圓弧的弧長均為，也就是2.6×106km；繼續推導下去，1弧分就該為1度的，為4.3×104km了；而1弧秒就將是1弧分的，很顯然為7.2×102km。我們設定弧長為1000m，按理，和它相對的角應該為。

這么小的角度，天文學上最精密的儀器都派不上用場。因此，在生活中我們可以認為太陽的光線是平行線[1]。

如果我們不了解上面提到的幾何學知識，就無法找到利用投影斷定高度這一方法的理論依據。在你試著將借助投影長測物體高度的方法用于實際生活時，便可知這個方法還存在一些不足。因為投影盡頭的界限十分模糊，投影的精確長度不易測到。陽光下，每個物體的投影盡頭都存在一個顏色暗淡的半影，根本無法準確分辨，致使投影的界限很難劃定。這是因為，太陽并不是一個很精確的點，而是一個由眾多發光點組成的發光體。圖3告訴了我們大樹投影BC后存在的、慢慢暗淡模糊的半影CD的來源。半影的兩個端點C、D之間和樹梢A構成的∠CAD與我們日常看到太陽之時的夾角一樣大，都是°。兩個投影測量時存在修正值的情況，即使太陽的高度不低，都有可能是5%或更大。該修正值再加上如地面不夠平坦等無法回避的原因構成的修正值，會使測出的結果更加遠離精確值，比如在多山地帶，這個方法就會失效。