1.最短的航線

一位女教師在黑板上畫了兩個點并且對她的一個學生說：“請畫出這兩個點之間的最短路線?！?/p>

她的學生想了一下，之后在兩點之間畫了一條彎曲的線。

“這個不對吧？誰告訴你這是最短路線了？”女教師似乎有些無奈。

“我爸爸啊，他是開出租的。”

學生的回答看似好笑，然而，圖1中虛線距離的確要比實線短，從好望角到澳大利亞南部，虛線確實是最短距離。并且，在圖2中，從日本橫濱到巴拿馬運河的距離同樣是弧形線路程最短，比圖中直線還短。

看起來這些都很荒謬，然而地圖的制作者比我們都清楚，這其中的正確性是毋庸置疑的。

想要弄明白這其中道理，我們就來分析一下地圖以及航海圖。當然，由于地球是圓的，想要把球面畫在平面上并不容易，任何部分都會不可避免地破裂或者重疊，這導致了地圖會有無法規避的誤差。盡管人們為了畫出精確的地圖想出了很多辦法，然而依然無法使地圖達到完美，因為球面和平面的原因，地圖是根本不可能十全十美的。

16世紀，荷蘭地理學家及數學家墨卡托發明了一種“墨卡托投影法”，航海家使用的地圖都是用這種方法繪制的。這種地圖稱為“墨卡托地圖”，它帶有方格，簡單易懂，經線為平行直線，緯線為垂直經線的平行直線（如圖3）。但用這種方法繪制的地圖也有缺陷，那就是高緯度地方的輪廓經投影成圖后擴大得較厲害，與實際面積會產生一定的差距。

現在來考慮一下如何計算同緯度下兩點航線間距。由于是海洋航線，所以路線中沒有障礙，只需要知道最短航線即可航行。于是，我們很容易想到，兩個點之間最短航線應該是兩點之間的緯線，因為緯線在地圖上是直線。然而，真正最短的航線并非緯線，還有比這條直線更短的航線。

真正最短的航線是穿過兩點的大圓弧線[1]，緯線圈只不過是“小圓”而已。由于圓半徑越大兩定點間弧線曲率越小，這兩點間的大圓弧線曲率定然小于小圓弧線，于是大圓弧線才是答案。

現在如果我們像圖4那樣在地球儀上拉緊一條通過兩點的線，那么這條線就代表著最短航線。但是，這兩點之間的“最短航線”如果不與緯線重合，那么航海圖上的這條線就不是直線了，只能是曲線。這樣，航海圖上表示“最短距離”的是曲線這一點就可以理解了。

據說在修建十月鐵路（也就是過去所說的尼古拉鐵路，從圣彼得堡通往莫斯科）的時候就曾經因為路線的問題而引起爭論。這個爭論的末尾是由于尼古拉一世的干涉，他最終決定在地圖上將兩座城連起來，然后修建鐵路。不過如果在墨卡托地圖上，這條鐵路就并非直線了，而是一條曲線。

其實只要計算一下就能證明地圖上的航線比直線要短，并且這種計算并不復雜。現在設有兩個和圣彼得堡緯度都為60°的碼頭，并且兩個港口分別到地心連線的夾角為60°（當然，現實中到底有沒有符合條件的兩個碼頭并不重要）。于是我們參照圖5，設：地心O，地球半徑R，兩個港口A、B，緯線圈中心C。現在以O為圓心過AB作弧，此時AO=BO=R，弧AB和經過AB的緯線靠近但不重合。

由于A、B緯度為60°，于是OA與OC, OB與OC之間都呈30°。根據

直角三角形OCA的一些幾何原理，我們可以得知。此時設AC=r，于是便有，弧線AB也為整個位線長度的。由于，可知緯線圈半徑是大圓半徑的，于是整個緯線圈長度是大圓周長的。我們知道地球周長約40000km，則可得知緯線圈AB段的弧長為。

由于AC=CB且∠CAB=60°，可知△ACB為等邊三角形，根據這一點得出：AB=r=R/2。

找到直線AB的中記作D，并作線段OD，則△ODA為直角三角形，則：

DA=BA/2。由于OA=R，

。根據三角函數表可知：

∠AOD=14°28′30″

∠AOB=28°57′

現在已知大圓上1′的弧長為1海里，1海里≈1.85km，于是可知28°57′≈3213km。

比較上邊兩個數據3333km以及3213km，可知航海圖上兩點直線為3333km，而航海圖上表示大圓圓弧的曲線弧長3213km，后者比前者短120km。

這種結論正確與否只需要圖4中的辦法檢驗一下即可得知。并且回到圖1，從好望角到澳大利亞南部的直線距離為6020海里，而之間的曲線距離卻僅有5450海里，比直線距離短了570海里。航海圖上倫敦到上海之間的直線距離經過里海，然而地圖上兩城市間正確的最短航線卻需要經過圣彼得堡之后還要往北?？此坪茈y理解，但是這些方面的研究非常便于節省燃料以及時間。

可能由于在帆船時代，時間還沒有被看作如金錢一般重要，所以那時候的人們不太去關注是否會耗費多一些的時間。然而現今社會輪船盛行，航線長就得多燒煤，多燒煤就要多花錢，于是不僅僅為了節約時間，同時也為了節約燃料，現在的輪船肯定是要按照最短航線航行的。然而，現在使用的地圖中大圓弧線都是直線，名叫“心射投影”，墨卡托地圖已經不再使用了。

那么既然如此，為何之前的航海者還去使用那些明顯不正確的地圖，走著不正確的路線呢？難道他們并不知道航海圖的特點嗎？非也。雖說墨卡托地圖有很大缺陷，然而對航海者來說還是非常有用的。在低緯度地區，一小塊區域內歪曲程度根本無法察覺或者說根本沒有歪曲，但高緯度地區就不行了，高緯度地區在墨卡托地圖上被歪曲很厲害，地面輪廓要比實際大得多，如果一個不明白其中道理的人來看這種地圖，會覺得格陵蘭島和非洲大陸大小相仿，并且會覺得阿拉斯加比澳大利亞還要大。然而，事實上格陵蘭島比非洲小得多，僅為后者的左右，而阿拉斯加也不過澳大利亞的一半而已。

當然，航海老手們并不會被這種地圖迷惑，他們清楚地知道其中的道理并且容忍這些扭曲。不僅如此，在小范圍的地方，扭曲也并不厲害，和實際情況還是比較相似的。

因此，墨卡托地圖還是有利于解決實際的航海問題的，是唯一利用直線指示船只定向航行的地圖。“定向航行”意為船只的航線和經線夾角保持定值，使船只保持“方向角”不變。這種名為“斜航線[2]”的路徑只有在經線平行的地圖上才會顯示直線。

當然，由于在這種地圖上，經線都是平行，那么緯線自然也是平行，并且垂直于經線。經緯垂直方格密布，這也是航海圖的特點。

經過上面的描述，我們終于能夠明白為何航海者們會喜歡這樣的地圖：他們在航行前只需將自己所在位置和目標點連線，然后測量連線和經線的夾角，之后在航行中就可以保持這個方向一直前進了。雖說這種“斜航線”并非最經濟省時的線路，但是使用非常方便。

現在假設要從好望角到達澳大利亞南部，按照“斜航線”需要沿著南87°30′前進。但是如果要走最短的航線，剛開始需要向南42°30′，但是到達時卻是向北53°30′，這樣意味著在航行中需要不斷改變方向，并且會不可避免地撞到南極的冰層。

值得一提的是，當且僅當船只在赤道或者經線上航行時這兩種航線重合，其他情況則必然不重合。