第一章 大數(shù)字

1．你最大可以數(shù)到幾？

有這么一個故事。兩個匈牙利貴族決定玩一個游戲，誰說的數(shù)字最大，誰就是贏家。

其中一個人說：“好吧，那你先說。”

另一個人苦思冥想了好幾分鐘，終于給出了他能想到的最大數(shù)字。

“3。”他說。

現(xiàn)在輪到第一個人絞盡腦汁地思考了。然而，一刻鐘之后，他還是無奈放棄了。

“你贏了。”他輸?shù)眯姆诜?/p>

故事中，這兩個匈牙利貴族的頭腦可真是不怎么靈光[1]，而且，沒準(zhǔn)整個故事就是一個不懷好意的玩笑。不過，如果主角不是匈牙利人，而是非洲南部的霍屯督人（Hottentot）[2]，這樣一通對話或許真的有可能發(fā)生。一些非洲探險家們能夠證實，許多霍屯督人的詞匯表里，根本就沒有3以上的數(shù)字。假設(shè)你去問一個當(dāng)?shù)赝林袔讉€兒子，殺死過幾個敵人，如果這個數(shù)字比3大，他就會說：“有很多。”所以說，在數(shù)數(shù)這門技藝上，哪怕是霍屯督部落里最勇猛的戰(zhàn)士，也比不過美國幼兒園里的孩子，畢竟孩子們還能從1數(shù)到10呢！

如今，人們都習(xí)慣性地認(rèn)為，只要我們愿意，無論多大的數(shù)字，我們都可以寫出來。無論它是以美分來計算的軍費支出，還是以英寸來衡量的星際距離，只要在某個數(shù)字的右邊加上足夠多的“0”就可以了。你可以一直寫下去，直到手酸，甚至沒有意識到自己寫下的數(shù)字比宇宙里所有原子的總數(shù)還多[3]。順帶一說，宇宙里的原子總數(shù)大約是：

300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000個。

你也可以用更簡潔的形式，表示成：3×1074。這個位于10右邊、小小的上標(biāo)數(shù)字74就是你要寫出來的0的個數(shù)，換句話說，這個數(shù)等于3乘以74個10。

不過古人們尚未了解這種“簡單算術(shù)系統(tǒng)”，事實上，這種方法是由某些未能留下姓名的印度數(shù)學(xué)家發(fā)明出來的，存在了還不到2000年。盡管人們常常忽略，但這個發(fā)明確實具有劃時代的意義。此前，人們書寫數(shù)字時，會用一個特定的符號來表示每一個數(shù)位（現(xiàn)在我們稱之為十進(jìn)制單位），每個數(shù)位上的數(shù)字是幾，就重復(fù)這個符號幾次。舉個例子，數(shù)字8732用古埃及文字表示就是：

在愷撒時代，行政部門的書記員會把這個數(shù)記為：

MMMMMMMMDCCXXXII

你對后一種記數(shù)方法一定不陌生，因為人們現(xiàn)在還會經(jīng)常使用羅馬數(shù)字——用它來表示書的卷數(shù)、章數(shù)，或是用它在宏偉的紀(jì)念碑上記錄歷史事件的日期。不過，因為古人的記數(shù)需求不超過幾千，所以更高的十進(jìn)制單位的符號并不存在。一個古羅馬人，無論受過何等良好的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，如果要他寫下“一百萬”這樣一個數(shù)字，他也一定會不知所措。真要答應(yīng)這個請求，他得花上好幾個小時，不停歇地寫出1000個M才行（圖1）。

圖1 這個看上去有點像奧古斯都·愷撒（Augustus Caesar）的古羅馬人正在試圖寫出“一百萬”。實際上，墻壁上的這塊板子的空間很難寫下“十萬”。

對古人來說，特別大的數(shù)字，比如天上的星星、海里的魚、海岸的沙都是“無法計算”的，就像是對霍屯督人來說，“5”就是無法計算的，只能用“許多”來表示。

公元前3世紀(jì)，著名的科學(xué)家阿基米德（Archimedes）曾花費了極大的腦力證明，寫出特別大的數(shù)字完全是有可能的。他在論文《數(shù)沙器》（The Psammites或叫Sand Reckoner）中寫道：

“有些人認(rèn)為，沙粒的數(shù)目有無窮多個。我所說的，不但包括錫拉丘茲（Syracuse）和西西里上的沙粒，還包括地球上所有地方的沙子，無論那里是否有人居住。另外，還有一些人認(rèn)為，這個數(shù)字并不是無窮大，但是卻無法寫出比地球上所有沙粒的數(shù)量還大的數(shù)字。顯然，對于持后一種觀點的人來說，如果讓他們想象一座和地球等大的沙球，在里面將與地球上大海、洞穴在內(nèi)的相對應(yīng)的位置都裝滿沙子，一直堆到全世界最高的山那么高，那么，他們就更加確信，再也沒有什么數(shù)字能比這里面的沙子總數(shù)還要大。不過，我想說的是，我不但能夠表示出像地球這么大的沙球中沙粒的數(shù)目，哪怕是像宇宙這么大的沙球，我也能寫出里面的沙子數(shù)。”

阿基米德在這篇著名的文章中提出的表示大數(shù)的方法，和現(xiàn)代科學(xué)中的大數(shù)記數(shù)法十分類似。他從古希臘算術(shù)中最大的數(shù)字“一萬”（myriad）開始，接著引入一個新數(shù)“一萬萬”，他稱之為“億”或“二級單位”。接下來是“億億”，它被稱為“三級單位”，再然后是“億億億”，被稱為“四級單位”，依此類推[4]。

用現(xiàn)在的眼光來看，專門花幾頁的篇幅來討論如何書寫大數(shù)確實有些瑣碎，但在阿基米德的時代，找到記錄大數(shù)的方法確實是一個了不起的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)也由此向前邁出了重要的一步。

想要表示出填滿整個宇宙的沙粒總數(shù)，阿基米德就必須要知道宇宙有多大。當(dāng)時的人們相信，整個宇宙被封裝在一個鑲嵌著星星的水晶球里。而根據(jù)阿基米德同時代的天文學(xué)家，薩摩斯的阿利斯塔克斯（Aristarchus of Samos）的估算，從地球到這個宇宙水晶球表面的距離是10,000,000,000腳尺，也就是1,000,000,000英里左右[5]。

阿基米德把這個天球的大小和沙粒的大小進(jìn)行了比較，完成了一系列復(fù)雜到足以令高中生做噩夢的計算，最后得出以下結(jié)論：“很顯然，按照阿利斯塔克斯估算的天球尺寸，里面可以裝入的沙粒總數(shù)不會超過一千萬個第八階單位。”[6]

你或許已經(jīng)留意到，阿基米德估算的宇宙半徑比現(xiàn)代科學(xué)家所認(rèn)為的要小得多。10億英里的距離根本出不了太陽系，只能到達(dá)土星。我們稍后將會看到，用現(xiàn)代望遠(yuǎn)鏡探測到的宇宙距離已達(dá)到5,000,000,000,000,000,000,000（即5×1021）英里[7]，所以說，想要填滿所有已知的宇宙空間，所需要的沙粒數(shù)必然會超過10100 （1后面100個0）個。

這個數(shù)目比本章開頭說的宇宙中的原子總數(shù)3×1074明顯要大得多，但不要忘記，宇宙里并不是塞滿了原子。實際上，每立方米的空間里平均只有大約1個原子。

不過，為了得到特別大的數(shù)字，我們根本不需要做這么夸張的事情，比如用沙粒填滿整個宇宙。實際上，一些乍看上去非常簡單的問題也會得出超乎尋常的大數(shù)，而人們期望中的答案卻只有幾千而已。

印度的舍罕王（King Shirham）就在大數(shù)上吃過虧。根據(jù)古老的傳說，宰相西薩·班·達(dá)依爾（Sissa Ben Dahir）發(fā)明了國際象棋，并將它呈獻(xiàn)給了舍罕王。為此，國王想要給他獎賞。聰明的宰相提出了一個聽上去十分謙遜的請求。“陛下，”他跪在國王面前說，“請在這張棋盤的第一個格子上放一粒小麥，第二個格子放兩粒，第三個格子四粒，第四個格子八粒。每一個格子上的小麥數(shù)量都是前一個格子上的兩倍，就像這樣填滿64個棋格。陛下，這就是我向您請求的賞賜。”

“噢，我忠實的臣子，你要的并不多啊。”國王贊賞道。國際象棋真是個神奇的游戲，一想到給游戲的發(fā)明者許下了慷慨的承諾，卻又無須為此花費太多，國王就不禁竊喜。“你一定會得償所愿的。”他命人將一袋小麥送至他的王座旁。

開始清點麥粒了。先是在第一個格子上放1粒，第二個格子2粒，第三個格子4粒……還沒到放第20個格子，一整袋小麥就用完了。國王命人拿來了更多袋小麥，但是裝滿每一個格子的麥粒數(shù)目都在飛速增長。很快，國王意識到，哪怕用光全印度的小麥，自己也無法兌現(xiàn)這個承諾。因為要裝滿整個棋盤，一共需要18,446,744,073,709,551,615粒小麥[8]！

圖2 精通數(shù)學(xué)的宰相西薩·班·達(dá)依爾正在向印度的舍罕王請求賞賜。

這個數(shù)字雖然沒有宇宙中的原子總數(shù)那么大，但也相當(dāng)大了。假定1蒲式耳[9]小麥大約有5,000,000粒，要滿足西薩·班·達(dá)依爾的請求，就需要4萬億蒲式耳的小麥。考慮到全世界的小麥平均年產(chǎn)量約為2,000,000,000蒲式耳，這位宰相請求賞賜給他的麥粒，大約是全世界2000年生產(chǎn)的小麥總額！

因而，舍罕王很快就會發(fā)現(xiàn)自己欠了宰相一大筆債。他要么背上這筆永遠(yuǎn)也還不完的債務(wù)，要么直接砍下宰相的腦袋。我懷疑他很有可能選擇了后一種。

另一個和大數(shù)有關(guān)的故事也來自印度，是一個有關(guān)“世界末日”的問題。熱愛數(shù)學(xué)的歷史學(xué)家W. W. R．鮑爾（W. W. R. Ball）為我們講述了這個故事[10]：

“貝拿勒斯大神廟里，有一塊標(biāo)記為世界中心的穹頂。下面放置著一塊銅板，板上固定著3根金剛石針，每根針約1腕尺高（1腕尺大約是20英寸），和蜜蜂的軀干差不多粗。神在創(chuàng)世之時，在其中一根針上串64個純金的圓盤，最大的一塊放在銅板上，其他圓盤依次疊放在上面，盤身越來越小。這就是梵天之塔。無論晝夜，當(dāng)值的僧侶永不停歇地把圓盤從其中一根金剛針移到另一根上面。依據(jù)梵天亙古不變的永恒法則，僧侶每次只能移動一個圓盤，而且他必須把這些圓盤移到石針上，同時不允許較大的圓盤下面出現(xiàn)較小的圓盤。當(dāng)所有64個圓盤從神創(chuàng)世的那根針上完全轉(zhuǎn)移到另一根針上時，塔、神廟、婆羅門……萬事萬物都將碎裂成塵，在霹靂聲中，世界化為烏有。”

圖3描繪了故事中的場景，只是圖中的圓盤數(shù)量要少于64個。你可以自己制作這個益智玩具，就用普通的圓形硬紙板代替金色的圓盤，用長長的鐵釘代替印度傳說中的金剛石針。根據(jù)移動的規(guī)則，我們不難發(fā)現(xiàn)，移動每一個圓盤所需的次數(shù)都比上一個翻了一倍。第一個圓盤只需移動一次，但是接下來每一個圓盤的移動次數(shù)都會呈幾何級數(shù)增長。移動完 64 個圓盤的次數(shù)，就和西薩·班·達(dá)依爾索求的麥子數(shù)量一樣多[11]！

圖3 僧侶在梵天神像前研究“世界末日”問題。需要說明的是，圖上的黃金圓盤數(shù)少于64個（因為在圖上畫不出來那么多個）。

把這座梵天之塔中的64個圓盤全部從一根針轉(zhuǎn)移到另一根上，需要多長的時間？假設(shè)僧侶們不分晝夜、不眠不休地工作，且每一秒鐘就能移動一次。一年大約有31,558,000秒[12]，所以完成這項工作至少需要58萬億年的時間。

如果我們把這個傳說中的“宇宙壽命”和現(xiàn)代科學(xué)的預(yù)測值進(jìn)行比較，無疑是很有意思的。根據(jù)目前的宇宙演化理論，恒星、太陽以及包括地球在內(nèi)的行星是在大約30億年前，由無定型的物質(zhì)形成的。我們還知道，為恒星——特別是為我們的太陽——提供能量的“原子燃料”可以再維持100億年或150億年（參見第十一章“創(chuàng)世時代”）。因此，宇宙的總壽命肯定短于200億年，而不是像印度傳說中預(yù)計的那樣有58萬億年那么長！不過，這畢竟只是一個傳說！

在迄今所有的文獻(xiàn)中提到的最大數(shù)字，大概出自著名的“印刷行數(shù)問題”。假設(shè)我們能夠制造出一臺可持續(xù)工作的印刷機(jī)，這臺機(jī)器打印出的每一行內(nèi)容，都是自動選擇出來的字母和其他符號的不同組合。這樣一臺機(jī)器內(nèi)裝有多個獨立的輪盤，每個輪盤的邊緣刻有整套字母和符號。這些輪盤組合起來的運動方式，就像汽車的里程表那樣：如果一個輪盤轉(zhuǎn)滿一圈，旁邊的輪盤就會前進(jìn)一位。每移動一次，紙張就會經(jīng)由滾筒被自動送入機(jī)器，印出字條。制造這樣一臺機(jī)器并不難，圖4就是它的示例圖。

圖4 一臺自動印刷機(jī)剛剛準(zhǔn)確地印出莎士比亞的某行詩句。

現(xiàn)在我們啟動機(jī)器，來看看它印出來的無窮無盡的字條上面寫了些什么。絕大多數(shù)字條上的文字毫無意義，比如說：

“aaaaaaaaaaa...”

或是

“boobooboobooboo...”

再或者是：

“zawkporpkossscilm...”

不過既然這臺機(jī)器印出了所有字母和符號組合，在一大堆連不成句的字符中，確實也能找到有意義的句子。其中有些句子的語義是無效的，比如：

“horse has six legs and...”（馬有六條腿和……）

或是

“I like apples cooked in terpentin...”（我喜歡松節(jié)油煎過的蘋果……）

如果繼續(xù)找下去，我們還能找到莎士比亞寫過的每一行句子，甚至是那些被他扔進(jìn)垃圾桶里的句子！

實際上，這臺機(jī)器會印出人們自學(xué)會寫作以來所寫下的所有東西：每一行散文、詩歌，每一篇報紙社論、廣告，每一卷冗長的科學(xué)論文，每一封情書，還有寫給送奶工的每一張便條……

此外，這臺機(jī)器還會印出一切即將出版的作品。從滾筒印刷的紙卷上，我們可以找到30世紀(jì)的詩歌、未來的科學(xué)發(fā)現(xiàn)、美國第500屆國會的演講稿，還有2344年星際交通事故的記錄單。還會有數(shù)不清的短篇、長篇小說，這些都是人類從未寫出來的作品，出版商只要在地下室里放上這樣一臺機(jī)器，從一大堆垃圾中找出好的作品，拿來編輯就可以了——其實他們現(xiàn)在也是這么做的。

人們?yōu)槭裁礇]有這么做呢？

好吧，讓我們來算算這臺機(jī)器要打印多少行，才能把所有可能的字母和符號的組合全都呈現(xiàn)出來。

英語字母表里有26個字母，10個數(shù)字（0,1,2, ……,9），還有14個常用符號（空格、句號、逗號、冒號、分號、問號、感嘆號、破折號、連字符、引號、省略號、小括號、中括號、大括號），加起來共有50個符號。假設(shè)這臺機(jī)器有65個輪盤，也就是說每一行可以印65個字符，那么每一行印刷出來的第一個字符就有50種可能性，對應(yīng)其中一種可能性，第二個字符也有50種可能性，這樣前兩個字符就有50×50=2500種可能性。在前兩個字符選定的情況下，第三個字符又可以在50種符號中任意選擇，依此類推。每一行可能出現(xiàn)的排列組合的總數(shù)可以記為：次，或是5065次，這個數(shù)近似等于10110。

想要感受這個數(shù)字到底有多大，不妨假設(shè)宇宙中的每個原子都是這樣一臺印刷機(jī)，這樣一來，我們就有3×1074臺機(jī)器在同時運轉(zhuǎn)。哪怕所有這些機(jī)器從宇宙誕生之初（即30億年前，或1017秒前）就以原子振動的頻率（每秒1015次）進(jìn)行印刷。那么，到現(xiàn)在為止，我們能夠印出來的行數(shù)也只有：

3×1074×1017×1015=3×10106

這不過是所有可能性的三千分之一左右。

沒錯，就算是從這些自動印刷的材料中挑些東西出來，都得花上相當(dāng)長的時間！