2．神秘的

我們現(xiàn)在來做幾道更難的算術(shù)題。2乘2等于4,3乘3等于9,4乘4等于16,5乘5等于25。因此，4的平方根是2,9的平方根是3,16的平方根是4, 25的平方根是5[21]。

那么，一個負(fù)數(shù)也有平方根嗎？類似 -5或 -1這樣的表達(dá)式究竟是什么含義？

如果你試圖以理性的思維方式來揣摩這個問題，無疑會得出結(jié)論：上述這些表達(dá)式毫無意義。在此不妨引用12世紀(jì)數(shù)學(xué)家婆什迦羅（Brahmin Bhaskara）的話：“正數(shù)的平方和負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)。因此一個正數(shù)的平方根有兩個，一正一負(fù)；負(fù)數(shù)沒有平方根，因?yàn)闆]有數(shù)的平方是負(fù)數(shù)。”

不過數(shù)學(xué)家們都是些固執(zhí)的家伙，如果公式中不斷冒出一些看似沒有意義的東西，那么他們就會想方設(shè)法賦予它們意義。負(fù)數(shù)平方根的身影的確無處不在，無論是以前占用數(shù)學(xué)家精力的簡單算術(shù)里，還是在20世紀(jì)相對論框架下的時空統(tǒng)一的問題里，它總是會出其不意地冒出來。

第一個把看似無意義的負(fù)數(shù)平方根寫進(jìn)方程，并記在紙上的勇者，是16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Cardano）。在討論能否把10拆分成兩個乘積等于40的部分時，他表示，盡管這個問題得不出任何有理數(shù)解，但人們還是可以把答案寫成兩個不可能存在的數(shù)學(xué)表達(dá)式：和[22]。

雖然卡爾達(dá)諾認(rèn)為這些東西毫無意義，是虛構(gòu)的、想象的，但他還是把它們寫了下來。

盡管負(fù)數(shù)的平方根是假想出來的，但既然有人寫出了這些數(shù)，那么把10拆分成乘積等于40的兩部分，這個問題也隨之得以解答。卡爾達(dá)諾的破冰之旅，讓負(fù)數(shù)平方根得名“虛數(shù)”（imaginary numbers）——卡爾達(dá)諾使用的修飾詞，隨后卻被眾多數(shù)學(xué)家越發(fā)頻繁地使用。不過他們在使用虛數(shù)時，總是有所顧慮，也會找各種借口給自己開脫。

我們在德國著名數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）出版于1770年的代數(shù)著作中，發(fā)現(xiàn)了大量虛數(shù)的應(yīng)用，不過他也在附言做了解釋：“所有像、這樣的表達(dá)式都是不存在的，或稱之為虛數(shù)。因?yàn)樗鼈兇砹素?fù)數(shù)的平方根，這些數(shù)既不是零，也不是大于或小于零的數(shù)，所以說它們是虛構(gòu)的，是不存在的。”

盡管伴有這些說詞，虛數(shù)還是迅速成長為和分?jǐn)?shù)、根式一樣必不可少的數(shù)學(xué)元素。如今，如果不能使用它，幾乎是舉步維艱。

可以說，虛數(shù)家族是正常數(shù)字（我們稱之為實(shí)數(shù)）虛構(gòu)的鏡像。就像人們以1為基礎(chǔ)來構(gòu)造所有實(shí)數(shù)一樣，我們也可以將（通常記為i）作為虛數(shù)單位，構(gòu)造出所有虛數(shù)。

不難看出，,，諸如此類。這樣一來，每一個普通的實(shí)數(shù)都會有與之對應(yīng)的虛數(shù)。人們還可以把實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，組成一個獨(dú)立的表達(dá)式，如，這種混合的表達(dá)式通常被稱為復(fù)數(shù)。

自成功踏入數(shù)學(xué)王國的兩個世紀(jì)以來，虛數(shù)身上一直籠罩著一層神秘且不可信的面紗，直至兩位業(yè)余數(shù)學(xué)家為它賦予了簡單的幾何學(xué)解釋之后，這層面紗方才褪去。這兩個人就是挪威的測繪員韋塞爾（Wessel）和巴黎的會計(jì)師羅伯特·阿爾岡（Robert Argand）。

根據(jù)二人的解釋，像3+4i這樣的復(fù)數(shù)就可以用圖10來表示。其中，3對應(yīng)于水平方向上的坐標(biāo)，即橫坐標(biāo)，4對應(yīng)于垂直方向上的坐標(biāo)，即縱坐標(biāo)。

事實(shí)上，所有實(shí)數(shù)（無論正負(fù)）都可以表示為橫軸上的點(diǎn)，而所有的純虛數(shù)都可以表示為縱軸上的點(diǎn)。比如說，當(dāng)我們把橫軸上代表實(shí)數(shù)3的點(diǎn)乘以虛數(shù)單位i，就會得到純虛數(shù)3i，而它必然會落在縱軸上。因此，從幾何學(xué)的角度來講，用一個數(shù)乘以i，相當(dāng)于讓它對應(yīng)的點(diǎn)在坐標(biāo)軸內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)90度。（見圖10）

圖10 用坐標(biāo)表示數(shù)。

如果我們把3i再乘以i，就必須將它再逆時針轉(zhuǎn)90度，這樣得到的點(diǎn)就會重新回到橫軸上，但它如今位于負(fù)數(shù)那一側(cè)。因此，

3i×i=3×i2=-3，

或 i2=-1。

如此一來，“i的平方等于-1”這種表述，就比“旋轉(zhuǎn)兩個90度（兩次都是逆時針旋轉(zhuǎn)），轉(zhuǎn)到相反的方向”要好理解得多。

當(dāng)然，這個規(guī)則同樣適用于復(fù)數(shù)，3+4i乘以i，就會得到：

（3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i

從圖10中可以立刻看到，-4+3i剛好是3+4i這個點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90度得來的。同理，一個數(shù)乘以-i就等于它繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)了90度，這個也可以從圖10上看出來。

如果你依然覺得虛數(shù)有些神秘難懂，或許可以通過下面這個簡單實(shí)用的問題更深入地了解它。

一個年輕的冒險家在曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)了一張羊皮紙，上面記錄著一段文字，講述了在某地埋藏著寶藏：

“航行至北緯_____，西經(jīng)_____[23]，你會發(fā)現(xiàn)一座荒島。島的北岸有一大片開闊的草地，上面立著一棵孤零零的橡樹和一棵孤零零的松樹[24]。在那里，你還會看見一個古老的絞刑架，我們曾在那里絞死過叛徒。你從絞刑架出發(fā)，數(shù)著步子走到那棵橡樹旁。走到橡樹的位置向右轉(zhuǎn)一個直角，然后再走同樣的步數(shù)，在這個位置釘一根樁子。現(xiàn)在，回到絞刑架處，數(shù)著步子走到松樹旁。在松樹那里，向左轉(zhuǎn)一個直角，走同樣的步數(shù)，再把另一個樁子釘在地上。寶藏就在兩根樁子的正中間，挖出即是?！?/p>

羊皮紙上的指令清晰明確。于是，我們的這位年輕人租了一艘船，駛向南方的海域。他找到了那座島、那塊地、那棵橡樹，還有那棵松樹，但令他悲痛欲絕的是，絞刑架早已不見。那份藏寶圖年代久遠(yuǎn)，由于風(fēng)吹日曬雨淋，木頭早已腐爛在泥土里，就連它原本的所在地也沒留下任何痕跡。

這個富有冒險精神的年輕人陷入了絕望，他憤怒地在島嶼上到處亂挖。但是，所有的努力都徒勞無功，因?yàn)檫@座島實(shí)在是太大了！最終，年輕人空手而歸，而那些寶藏也許還原封不動地埋在島上！

真是個悲慘的故事。不過，更悲慘的地方在于，但凡這個小伙子了解一些數(shù)學(xué)，尤其是了解虛數(shù)應(yīng)用的話，他完全有可能找到寶藏?，F(xiàn)在，就讓我們來為他尋找到圖上的寶藏吧！可惜的是，這對他而言早已于事無補(bǔ)了。

圖11 虛數(shù)尋寶之旅。

我們把整座島想象成一個復(fù)數(shù)平面。穿過兩棵樹的位置先作一條軸線（實(shí)軸），再以兩棵樹的中點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直作另外一條軸線（虛軸），就像圖11中畫的那樣。我們把兩棵樹距離的1/2作為實(shí)軸的單位長度，因此我們可以說，橡樹在實(shí)軸上的坐標(biāo)是-1，松樹的坐標(biāo)是+1。因?yàn)椴恢澜g刑架在哪里，所以我們用希臘文字母Γ（大寫的γ）表示它的位置，因?yàn)樗瓷先ゾ拖袷且粋€絞刑架。由于絞刑架不一定落在兩條軸線上，所以我們必然要把?？醋魇且粋€復(fù)數(shù)：Γ=a+bi，其中a和b的含義參照圖11所示。

現(xiàn)在，我們按照上面所說的虛數(shù)乘法規(guī)則，做一些簡單的計(jì)算。如果絞刑架的位置是Γ，橡樹的位置是-1，那么它們之間的距離和方向可以表示為（-1）-Γ，即-（1+Γ）。同理可得，絞刑架和松樹之間的距離是1-Γ。根據(jù)虛數(shù)乘法的法則，為了將這兩段距離分別按順時針（向右）和逆時針（向左）轉(zhuǎn)一個直角，我們需要將這兩個距離分別乘以-i和i，以此求出兩根樁子的位置：

第一根樁子：（-i）[-（1+Γ）]-1=i（1+Γ）-1

第二根樁子：（+i）（1-Γ）+1=i（1-Γ）+1

既然寶藏是在兩根樁子的中間，那么我們必須找出上述兩個復(fù)數(shù)之和的一半，從而得到：

現(xiàn)在可以看到，用Γ表示的絞刑架位置在計(jì)算過程中被消掉了，不管絞刑架在哪里，寶藏一定在+i點(diǎn)。

所以說，如果我們的年輕冒險家會做這道簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，他就不需要把整個島底朝天地挖上一遍，直接在圖11畫叉的位置挖掘就可以找到寶藏。

如果你仍然不相信不知道絞刑架的位置就能找到寶藏，那么你可以在一張紙上標(biāo)出兩棵樹的位置，隨意假設(shè)幾個點(diǎn)當(dāng)作絞刑架，再按照羊皮紙上的信息尋找寶藏。最后，你總是會來到相同的位置，而這個點(diǎn)就在復(fù)數(shù)平面+i所在的地方！

利用-1的平方根這個虛數(shù)，我們還能找到另一個不為人知的寶藏，那就是：我們?nèi)粘Ｉ畹娜S空間可以和時間組合在一起，構(gòu)成一個符合四維幾何學(xué)規(guī)律的四維圖景！這個問題，我們會在接下來幾章討論阿爾伯特·愛因斯坦的思想及相對論時再做展開。

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[1] 為了佐證這一點(diǎn)，我再講一個故事：一群匈牙利貴族在阿爾卑斯山脈登山時迷了路，其中有一個人拿出了地圖，仔細(xì)鉆研了好久，興奮地大叫：“我知道我們在哪兒了！”“在哪兒?。俊薄翱匆娔沁叺哪亲笊搅藛?？我們現(xiàn)在就在它的山頂上?！?/p>

[2] 這個名詞從舊荷蘭語衍生而來，歷史上曾用來指代“科伊科伊人”。因含有冒犯性，現(xiàn)已不建議使用。——編者注

[3] 以目前最大的望遠(yuǎn)鏡所能探測到的全部宇宙空間計(jì)算。

[4] 阿基米德記數(shù)法的每一階都是前一階的一億倍?！g注

[5] 希臘單位腳尺（Stadium）相當(dāng)于606英尺6英寸，或188米。（Stadium這個詞的另一個含義是體育場，傳說古希臘建造體育場時，以赫拉克勒斯的腳來丈量，足足有600腳，因此得名?！g注）

[6] 用我們現(xiàn)在熟悉的記數(shù)方法表示，這個數(shù)字是：一千萬 第二階單位 第三階單位 第四階單位（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×第五階單位 第六階單位 第七階單位 第八階單位（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000），或是簡單記為1063（即1后面63個0）。

[7] 根據(jù)2018年的觀測數(shù)據(jù)，宇宙的觀測半徑在470億光年左右，折合成英制約為3×1023英里?！g注

[8] 聰明的宰相要求的麥粒數(shù)可以寫作：1+2+22+23+24+……+262+263。代數(shù)里將一系列以相同倍數(shù)（這個故事中的倍數(shù)是2）依次遞增的數(shù)字叫作等比數(shù)列?？梢宰C明，等比數(shù)列中所有數(shù)字之和，等于公比（此處是2）的項(xiàng)數(shù)次冪（此處是64）減去第一項(xiàng)（此處是1），再用這個結(jié)果除以公比減去1而得到的數(shù)?？梢员硎緸椋?img alt="" class="kindle-cn-inline-image" src="https://epubservercos.yuewen.com/5B6C68/21387553308877806/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0018_0002.jpg?sign=1751049834-xAxbermJodvrASdSOXKTldS0LHP2QDYs-0-90f54811f93f90535e911ebcd3969370">，得出結(jié)果就是18,446,744,073,709,551,615。

[9] 蒲式耳是歐美通用的容量單位（常用來計(jì)量農(nóng)作物），美制的1蒲式耳約等于35.2升。——譯注

[10] 摘自W. W. R．鮑爾，《數(shù)學(xué)游戲與欣賞》（Mathematical Recreations and Essays，麥克米倫出版公司，紐約，1939）。

[11] 如果我們只有7個圓盤，需要移動的次數(shù)就是：1+2+22+23+……26，或是27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果移動的速度足夠快，且中間沒有犯錯，完成這項(xiàng)任務(wù)大概需要一個鐘頭。如果是64個圓盤，所需的移動總次數(shù)就是：264-1=18,446,744,073,709,551,615次，這與西薩·班·達(dá)依爾要求的麥子數(shù)目一樣多。

[12] 作者似乎是將閏年多出的天數(shù)折合進(jìn)了每一年，一年取365.25天作為近似值?！g注

[13] 這段內(nèi)容從未正式發(fā)表過，希爾伯特甚至沒有將它寫成文字，但它流傳甚廣。引自R．柯朗，《大衛(wèi)·希爾伯特軼事全集》。

[14] 因?yàn)槲覀兗俣ň€段的長度是1，所以這些小數(shù)全都比1小。

[15] 比如0.735106822548312……這個數(shù)我們可以拆分為0.71853……、0.30241……和0.56282……。

[16] 埃拉托色尼（約前275—前193）古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、地理學(xué)家、歷史學(xué)家、詩人、天文學(xué)家。

[17] 中國著名數(shù)學(xué)家陳景潤（1933—1996）于1973年發(fā)表的著名論文《大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和》（即“1+2”），把幾百年來人們未曾解決的哥德巴赫猜想的證明推進(jìn)了很大的一步。

[18] 簡單來說，一個數(shù)的自然對數(shù)近似等于它的常用對數(shù)乘以2.3026。

[19] 小學(xué)幾何課堂里的畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理——譯者注）為其提供了證明：32+42=52。

[20] 利用丟番圖的普遍規(guī)則（找到兩個數(shù)a和b，滿足2ab是一個完全平方數(shù)，然后令, , ，用簡單的代數(shù)計(jì)算便可證明），我們能夠創(chuàng)建一個滿足條件的表格，開頭幾行如下：32+42=52（埃及三角形） 52+122=132 62+82=102 72+242=252 82+152=172 92+122=152 92+402=412 102+242=262

[21] 其他數(shù)字的平方根也不難計(jì)算，例如……，因?yàn)椋?.236……）×（2.236……）=5.000……;=2.702，因?yàn)椋?.702……）×（2.702……）=7.300……。

[22] 證明如下：，且。

[23] 為避免泄露天機(jī)，此處隱去了文字里的經(jīng)緯度。

[24] 出于相同的考慮，樹的種類也做了調(diào)整。一座藏有寶藏的熱帶島嶼上顯然應(yīng)該生長著許多其他類型的樹。