1.5　地震波的數學物理描述

1.5.1　體波

1.5.1.1　三維波動方程的建立

本節限于討論彈性地震波。這是因為在地震這種迅速變化、持續僅數十秒的動力作用下，地殼中的巖石一般表現為彈性，其黏性或流變性一般不予考慮（或通過能量耗損的途徑進行修正）。波動是運動在介質中的傳播，介質中任何一點在任意時刻應滿足彈性力學幾何條件、應力-應變條件（也稱為本構關系）及動力平衡條件。

如圖1.5.1所示，在彈性力學中，彈性體內任一點的平動位移可用其在直角坐標x、y、z軸上的3個投影u、v、w來描述，并稱u、v、w為該點的平動位移分量。彈性體內任一點的轉角可用其旋轉向量在x、y、z軸上的3個投影θx、θy、θz來描述，并稱θx、θy、θz為該點的旋轉角分量，其表達式為

例如，θz表示彈性體在某點繞z軸的旋轉；表示x方向的線段繞z軸的轉角（逆

時針旋轉為正）；表示y方向的線段繞z軸的轉角（順時針旋轉為負）；θz表示這兩個旋轉角的平均值。

根據剪應力互等關系，彈性體內任一點的應力可用6個獨立應力分量σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx進行描述。相應地，該點的彈性應變可用6個獨立應變分量εx、εy、εz、γxy、γyz、γzx來表示。

對于動力問題，彈性體內各點在各時刻的位移、應力與應變狀態不一定相同，因此它們都是坐標x、y、z及時間t的函數。

（1）應變分量與位移分量間的幾何關系。當只討論微小應變和位移時，可不計有關的高階微量，幾何方程可簡化為

（2）對連續、均質、各向同性的完全彈性體，根據廣義胡克（Hook）定律，應力和應變要滿足的物理關系為＝

式中：E為楊氏彈性模量；υ為泊松比；G為剪切彈性模量。G與E及υ的關系為G

（3）在靜力作用下，根據彈性力學，彈性體內的任一點應滿足如下靜態平衡方程

式中：X、Y、Z為體力在x、y、z軸上的3個投影，即體力分量。

在動力作用下，除了考慮應力和體力外，還須考慮彈性體由于具有加速度而應當施加的慣性力。加速度在x、y、z軸上的3個投影分量為根據達朗貝爾原理，在彈性體的單位體積上應施加的慣性力分量為其中ρ為彈性體的質量密度。將這些慣性力分量分別疊加于體力分量X、Y、Z，則靜力平衡微分方程（1.5.4）變成如下的動力平衡微分方程

定義體積應變（或稱體積脹縮）＝εx＋εy＋εz，并引入拉梅（Lame）常量λ

由式（1.5.3），用應變表示應力為

體積應變與平均應力 通過體積彈性模量K有如下關系

將式（1.5.7）代入式（1.5.5），并忽略體力分量X、Y、Z（體力分量及其他靜荷載所引起的作用效應，可作為地震前的結構受力初始狀態，在單獨考察地震動力影響時不予考慮），有式（1.5.10）即為均勻、各向同性、彈性介質的運動方程——納維（Navier）方程。需要說明的是，式（1.5.10）描述的是平動運動方程。對于轉動運動方程，由剪應力互等定理可自動滿足而不必專門進行研究。

式中2為拉普拉斯算子，可以表示為

1.5.1.2　橫波

為討論無限介質中波的性質，先假設介質中質點位移分量為u＝uS、v＝vS及w＝wS，且由這些位移分量構成的體積應變為零，即將這些關系代入運動方程（1.5.10），可得

因而

現定義

式（1.5.13）表示以速度c進行傳播的位移波（下面還要進一步說明）。因體積應變＝0，因此，與之相應的波可稱為“不引起體積脹縮的波”或等體積波。又由于這種波的位移雖使＝0，但各旋轉分量θx、θy、θz并不為零，故又稱為畸變波。

若進一步設波動沿z向傳播，且僅產生水平x向的位移（同樣，也可設僅產生水平y向的位移），如圖1.5.2所示，此時位移僅隨位置坐標z和時間坐標t而變，則各位移分量可以寫為

可得

將式（1.5.15）代入運動方程（1.5.13），則其中的第二及第三式成為恒等式，而第一式成為

式（1.5.17）表明質點振動位移u垂直于波的傳播方向，我們稱這樣的波為橫向平面波，簡稱為橫波（圖1.2.1），在工程上還稱它為次至波或S波。定義cS＝c＝稱為橫波的傳播速度。

式（1.5.17）表示波動，通過數學初等變換的方法求解式（1.5.17）。首先引入比較容易積分的形式，進行如下初等變換：＝f1（ξ），其中，f1（ξ）是ξ的任意可微函數，再將式（1.5.24）對ξ積分得

利用復合函數求微商的法則：

可得

將式（1.5.22）和式（1.5.23）代入式（1.5.17），有

將式（1.5.24）對η進行積分，得

式（1.5.25）中函數f和g是任意二次連續可微函數，f（z-ct）＝其特定形式需由邊界條件和初始條件確定。

下面分析式（1.5.25）的物理意義。先考察式（1.5.25）中的第一項：

對于某一特定的時刻t，式（1.5.26）是坐標z的函數。在經過時間間隔Δt之后，函數f的自變量為z-c（t＋Δt），如果坐標z增加Δz＝cΔt，則函數f仍保持不變。即

這表明t時刻在z處的擾動值f到了（t＋Δt）時刻移到z＋Δz處，值f保持不變。由此可見，式（1.5.26）代表了一個以速度c沿z正向傳播，但質點位移u1沿x向振動的平面波。波速c與質點速度u1/t是完全不同的概念，波速c取決于介質特性，而質點速度u1/t則取決于應力狀態。

同理可知，式（1.5.25）中的第二項代表了一個以速度c沿z軸負向傳播的波。

我們來看沿z軸負向傳播的橫波u2＝g（z＋ct），此時v＝0、w＝0。將它們代入式（1.5.1）、式（1.5.2）和式（1.5.7），發現：

1）僅繞y軸的轉角不等于零，其他轉角θx、θz都為零。

2）僅剪應變不等于零，其他應變分量εx、εy、εz、γxy及γyz均為零。

3）僅剪應力不等于零，其他應力分量σx、σy、σz、τxy及τyz均為零。即彈性體內的每一點都始終處于純剪切狀態，如圖1.5.3所示，所以這種波也被稱為剪切波。我們把質點在豎直平面內振動的波（u≠0、w＝0、v＝0）稱為SV波。

若假設僅產生y方向的位移（圖1.5.2），即v≠0、u＝0、w＝0，我們稱這種質點在水平面內振動的波為SH波。

式（1.5.25）中的自變量z-ct或z＋ct是空間坐標z和時間t的特殊組合，稱為波動自變量，它揭示了波動現象的本質特征：波動以有限速度c傳播，并保持組合z-ct或z＋ct為常數。只要一個物理量可以表示成波動自變量的函數，那么該量的振動和波形就以波速c傳播。由于波動自變量僅用于規定時間和空間坐標之間的關系，波動自變量也可寫成其他形式：t±z/c，z/c±t，等。

考察波動方程式（1.5.17），它有一個重要性質，那就是如果該方程有任意一個特解：

則u0對于z、t中任一變數的偏導數也是方程（1.5.17）的特解。證明如下。

用ζ代表z或t，則總可以有關系式：

既然u0是波動方程式（1.5.17）的特解，則由該方程有

將式（1.5.31）的兩邊對ζ求導，得到

將式（1.5.29）和式（1.5.30）代入式（1.5.32），即得

可見確實是波動方程（1.5.17）的特解。因為彈性體中的變形分量和應力分量以及質點的速度分量都可以用位移分量對坐標或時間的偏導數來表示，所以由波動方程的上述特性可見，如果彈性體的位移分量滿足某一波動方程，而相應的傳播速度為則其變形分量、應力分量和質點速度分量也將滿足這一波動方程，而且傳播速度也是c。這就表明，在彈性體中，變形、應力及質點速度都將和位移以相同的方式按照速度c進行傳播。

1.5.1.3　縱波

下面再討論無限介質中的另一種波。設介質中質點位移分量為u＝uP、v＝vP及w＝wP，且這些位移分量構成的旋轉分量θx、θy、θz為零，即

此時體積應變因此，可得再

將由（1.5.34）的后兩式所得的關系代入上式，得

根據相同的推導，還可得

再將u＝uP、v＝vP、w＝wP及式（1.5.35）、式（1.5.36）代入納維方程（1.5.10），可得

將式（1.5.37）與式（1.5.13）相比，可看出位移分量uP、vP及wP在無限介質中以cP的速度傳播：

前已說明，與這種位移分量相應的各旋轉分量θx、θy、θz為零，這種波可稱為無旋波。又由于此種波引起的粒子位移雖使θx、θy、θz為零，但體積脹縮并不為零，因此又可稱為脹縮波。

對于沿z向傳播的平面波，若僅產生z向位移，則各位移分量可以寫為

可得

代入納維方程（1.5.10），則其中的第一及第二式成為恒等式，而第三式成為

式（1.5.41）的解為

進行與上節相似的分析，可知w1和w2分別表示沿＋z軸和-z軸傳播的兩個無旋波，傳播速度都為cP。將質點振動方向平行于波傳播方向的平面波稱為縱向平面波，簡稱為縱波（圖1.2.1上圖）。在工程上還稱它為初至波或P波。

下面分析沿-z軸向傳播的縱波w2＝g（z＋cPt）。此時u＝0，v＝0。將它們代入式（1.5.1）、式（1.5.2）、式（1.5.7），發現：

1）轉角θx、θy、θz都為零。

2）僅正應變不等于零，其他應變分量εx、 εy、γxy、γyz、γzx均為零。

3）正應力都不等于零，σx＝σy＝λεz，σz＝（λ＋2G）εz，而剪應力分量τxy、τyz及τzx均為零，彈性體內的每一點都始終處于簡單拉-壓狀態，如圖1.5.4所示，所以這種波也被稱為拉壓波。綜上所述，無限介質中橫波及縱波的傳播速度僅與介質的彈性性質有關：

橫波波速cS與縱波波速cP之比為

由于介質的泊松比υ的取值范圍為0～0.5，因此，式（1.5.44）的比值總小于1（例如，當υ＝0.25，cS＝＝0.58cP），也就是橫波波速總小于縱波速度。

1.5.1.4　二維波動方程

當彈性體、外荷載及初邊值條件沿某軸（例如y軸）均無變化時，波動問題中的場變量僅僅依賴于另兩個空間變量x和z，稱這類問題為二維波動問題，在笛卡爾坐標系中又稱為平面波動問題，其波動方程由式（1.5.10）導得，為

式中為平面應變問題的體積應變：

2為平面問題的拉普拉斯算子：

由式（1.5.45）及圖1.5.2可知，在豎向xoz面內的位移與垂直面的位移是相互獨立的（或稱為解耦的）。此時，將在豎向平面內的運動稱為平面內運動，將垂直于xoz面的運動稱為平面外運動、反平面運動或出平面運動。

對于平面內運動，由式（1.5.45）前兩式求得位移后，據式（1.5.1）、式（1.5.2）和式（1.5.7）則旋轉分量和應力分量可由以下關系求得

對于平面外運動，由式（1.5.45）第三式求得位移后，據式（1.5.1）、式（1.5.2）和式（1.5.7）則旋轉分量和應力分量可由以下關系求得

由式（1.5.48a）和式（1.5.48b）可見，平面內運動既存在P波，也存在SV波，而平面外運動僅存在SH波。

若考察點距離震源較近或震源不能近似為點源，則彈性波動就不能看成平面波，可理想化為球面波、柱面波，如圖1.5.5所示。此時的波動問題適于在球坐標系和柱坐標系中表述。限于篇幅此處不再介紹，可參考有關書籍及文獻。

1.5.2　面波

很顯然，地球不是無限體，而是一個外表面應力為零的大球。對于近地表地震工程問題，地球常被理想化為具有平面自由地表的半無限介質，球面曲率可以忽略不計。前已述及，面波在近地表距離震中較遠的位置發育，振幅較大，且隨距離的衰減比體波要慢得多，對建筑物的破壞有時比較嚴重，因此面波問題很重要。

在地震工程中，有兩種類型的面波最為重要，分別為瑞雷波（本節簡稱R波）和洛夫波（簡稱L波）。瑞雷波存在于均質彈性半空間，而洛夫波的產生需要地表存在一軟覆蓋層（其剪切波速低于下層介質的剪切波速）。除以上兩種面波之外，還存在其他類型的面波，但從地震工程的觀點來看，這些面波并不重要故而少有研究。

本節首先介紹瑞雷波，關于洛夫波的介紹見1.5.2.2節。

1.5.2.1　瑞雷波

對于均質各向同性彈性半空間，在研究其波動特性時，須將波動方程與自由表面的邊界條件結合起來討論。如圖1.5.6所示，水平xoy面為自由地表面，＋z指向地球深處。

現討論沿x向傳播的平面波，介質質點的運動在豎直xoz面內（與y無關）。這種情況顯然是一種平面應變問題。因此，波動方程滿足式（1.5.45）的前兩式。

在地表（xoy面），要求法向應力及切向應力為零：

為方便求解式（1.5.45）前兩式及式（1.5.49）所表示的邊值問題，常將待求的位移分量u及w用另外兩個函數φ及ψ來表示：將上兩式展開、組合后可化成下列兩式：

這樣，求解u及w的問題變成了求解函數φ及ψ的問題。此兩種函數稱為勢函數（Potensial function）。引入勢函數后，問題的求解就容易得多。將式（1.5.50）代入式（1.5.46）、式（1.5.48a），得

將式（1.5.50）代入式（1.5.45）前兩式，并利用式（1.5.51）第1式，則波動方程變為

因為

可以看出，式（1.5.53）正是前文討論過的標準波動方程?？梢?，勢函數φ以縱波速度cP在半空間里沿＋x向傳播；勢函數ψ以橫波速度cS在半空間里沿＋x向傳播。

另外，由式（1.5.51）中的前兩式可以看到，引入勢函數φ及ψ后，可將“伸縮”與“旋轉”效應分離開來（φ與體積脹縮有關，性質屬于縱波；ψ與旋轉剪切θy有關，性質屬于橫波）。因此，瑞雷波可看成是P波、S波（實際上是在豎直xoz面內的SV波）滿足邊界條件式（1.5.49）的復合波動。

將式（1.5.51）后兩式代入式（1.5.49），得到以勢函數表示的邊界條件：

這樣，由于引入了勢函數φ及ψ，就可以將原來求解u及w的邊值問題，轉換成求解φ及ψ的邊值問題，即求解式（1.5.53）及式（1.5.54）。

假定瑞雷波動是具有圓頻率ω＝2π/T（T為周期）、波數kR＝2π/LR（LR為波長）的諧波，則傳播波速cR＝LR/T＝ω/kR。

為求解方便，引入復數表示（虛數單位為i，滿足i　2＝-1），采用分離變量法，勢函數φ及ψ可以表示為

式中Dφ（z）、Dψ（z）為幅值，隨深度z變化；根據歐拉公式，有cosω

將式（1.5.55）代入式（1.5.53），可得

上式是兩個相互獨立的二階常系數齊次微分方程，其解可直接寫出

式中Aφ、Aψ及Bφ、Bψ為待定的系數。一般q、s為大于零的實數。式（1.5.57）表示的解應舍掉隨深度z以指數增長的部分。這樣，勢函數具有如下形式：

其中

而Aφ、Aψ及cR為待定的3個未知量。

將式（1.5.58）代入邊界條件式（1.5.54），有

令

則可得

顯然，要使Aφ、Aψ的解為非零解，須使上面關于Aφ、Aψ的方程組的行列式等于零，即

由此可得

上式移項，取平方并消去項，得

上式是關于 的三次方程，從此方程可以解出瑞雷波速c。由式（1.5.44）可

R知，由于所以cR僅與介質泊松比υ有關。cR與橫波波速cS的比值具有以下近似關系：

一般地，對于巖石，當υ＝0.22時，可以求出cR/cS＝0.92。圖1.2.8給出了P波、S波和R波的波速與S波波速的比值隨介質泊松比υ的變化。

求出λ2后，代入式（1.5.62）中的任一式，可求出

將上式代入式（1.5.58），并根據式（1.5.50），可得位移：

上兩式中括號［］中的項描述了位移u（x，z，t）、w（x，z，t）的幅值沿深度z的變化。圖1.5.7給出了當介質泊松比υ取幾個不同的值時，深度z處的位移幅值與地表z＝0處的位移幅值之比隨相對深度z/LR的變化。

從式（1.5.64）可以看出，瑞雷波動下質點水平位移分量u（x，z，t）與豎向位移分量w（x，z，t）在相位上差90°，即當水平位移達到最大（?。┲禃r，豎向位移為零，反之亦然。同時，質點的運動軌跡是一橢圓，長軸在豎向。

另外，從圖1.5.7可看出，半無限介質中質點位移分量從表面起沿深度向下呈指數方式很快衰減；當泊松比v＝0.25時在z＝0.192LR處，水平位移將反向。

地震所產生的瑞雷波過去一度被認為只有當震中距很大（幾百千米）時才產生。現在認識到當震中距約幾十千米時也能產生有重要影響的瑞雷波。在均質介質中，當最小震中距Δ與震源深度h之比滿足下式時，將首次產生瑞雷波：

1.5.2.2　洛夫波

最簡單的多層介質是均質彈性半空間上存在一軟覆蓋層（其剪切波速低于下層介質的剪切波速）。當場地距離震源較遠，地震時在覆蓋層內可能會產生另一種所攜帶能量占主導地位的面波——洛夫波。該波實質上是一種SH波，又稱蛇形波，如圖1.2.7所示。

考慮一厚為H的均質軟表面層覆蓋在均質彈性半空間上，如圖1.5.8所示。假定洛夫波沿水平＋x向傳播，且僅有粒子沿y向（垂直于紙面）的位移分量。該波動為平面外運動或出平面運動，假設具有諧波形式：

式中V（z）為振幅是沿深度z的函數，圓頻率ω＝2π/T，T為周期；波數kL＝2π/LL，LL為波長；傳播波速cL＝LL/T＝ω/kL。

在表面層和半空間內，洛夫波必須滿足平面波動方程式（1.5.45）最后一式，即

以及在地表（z＝0）處剪應力τyz為零、在交界面（z＝H）處位移v（x，z，t）及剪應力τyz（x，z，t）連續的條件。

經推導，振幅具有如下形式：

系數A和B分別表示下行波和上行波的振幅，且

由于半空間深度向下達無限遠，因此B2必須為零（在無限深處，無能量供給或反射以產生上行波）。在自由地表，由剪應力為零，有

式（1.5.69）要求A1＝B1，從而

在交界面z＝H處，需滿足剪應力連續條件：

及位移連續條件：

由式（1.5.67），式（1.5.70）～式（1.5.72），可得位移：其中，cS1和cS2分別是介質1和介質2的剪切波速。式（1.5.73）及圖1.5.9表明，洛夫波位移振幅在覆蓋層中隨深度以正弦規律變化，而在下半空間中隨深度以指數規律衰減。由于這個原因，洛夫波常被描述成在表面覆蓋層所捕獲的SH波。

洛夫波的波速cL由式（1.5.74）解出，其隨頻率ω的變化如圖1.5.10所示。

由圖1.5.10可知，洛夫波波速在半空間中S波波速cS2和覆蓋層中S波波速cS1內變化。這種波速依賴于頻率的性質稱為頻散性，即不同頻率的波（波長也不同）具有不同的傳播速度。

對于均質彈性半空間，瑞雷波波速僅與泊松比有關，不存在頻散性。但在近地表，土和巖石的剛度是隨深度增加的，所以對于實際非均質材料構成的半空間，瑞雷波也具有頻散性。

本節推導了最主要的兩種面波即瑞雷波和洛夫波中介質粒子的最基本位移形態，這是在地震工程中最為重要的特性。

實際工程中，工程場地的巖土介質一般呈多層分布，每層厚度不一，性質也不同。當地震波在介質內傳播時，由于波的反射、透射、繞射、散射（Scattering）等作用，使得波動問題變得極為復雜。