3.3　場地地震反應分析

為了預測某一工程場地的近地表運動以導出設計反應譜，計算該場地土的動應力和動應變以評估液化的危害性，以及確定地震時引起土或擋土結構失穩的動土壓力，需要針對場地進行地震反應分析。場地地震反應分析（Ground response analysis）是巖土地震工程中最為重要和最常遇到的問題之一。

理想情況下，一個完全的場地反應分析應能模擬震源的破裂機制、應力波從震源至工程場地基巖地表的傳播途徑（常達數十千米）、確定覆蓋于基巖之上的土層（通常不足百米）影響近地表運動的情況。但是，斷層破裂的機理非常復雜，從震源到場地的能量轉換與傳播具有很多不確定的因素，采用理想方法在大多數工程應用中并不現實。實際上，常采用基于地震記錄特性的經驗性方法來預測地震動隨距離的衰減關系，再輔以地震危險性分析（Seismic hazard analysis，見4.2節）就可估計特定場地的基巖運動特性。于是，場地反應分析問題就成了在場地基巖運動近似已知的情況下，如何確定覆蓋于基巖之上的土層響應問題。覆蓋土層在確定場地近地表運動特性時起著決定性的作用。

局部土質條件對震害的影響，多年來早已被認識。自1920年，地震學家，特別是近年來巖土地震工程師，發展了局部土質條件對強場地運動影響的一些定量預測方法，可分為解析法和數值法兩大類。

解析法適用于均勻、線彈性體的總應力（不計孔隙水壓力）地震波傳播問題，而且只能在少數幾種形狀規則的場地地形條件下求解，例如剪切層（或剪切梁）法。解析法在研究不同地震波入射條件下場地地震放大效應的變化規律方面比數值法更為方便，而且還可用來校驗部分數值法的精度和收斂性，有重要的實用價值。

數值法可適用于不同復雜地形和地質條件的分析，可考慮強震下土體材料非線性因素及孔隙水壓力的影響，工程中廣為應用的方法有有限元法、有限差分法、邊界元法等。采用這些方法進行場地地震反應分析時，都要具備3個基本條件：確定基底輸入地震動；確定場地土各土層的動力特性（土的動態應力-應變關系）；采用合適的計算方法和程序。

（1）基巖輸入地震動的確定。可采用以下5種方法：

1）直接采用裸露基巖上的已有強震記錄，按具體情況適當調整作為輸入地震動。

2）將在地表獲得的強震記錄反演到基巖上，作為同次地震中沒有獲得記錄的地點的地震輸入波。

3）以深井巖層上強震記錄的統計結果作為輸入地震波。

4）采用滿足平滑設計反應譜的人工地震波。

5）根據地震危險性分析給出的具有一定超越概率的基巖反應譜，來擬合人工地震波。

上述5種地震波輸入方法在工程中均有采用。一般認為方法3）和5）較好，前者較后者更成熟，但不具有發生概率的概念。

在震中區附近，地面運動的垂直方向振動劇烈，且頻率高，水平方向振動較弱；距震中較遠處，垂直方向的振動衰減快，其加速度峰值約為水平方向加速度峰值的1/2～2/3。因此，對地震區的大部分建筑而言，水平方向的振動是引起結構強烈反應和破壞的主要因素，所以輸入基底地震動一般假定為垂直向上的剪切波。

（2）土的動應力-應變關系。常用的模型有：等效黏彈性模型和非線性模型（黏彈塑性模型）。彈性模型、黏彈性模型、彈塑性模型也常有應用。

（3）場地地震反應計算方法。根據場地具體情況，可選用一維、二維及三維場地地震反應分析方法。若基巖以上的覆蓋層是水平分層的，各層土是均勻的，且沿水平方向無限延伸，此時可采用一維場地地震反應分析方法。若需考慮復雜局部地表、地形，例如盆地、山坡、地下基巖面傾斜等不同埋藏地形等的影響，需要采用二維和三維分析方法。

土體的地震反應特性依賴于地震動的幅值及持續時間。強烈地震動，可使土體產生非線性；若持續時間較長，也增加了飽和土或部分飽和土的液化可能性。當土體反應在線彈性階段時，其反應幅值與輸入地震動幅值成正比。另一方面，當土體反應處于非彈性階段時，土體可吸收大幅度地震動所攜帶的大部分能量。因此，在非彈性介質中傳播的大震震動通常具有較低的加速度（與小震相比）和相應于長周期的大位移。這就要求結構系統增加適應這種大位移的能力，特別是對于具有中、長周期的結構，如高層建筑及大跨度橋梁等。

3.3.1　一維場地反應分析

如圖3.3.1所示，首先定義一些常用來描述場地運動（Ground motion）的術語：

自由地表運動（Free surface motion）：覆蓋土層自由表面的運動；

基巖運動（Bedrock motion）：覆蓋土層底部（基巖頂部）的運動；

基巖露頭運動（Bedrock outcropping motion）：當基巖出露于地表，其上點的運動；

巖石露頭運動（Rock outcropping motion）：當上無覆蓋層，基巖頂部的運動。

下面開始介紹最簡單的一維場地反應分析基本理論。

一維場地反應分析基于如下假定：場地土層及基巖面在水平方向無限延伸，且土層的地震反應主要由從基巖豎直入射來的SH波控制。基于這種假設進行的場地分析結果與許多情況下的實測值具有較好地吻合。

3.3.1.1　線性方法

為便于分析，這里引入傳遞函數（Transfer function）的概念。我們將場地土層看作一個系統，地震波從基巖入射的加速度視為系統的輸入，基巖上覆蓋土層的多種反應如位移、速度、加速度、剪應力、剪應變可視為系統的輸出。傳遞函數就是將各種輸出量表示成輸入量的函數。

基巖的運動時間歷程（輸入量），通常可采用快速傅里葉變換（Fast Fouriem Transform，簡寫為FFT）表示為傅里葉級數的形式。將基巖運動輸入量的傅里葉級數的每一項乘以傳遞函數，就可得到覆蓋土層運動反應（輸出量）的傅里葉級數，然后采用逆傅里葉變換就可將以頻率為自變量的反應表示成以時間為變量的形式。可見，傳遞函數決定了基巖運動的哪種頻率分量會被場地覆蓋土層所放大，而哪種頻率分量又會被縮小。關于傅里葉級數和傅里葉變換的介紹，可參見附錄E。

線性方法的關鍵是得到傳遞函數。下面介紹剛性基巖上覆均質無阻尼土、剛性基巖上覆均質有阻尼土、彈性基巖上覆均質有阻尼土、彈性基巖上覆多層有阻尼土等4種情況下的傳遞函數求法，以揭示覆蓋土層對基巖地震動影響的一些重要特性。

（1）剛性基巖上覆均質無阻尼土。首先，考慮一覆蓋在剛性基巖上的均質各向同性、線彈性土層，如圖3.3.2所示。這里，假設從基巖入射的波動為豎直向上傳播的SH波，在上覆土層內引起的水平位移具有簡諧形式，即

式（3.3.1）與式（1.6.15）不同的是，復波數k＊被實波數k（k＝ω/cS）代替，因為這里將土體處理成線彈性材料而不是黏彈性材料。式中的ω表示地震動的圓頻率，A和B分別表示沿-z（向上）和＋z（向下）方向傳播的波引起的巖土顆粒的位移幅值。

在自由面處（z＝0），剪應力、剪應變應為零，即

將式（3.3.1）代入式（3.3.2），并微分，得

要滿足式（3.3.3），需A＝B。于是位移表達式（3.3.1）可表示為

式（3.3.4）表示幅值為2Acoskz的駐波（Standing wave），它是由向上和向下傳播的行波發生相長干涉（Constructive interference）所產生的，沿深度具有固定的波形。

式（3.3.4）可用來定義傳遞函數，以描述在土層中任意兩點的位移幅值之比。選擇土層的頂點和底點，傳遞函數定義為

傳遞函數的模即絕對值，定義為放大因子：

表示自由地表的反應位移與基巖輸入位移幅值之比。因為式（3.3.6）的分母小于或等于1，所以｜F1（ω）｜≥1，即自由地表的位移比基巖位移大。當ωH/cS趨于π/2＋nπ，n＝0，1，2，…，即分母趨于零，則放大因子趨于無窮大，意味著共振的產生（圖3.3.3）。這一非常簡單的模型說明了土層的響應高度依賴于基巖運動的頻率。產生強烈放大的頻率值，取決于土層的幾何（以厚度H表征）及材料特性（以剪切波速cS表征）。

（2）剛性基巖上覆蓋均質有阻尼土。顯然，前述土體位移的無限放大實際上是不可能發生的，因為沒有考慮其固有的能量耗散即阻尼性質。假定土體為黏彈性材料，采用1.6.1節的開爾文-伏格特模型，在SH剪切波作用下的土體水平位移滿足波動方程：

如同式（1.6.15），位移具有如下形式：

式中復波數k＊具有實部k1和虛部k2。

按與前節類似的推導，可得傳遞函數為

與頻率有關的復剪切模量（見1.6.1節）為G＊＝G＋iωη，η＝2Gζ/ω，則復剪切波速可表示為

對于小阻尼比ζ，復波數可以寫成

于是，式（3.3.9）可重寫成

利用等式｜cos（x＋iy）放大因子可表示成

對于小的y，有sinh2　y≈y2，放大因子可近似為

式（3.3.14）表明有小阻尼覆蓋土層對位移的放大也隨著地震動頻率ω而變。當ωH/cS趨于π/2＋nπ時，達到局部最大，但不會達到無限大（因為阻尼比ζ始終大于零，分母總是大于零）。使達到局部最大的一組頻率稱為土層的固有頻率。對不同的阻尼值，放大因子隨頻率ω的變化如圖3.3.4所示。比較圖3.3.3和圖3.3.4，可以看出阻尼對高頻處反應的影響要大于在低頻處的影響。

土層的第n階固有頻率由式（3.3.15）給出：

由于放大因子隨土體固有頻率的增加而降低，所以其最大值在最低階頻率（也被稱作卓越頻率或基本頻率ω0）處產生：

相應于基本頻率ω0的振動周期，被稱為場地的卓越周期或基本周期Ts，為

式（3.3.17）正是式（3.1.4）。場地的卓越周期Ts僅依賴于覆蓋土層的厚度H及剪切波速cS。土層最顯著的放大效應在卓越周期處產生。

在每一個固有周期上，土層內將產生駐波。前三階振動形態即振型（Vibration mode）如圖3.3.5所示。注意，基本模態即第1階模態下土層的位移沿深度都同相位，但對高階振型卻不是這樣。在高于基本頻率的那些頻率值處，土層是部分沿一個方向運動，另一部分運動方向卻相反。關于振型的概念，詳見5.4節。

（3）彈性基巖上覆蓋均質有阻尼土。前兩節給出了剛性基巖上覆蓋土層對位移的放大因子。基巖是剛性的，意味著其運動不受上面覆蓋土層的存在或其運動的影響。對上覆土層來說，剛性基巖就相當于一個固定邊界，土層中任何向下傳播的波動都將被此剛性固定邊界完全反射回來，因此所有的彈性波動能量都被“困束”在此覆蓋土層中。

如果基巖是彈性的，向下傳播的應力波到達土-基巖界面時將被部分反射回來并向上傳播；另一部分能量將穿過此界面繼續向下在巖石內傳播。若下部巖石足夠深，這部分能量將不再被反射回來而相當于逃逸出該土層。這是輻射阻尼的一種形式，它所引起的自由地表運動幅值將小于剛性基巖情況。

考慮彈性基巖半空間上覆一土層的情況（圖3.3.6）。

用下標s和r分別表示土和巖石，沿豎向傳播的SH波在土和巖石中所引起的顆粒質點水平剪切位移可寫為

如前，在自由地表處剪應力及剪應變為零的條件要求As＝Bs；另外，在土-巖石交界面上，位移和應力需要滿足連續條件：根據剪應力的定義式（3.3.20）變為

將式（3.3.18）代入式（3.3.19），可得

或

比值

其中分別為土和基巖的復剪切波速，為復阻抗。求解式（3.3.21）和式（3.3.23），可得

假定通過巖石豎直向上傳播的剪切波，其波幅為A。如果土層不存在，在基巖露頭處，因剪應力和剪應變為零的條件要求其運動振幅為2A。由于土層的存在，根據式（3.3.25）和圖3.3.6，自由地表的位移振幅就變為

定義傳遞函數F3，即土層頂面與基巖露頭處的位移振幅之比：

進一步利用歐拉公式，式（3.3.28）可重寫成

當土的阻尼存在時，F3（ω）的模就不能寫成緊湊的形式。為了強調說明基巖剛度的影響，可令土的阻尼比ζ＝0，放大因子｜F3（ω）｜可表示為

由此可知，共振現象不可能發生，因為式（3.3.29b）中的分母永遠大于零，即使土的阻尼為零。基巖的剛度對放大因子的影響體現在阻抗比上，如圖3.3.7所示。進一步將該圖與圖3.3.4比較，可知土體的阻尼與基巖的剛度對位移放大因子的影響具有相似性——都阻止了分母取零。這種輻射阻尼效應在實際中很重要。基巖比上覆土層越硬，則阻抗比越小，放大因子越大，即土體對位移的放大影響就越強。

（4）彈性基巖上覆蓋多層有阻尼土。實際問題中，場地土層通常是多層的，并有不同的剛度、阻尼及反射和透射波動能量的多個邊界。下面來推導多層土的傳遞函數。

如圖3.3.8所示，考慮某場地土由N層水平土層構成，第N層是基巖，其深度為無限∞。假定每層土均為開爾文-伏格特型的黏彈性體，滿足波動方程的位移解具有如下形式：

式中A和B分別表示-z（向上）和＋z（向下）傳播的波所引起的位移振幅。因剪應力等于復剪切模量G＊和剪應變的乘積，并根據式（1.6.9），有

對每層土，引入一局部坐標系Z。第m層土的頂部和底部位移為

對于第m-1和第m層土的交界面，由位移連續條件，有

將式（3.3.32）代入式（3.3.33），有

第m層頂部和底部的剪應力為

在各層交界面處，應力也必須是連續的，所以有

將式（3.3.35）代入式（3.3.36），有

將式（3.3.34）和式（3.3.37）分別進行相加和相減，得到如下遞歸算式：

其中是第m層與第m＋1層在交界處的復阻抗：

在土層自由地表，剪應力必須等于零，故由式（3.3.35a）可得A1＝B1。將遞歸表達式（3.3.38）遍歷第1到m層，則聯系第m層和第1層的位移振幅關系式可表示為

其中

聯系第i，j土層頂部的位移傳遞函數由式（3.3.41）給出：

式（3.3.41）表明，任一土層的運動（位移、速度或加速度）都可從其他任一層的運動導出。因此，在場地土層中任一點的運動若已知，在其他點的運動就可以計算出來。

特別地，聯系第1層和第j層的位移傳遞函數為

式（3.3.42）的推導中用到a1（ω）＝1.0，b1（ω）＝1.0。

在基巖露頭處，入射波與反射波傳播方向雖相反，但振幅是相等的，所以

式（3.3.43）中的下標N′表示相應于基巖露頭的位移系數。考慮到在基巖層（第N層），無論上面是否有覆蓋層，入射波與反射波的振幅相等這一事實，進一步結合上式，有

因此，第一層土表面與基巖表面的位移傳遞函數可以表示為

由式（3.3.45）可知，可用基巖的運動來確定覆蓋土層表面的運動。

對于簡諧運動，存在關系，式（3.3.41）或式（3.3.45）也可用來作為加速度或速度的傳遞函數。

3.3.1.2　等效線性化方法

眾所周知，土具有材料非線性。因此，要對線性方法進行修正以合理估計實際的場地響應問題。

土體在靜力荷載作用下具有相當復雜的力學行為，更不用說在地震這種循環往復動力作用的情況了。如何采用簡化、合理而又有足夠精度的力學模型來描述土體的地震反應，是一個比較復雜的問題。

典型土在受到對稱循環荷載作用產生大應變時，具有如圖3.3.9所示的非線性滯回行為。滯回圈是由初始加載曲線OB、卸載曲線（BC、DE）、再加載曲線（CD、EF）所圍成，其形狀可由兩個重要幾何特征即斜度（或傾角）和寬度來描述。

斜度依賴于土的剛度，可采用在加載過程曲線中任一點的切線剪切模量Gtan來表示。顯然，Gtan在一個加載循環中是變化的量，在低應變接近于零值處最大（為Gmax），并隨著剪應變幅值γc的增加而降低，它在一個完整滯回圈中的平均值可用割線剪切模量Gsec來近似，且

式中的τc和γc分別是一個加載過程中剪應力幅值和剪應變幅值，如圖3.3.9所示。這樣，可采用Gsec描述滯回圈的斜度。

至于滯回圈的寬度，則與滯回形狀所圍的面積有關。面積是循環過程中耗散能量的一種度量，可以方便地由阻尼比來描述（見1.6.1節）：

式中：ΔW和W分別為一個循環中耗散的能量和儲存的最大應變能；Aloop為滯回圈的面積。

等效線性模型不對滯回圈的形狀作嚴格要求，只需要滯回圈的斜度及滯回圈所圍的面積隨剪應變幅值的變化與土體的實際性狀保持大體相似即可，而不用考慮土體在循環往復動力荷載作用下的能量耗損的復雜本質。參數Gsec和ζ通常被認為是土的等效線性模型所采用的兩個最重要的材料參數。

等效線性模型僅是土的實際非線性行為的一個近似，不能直接用來求解土體的永久變形或破壞問題。這是因為等效線性模型在循環荷載結束后應變會歸于零，并且因為是線性材料故沒有極限強度，失效不會發生。但是，在實際問題中對于一些特定類型的場地地震反應分析，等效線性化計算模型仍很有效并得到廣泛應用。對于另外一些分析類型，則要求模擬滯回圈的實際路徑，通常需采用循環非線性模型等復雜本構模型。

為了更好地理解等效線性化方法與模型，有必要先介紹哪些主要因素影響土的剪切模量Gsec和阻尼比ζ。

（1）剪切模量。室內試驗表明，土的剛度受土的循環剪應變幅值、孔隙比、平均有效主應力、塑性（用塑性指數PI表示）、超固結比及循環次數的影響。各循環應變幅值對應的滯回圈頂點的軌跡，稱為骨架曲線，如圖3.3.10（a）所示，即圖3.3.9中的曲線ECOBDF。

最簡單的確定剪切模量Gsec和阻尼比ζ的辦法，是直接利用試驗測定Gsec和ζ與動剪應變幅值γc關系的數據點進行插值查取，無需定義準確的骨架曲線和滯回圈，使用比較方便。有一些模型根據試驗結果的規律，直接建立剪切模量Gsec和阻尼比ζ與動剪應變幅值γc的關系，不直接定義骨架曲線和滯回曲線的形式。

例如，常用的Hardin-Drnevich模型和Ramberg-Osgood模型都是根據假定的骨架曲線和滯回圈的形式來確定剪切模量Gsec和阻尼比ζ與動剪應變幅值γc的關系。

1）Hardin-Drnevich模型。該模型采用雙曲函數來描述骨架曲線：

式中：Gmax為骨架曲線在原點處的斜率（對應接近于零的極低應變幅值），表示剪切模量的最大值；τmax為土的極限抗剪強度，為剪應變幅值趨于無窮大時的最大剪應力。

定義參考剪切應變為則割線剪切模量為

由式（3.3.49）可見，土的割線剪切模量Gsec隨循環剪應變幅值γc的增大而減小，而剪切模量的比值Gsec/Gmax≤1。式（3.3.49）包括了兩個力學參數：最大剪切模量Gmax和參考應變γref。只要根據實驗確定了Gmax和γref，即可求得相應于任意動剪應變幅γc的割線剪切模量Gsec。

為便于書寫起見，以后Gsec的下標sec將予忽略。土的剛度特征，要求考慮最大剪切模量Gmax以及模量比G/Gmax隨循環剪應變幅值和其他參數的變化關系。模量比G/Gmax隨剪應變的變化可用模量下降曲線來描述［圖3.3.10（b）］。該曲線給出了與骨架曲線相同的信息，可由其中一個確定另外一個。

2）Ramberg-Osgood模型。該模型假定當剪應變幅值γc小于屈服應變γy時，割線剪切模量不隨應變幅值衰減，即G＝Gmax；當剪應變幅值γc超過屈服應變γy時，骨架曲線為

式中：α為一個正數；r為大于1的奇數，表示超過屈服應變γy以后的非線性程度。α和r的值隨土的種類不同而不同。對于砂土，α一般取1.7～2.5，r取1.8～2.0。

相應于式（3.3.50）的模量比為

式中τy＝Gmaxγy，相當于屈服應力。

最大剪切模量Gmax。如本章3.1.2節所述，在現場測得場地土層剪切波速cS及土層密度ρ后，利用Gmax＝ρc2S可求得最大剪切模量Gmax。當無法測試土層剪切波速時，可由其他原位或室內試驗來估計Gmax，例如SL　237—99《土工試驗規程》所推薦的共振柱試驗法。表3.3.1歸納了影響正常固結土和中等超固結土的最大剪切模量Gmax的一些環境及荷載因素。

剪切模量比G/Gmax。土的塑性、孔隙比、圍壓、循環次數都對其剪切模量比G/Gmax產生影響。表3.3.2歸納了在應變水平給定的情況下，對于正常固結土和中等超固結土，影響剪切模量比G/Gmax的一些環境及荷載因素。

后來，還有一些學者給出了砂土、黏土等的G/Gmax隨剪應變幅值的變化關系。例如，I.Ishibashi和X.Zhang給出了這樣的表達式（3.3.52），同時考慮了有效圍壓σ′m和塑性指數PI對模量比G/Gmax的影響。其中，塑性指數PI對G/Gmax的影響如圖3.3.11所示，平均有效圍壓σ′m對高、低塑性土G/Gmax的影響如圖3.3.12所示。

式中

（2）阻尼比。理論上，在低剪應變幅值γc情況下是不會發生能量耗散的。但試驗表明，即使在很低的應變水平，也要耗散一些能量。因此，土體的阻尼比ζ總是不為零。從滯回曲線隨剪應變幅值γc的增加而變得越來越寬，可知阻尼比是隨剪應變幅值γc的增加而增加的。

表3.3.3歸納了對于正常固結土和中等超固結土，影響土阻尼比ζ的一些環境及荷載因素。

如同割線剪切模量或模量比，有不少學者也給出了阻尼比隨剪應變幅值的變化關系。

例如，在前面所述的Hardin-Drnevich模型中，阻尼比ζ由式（3.3.53）表達：

式中，ζmax為最大阻尼比，可由試驗確定。由于G/Gmax隨剪應變幅值γc而變化，因此阻尼比ζ也隨γc而變化。

又如，在前面所述的Ramberg-Osgood模型中，阻尼比ζ由式（3.3.54）表達：

即最大阻尼比r是大于1的奇數，對于砂土，取1.8～2.0。

再如，I.Ishibashi和X.Zhang給出了一個估計塑性土和非塑性土的阻尼比ζ的經驗關系：

如圖3.3.13所示，在同一塑性剪應變幅值下，由式（3.3.55）給出的高塑性土的阻尼比ζ小于低塑性土的。該曲線可適用于粗粒土和細粒土。

礫石土的阻尼性質非常類似于砂土。

（3）等效線性化方法基本思想。如前所述，土在循環加載下的實際非線性應力-應變關系可以采用兩個等效線性參數，即剪切模量（割線模量）G以及阻尼比ζ（在一個循環中所耗散的能量等于在一個實際的滯回圈中所耗散的能量）進行描述，它們的變化都依賴于土的應變幅值γc。一般在進行場地地震反應分析之前，曲線G-γc和ζ-γc應先通過室內試驗、經驗或統計關系確定。典型的G-γc、ζ-γc的變化曲線如圖3.3.12、圖3.3.13所示。

線性化方法要求每層土中G和ζ為常數。這樣問題就變為如何確定與在每層土中產生的應變水平相一致的G和ζ。為了解決這個問題，需要客觀地定義應變水平。室內試驗通常采用最大剪應變幅值來表征應變水平，并給出在簡諧荷載作用下土的模量比與阻尼比隨峰值剪應變幅值的變化曲線。在一個典型的實際地震動作用下，土的剪應變時程是高度不規則的，并具有為數不多的幾個峰值。圖3.3.14給出了具有同等峰值的簡諧剪應變（典型的一個室內試驗）與瞬態剪應變（典型的一個實際地震動）的時間歷程曲線。很明顯，盡管峰值相等，簡諧剪應變比瞬態剪應變代表了更為不利的加載條件。因此，通常采用等效剪應變γeff來表征瞬態剪應變的應變水平，其經驗值為時程中最大剪應變幅值的50%～70%。由于計算反應值對百分數的大小并不特別敏感，所以通常取65%。

因為計算的應變水平依賴于等效線性參數G和ζ，這就要求采用迭代過程來保證分析中的G和ζ與計算應變水平相適應。如圖3.3.15所示，迭代流程如下。

1）對于各土層，初始化給出小應變幅值γc下的G和ζ值。

2）根據G和ζ的估計值，采用上小節給出的針對多層有阻尼土的線性分析方法來計算場地反應，通過逆傅里葉變換（見附錄E），得到各土層中點位置處的剪應變時間歷程，并從中提取最大剪應變幅值γmax。

3）確定等效剪應變γeff。對于第j層，有

其中上標i表示迭代次數。

4）根據等效剪應變γeff及實測或經驗的已知G-γc和ζ-γc曲線，確定下一次迭代所需的新G（i＋1）和ζ（i＋1）值。

5）重復第2）～4）步，直到前后兩次每層土的計算剪切模量和阻尼比的迭代相對差值小于預定值而結束。通常經過若干個迭代就可使計算收斂。

盡管上述迭代過程看似可以考慮土的非線性，但由于采用了復反應分析法和疊加原理，所以仍屬線性分析方法范疇。在地震持時過程中，與應變相容的G和ζ是常數，不論在特定時刻的應變是小應變還是大應變，這種方法不能反映地震過程中實際發生的土單元剛度的改變。盡管有不少缺點，但上述一維場地反應分析的等效線性化思想和方法，已被SHAKE72、SHAKE91、SHAKE2000等程序采納并被工程界廣泛應用。

3.3.1.3　非線性分析方法

盡管等效線性化方法計算方便，對于許多實際問題也能得到合理的結果，但對實際的場地非線性反應過程仍只是個近似。另外一種方法是，在時域中采用直接積分來分析場地的實際非線性反應。通過在微小時步內積分運動方程，任何線性或非線性應力-應變關系或復雜的本構模型都可以采用。通過一系列小的增量時間步，可以追蹤土的非線性應力-應變曲線。對運動方程進行積分求解已經發展了不少技術，其中顯式差分技術應用最為廣泛。

當前應用的大多數非線性一維場地分析程序中，描述土的循環應力-應變模型有雙曲線模型、修正的雙曲線模型，Ramberg-Osgood模型、Hardin-Drnevich-Cundall-Pyke模型、Martin-Davidenkov模型和Iwan類模型以及其他的一些復雜本構如套疊屈服面模型等。關于這部分內容，已經超出本書的范圍，有興趣的讀者可以參考有關文獻。

3.3.2　二維或三維地表反應分析

一維場地反應分析方法適用于水平或略微傾斜的場地土層并具有平行邊界情況。實際中還存在一些不能采用一維波動理論來處理的問題。例如表面具有斜坡或不規則地形的場地、修建有重量很大或剛性埋入的結構或存在擋土墻及隧洞的場地，都需要進行二維甚至三維分析。可以采用二維平面應變動力分析的典型例子如圖3.3.16所示；需要采用三維動力反應或土-結構相互作用分析的典型例子如圖3.3.17所示。

頻域方法（以頻率為自變量的分析方法）或時域方法（以時間為自變量的分析方法），都可以用來分析圖3.3.16或圖3.3.17所示的二維和三維實際地震反映問題。但頻域方法只能用在疊加原理適用的線彈性問題中，無法在需考慮非線性因素（來自材料、幾何、邊界、接觸狀態等方面的非線性）的場合使用。而時域方法結合直接積分技術，可以用來解決各種線性和非線性動力分析問題。目前，時域或頻域分析最常用的手段是結合數值方法，如有限元法、有限差分法、邊界元法等。