2.1　表面微結構輻射特性的數值計算方法

本文研究的太陽能電池陷光結構是一種微納米尺度下的周期性光柵結構，其周期與入射波長相當甚至比入射波長小，并且此時電磁波的波動性較為明顯。因此，表面微結構的輻射特性無法遵循宏觀尺度下的輻射換熱定律，只能通過求解Maxwell方程來進行研究。

求解Maxwell方程的數值計算方法有很多種，如時域積分方程法［41-42］、平面波展開法［43］、有限元法［41-42］、嚴格耦合波分析法［43-44］、矩量法［42］以及時域有限差分法［41-43］等，每一種數值計算方法有各自的優缺點和一定的適用范圍。其中，嚴格耦合波分析法和時域有限差分法是最常用的計算周期性微結構輻射特性的數值方法。因此，本文選用嚴格耦合波分析法和時域有限差分法對光柵結構的輻射特性進行研究。

2.1.1　Maxwell方程

Maxwell方程作為電磁理論的核心，描述了電磁波在介質中的傳播規律。Maxwell方程可以寫成的差分形式［45-46］為

式中：E為電場強度，V/m；B為磁通量密度，Wb/m2，其中1Wb=1V·s；H為磁場強度，A/m；J為電流密度，A/m2；D為電位移矢量，C/m2；ρc為電荷密度，C/m3。

把式（2-2）帶入到式（2-3）中，可以得到電荷守恒方程：=0。

式（2-1）表示變化的磁場能產生電場，式（2-2）表示電場能產生磁場，式（2-3）描述了電場和電荷之間的關系，式（2-4）表明了任何封閉曲面中的磁通量為零。

同時，各項同性介質的有如下的本構關系［45-46］

式中：εm為介質的介電常數，F/m；μm為介質的磁導率，N/A2。

歐姆定律的微觀形式如下：

式中：σ為電導率，A/（V·m）。

上述Maxwell方程及其本構方程描述了電磁場隨時間和空間的分布情況及變化規律。

2.1.2　嚴格耦合波分析法

嚴格耦合波分析法（Rigorous Coupled-Wave Analysis Method，RCWA）作為一種常用的Maxwell方程數值求解方法，其基本思想是對計算區域進行嚴格劃分，并對不同區域的電場和磁場進行傅里葉級數展開以及耦合疊加，將對Maxwell方程的求解轉化成對特征函數的求解，最后結合邊界條件求得問題的本征值［43-44］。

對于簡單的周期性微結構，嚴格耦合波分析法能夠非常精確地計算出其各級反射、吸收以及透射光譜，并且計算速度很快；但是對于復雜結構，嚴格耦合波分析法的計算量非常大，計算難度也大大增加。因此，本文中嚴格耦合波分析法主要用于一維周期性光柵結構輻射特性的計算。

圖2-1所示為嚴格耦合波分析法的計算模型示意圖。此計算模型被分成三個區域：區域1、區域2和區域3。區域1為入射區域，所示為一橫電波（TE波）入射到光柵表面并產生多級衍射，其介質為空氣，介電常數為ε1。區域3為復介電常數材料構成的光柵基底區域，其介電常數為ε3。區域2為周期性光柵區域，由圖2-1所示的A和B兩種材料構成，通常材料A為光柵基底材料，材料B為入射區域材料。區域2的介電常數可由傅里葉級數展開如下［47］

式中：Λ為光柵周期；εp為傅里葉級數展開式的系數；K為光柵矢量；且K=2π/Λ。

以圖2-1所示的橫電波（TE波）入射為例，對區域1中的電場振幅進行歸一化處理，其可以表示成如下形式：

式中：為入射角；i為反射衍射的級數；λ為波長；Ri為第i級反射衍射波的歸一化振幅。

區域3中歸一化的電場振幅同樣也可以表示成如下形式：

式中：Ti為第i級透射衍射波的歸一化振幅。

區域2中的電場振幅表示如下：

式中：Si為光柵區域中第i級衍射波的歸一化振幅。

并且區域2的電場振幅滿足下述波動方程：

把式（2-8）和式（2-11）帶入到式（2-12），可以得到：

定義兩個狀態參數變量S和S′，式（2-13）可以寫成下述矩陣形式［47］

式中：S、S′和S″為Si、dSi/du和d2Si/du2的列向量；［b］為系數矩陣。

式（2-14）的解如下：

式中：wim為相應的本征矢量量；λm為相應的本征值。

式（2-15）中Cm的值取決于邊界條件。電磁場的切向分量在邊界處連續，因此TE波入射滿足下述邊界條件［47］

在邊界z=0處，有

在邊界z=d處，有

式中：δi0為克羅內克符號函數。

通過求解上述方程組，可以得到Cm、Ri和Ti的值，從而可以得到下述各衍射級的效率：

式中：ri為區域1中第i級反射衍射的效率；ti為區域3中第i級透射衍射的效率。

因此，區域1中的反射率可以表示成

區域3中的透射率可以表示成

區域2中的吸收率可以表示成

2.1.3　時域有限差分法

時域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain Method，FDTD）作為一種常用的Maxwell方程數值求解方法，其基本思想是通過離散方法把微分形式的Maxwell旋度方程轉化成差分形式，進而求得電磁場在時間和空間上的分布情況［41-43］。時域有限差分法能夠非常輕易地解決各類復雜問題，并且計算精度很高。因此，在本文中時域有限差分法主要用于二維周期性光柵輻射特性的求解。

以橫磁波（TM波）為例，簡單介紹時域有限差分法解決二維問題的大致思路。對TM波，把式（2-1）和式（2-2）所示的Maxwell旋度方程進行分解，可以得到［48］

式中：σ*為當量磁損耗。

圖2-2所示為離散網格中電場和磁場的分布圖。在一個離散網格中，每個電場周圍有四個磁場環繞，每個磁場周圍也有四個電場環繞，并且電場和磁場的間隔為半個時間步長。

根據圖2-2把式（2-25）、式（2-26）和式（2-27）改寫成差分形式，具體如下：

式中：Δx為x軸方向的離散網格的長度；Δy為y軸方向的離散網格的長度。

僅有上述電磁場隨時間和空間分布的差分方程，無法得到結果，還需要借助于邊界條件。圖2-3所示是時域有限差分法的計算模型。在光柵結構的上界面和下界面采用完美匹配層作為吸收邊界，在光柵結構的左界面和右界面則采用周期性邊界條件。

若在光柵結構的上方取一個表面作為反射檢測面，則此時反射檢測面上的電磁波能量可以表示成

入射電磁波的總能量為

式中：Λ為光柵周期；T為入射波的周期。

因此，時域有限差分法求得的光柵結構對入射波的反射率如下［48-49］：

同樣在光柵結構下方取一個表面作為透射檢測面，可以得到光柵結構對入射波的透射率如下：

周期性光柵結構的吸收率為

2.1.4　數值計算方法驗證

本文中，嚴格耦合波分析法主要用于一維周期性光柵結構輻射特性的計算，時域有限差分法主要用于二維周期性光柵結構輻射特性的計算。為證明本文所用的兩種數值計算方法的正確性，圖2-4對上述兩種方法進行了驗證。在圖2-4中，分別用這兩種數值計算方法對文獻［38］中的算例在垂直入射和斜入射下的情況做了計算，并與文獻［38］中的結構進行了對比。

從圖2-4中可以看到，嚴格耦合波分析法和時域有限差分法得到的結果和文獻［38］中的結果非常吻合；因此，一維嚴格耦合波分析法和二維時域有限差分法在垂直入射和斜入射下均能得到正確的結果。所以，下文就采用這兩種數值計算方法對光柵結構的光譜輻射特性和方向輻射特性開展研究。