1.2 地面點位的確定

1.2.1 地球的形狀與大小

測量工作是在地球表面進行的，地球自然表面是凸凹不平、極不規則的曲面，有高山大川、江河湖海，其中位于我國西藏與尼泊爾王國邊界的喜馬拉雅山的主峰高達8844.43m，地球的最深點位于太平洋西部的馬里亞納海溝斐查茲海淵，位于海面以下

11034m，但這樣大的高低變化相對于地球的平均半徑6371km來說是微不足道的。代表整個地球形狀和大小的數學體稱作為地球形體。在地球表面采集、處理和利用地球空間信息，必然涉及地球形體的一些基準線、基準面和有關參數。

水準面：地球表面的每個水分子都受到重力作用，水面處于靜止狀態時位于水面的每個水分子的重力位相等，由這個處于靜止狀態的水面向陸地延伸所形成的閉合曲面稱為水準面。同一水準面上處處重力位相等。水準面上任一點的鉛垂線垂直于該水準面。在風浪、潮汐、海流等外力的作用下，水面的高低呈動態變化狀態，因此不同時刻的水準面處于不同的高度，水準面可有無窮多個，而且互不相交。

大地水準面：在測繪工作中，設想一個處于靜止狀態（即無波浪、潮汐、海流和大氣壓等作用引起水面擾動）的平均海水面，向內陸地區延伸且包圍整個地球的閉合水準面稱為大地水準面。大地水準面也是等位面，過大地水準面任意一點的切面均與重力線正交。大地水準面具有唯一性。大地水準面所包圍的形體為大地體。大地水準面是測量外業工作的基準面。

鉛垂線：地球上任意一個質點，都同時受到兩個力的作用，即地球自轉的離心力和地心引力，它們的合力稱為重力（圖11），重力方向即為鉛垂線方向，簡稱鉛垂線。一根細線下端掛一重物（或垂球），當重物下垂并穩定時，細線的方向即為鉛垂線方向。鉛垂線是測量外業工作的基準線。

水平線：與鉛垂線正交的直線稱水平線。水平面：與鉛垂線正交的平面稱水平面。

圖11 地球表面物體所受力

圖12 大地水準面與旋轉橢球面

地球橢球體：由于地球表面凸凹不平、地球內部物質分布不均勻，大地水準面各處的重力線方向隨之產生不規則的變化，致使大地水準面成為一個有微小起伏且不規則的曲面。因此，大地水準面也是一個不規則的曲面。將地球表面地物、地貌投影到這個不規則的曲面上將非常困難。為了正確計算測繪成果，準確表示地面點的位置，必須采用非常接近于大地體而且可以用數學式表示的幾何形體來表示實際的地球形體。在測量工作中，通常取一個與大地水準面相接近，并且可以用數學公式表達的規則橢球體來代替大地體（圖12），將其表面作為測量內業計算、繪圖的基準面。該橢球面也稱為參考橢球面，為一橢圓繞其短半軸NS旋轉而成，因此也稱為旋轉橢球面，該旋轉橢圓對應的球體稱為旋轉橢球體。旋轉橢球體是由長半徑a，短半徑b所決定，α=aa-b稱為扁率。目前我國

“1980年大地坐標系”采用的參考橢球數據是1975年國際大地測量與地球物理聯合會的推薦值，見表11。

表1 1

1980年大地坐標系采用的參考橢球參數

由表11可知參考橢球的扁率很小。因此當測量區域比較小，或者對測量工作精度要求不太高的時候，可以把地球橢球體看作為圓球體，其平均半徑為：

R=a+a3+b=6371（km）

1.2.2 地面點位的表示方法

一個點的空間位置，是用它的平面坐標和高程來表示，是一個三維坐標。這三個量是該點沿投影方向投影到基準面（參考橢球）上的投影位置（平面位置，二維，通常用地理坐標表示）和從該點沿投影方向到基準面（大地水準面）的距離（高程，一維）。表示平面位置的坐標系統主要有地理坐標系統、WGS84坐標系統、直角坐標系統；表示高程的我國目前采用的是1985年國家高程系統。

1.2.2.1 地理坐標系統

地面點在地球表面的位置用經緯度來表示時，稱為地理坐標。地理坐標按確定該位置所依據的基準線、基準面不同，又可分為天文坐標和大地坐標。

（1）天文坐標。以大地水準面為基準面，地面點沿鉛垂線投影在該基準面上的位置，稱為該點的天文坐標。該坐標用天文經度λ和天文緯度φ表示。如圖13所示，用大地體代替地球，N為北極，S為南極，NS即為地球的自轉軸，O為地球體中心。包含過地面點P的鉛垂線和地球自轉軸的平面稱為P點的天文子午面。天文子午面與地球表面的交線稱為天文子午線，也稱經線。通過英國格林尼治天文臺的子午面稱為起始子午面（也稱首子午面），相應的子午線稱為起始子午線或零子午線，并作為經度計量的起點。過點P的天文子午面與起始子午面所夾的角度就稱為P點的天文經度，用λ表示。從起始子

午面向東0°～180°稱為東經，向西0°～180°稱為西經。

通過地球體中心O且垂直于地軸的平面稱為赤道面，是緯度計量的起始面。赤道面與地球表面的交線稱為赤道，其他垂直于地軸的平面與地球表面的交線稱為緯線。過點P的鉛垂線與赤道面之間所夾的線面角就稱為P點的天文緯度，用φ表示，其值為0°～90°，在赤道以北的叫北緯，以南的叫南緯。

天文坐標（λ，φ）通過天文測量的方法實測。

（2）大地坐標。以參考橢球面為基準面，地面點沿橢球面的法線投影在該基準面上的位置稱為該點的大地坐標。該坐標用大地經度L和大地緯度B表示。如圖14所示，包含過地面點P的法線且通過橢球旋轉軸的平面稱為P的大地子午面。過P點的大地子午面與起始大地子午面所夾的角度就稱為P點的大地經度，用L表示，從起始子午面向東0°～180°稱為東經，向西0°～180°稱為西經。過點P的法線與橢球赤道面所夾的線面角就稱為P點的大地緯度，用B表示，其值為北緯0°～90°和南緯0°～90°。

圖13 天文坐標系

圖14 大地坐標系

1.2.2.2 WGS84坐標系統

大地坐標系是以參考橢球體幾何中心為原點的坐標，屬于參心坐標系。為適應衛星大地測量的發展，需建立以地球質心為原點的空間直角坐標系，稱地心坐標系。較常用的是適用于全球定位系統（GPS）的 WGS84坐標系，它是以地球質心為原點，以指向某一時期北極平均地位置為Z軸，以指向首子午線與赤道交點為X軸，Z軸、X軸垂直構成右手直角坐標系。

1.2.2.3 平面直角坐標系統

一般的建設工程都在小區域進行，為了確定點位的平面位置，通常采用平面直角坐標系統，該系統忽略地球曲率的影響、以水平面代替水準面。工程測量直角坐標系統如圖

圖15 平面直角坐標系統

15所示，其縱軸為X軸，與實地的南北方向一致，橫軸為Y軸，與實地的西東方向一致。地面上任意一點A的平面位置，用x_A、y_A來表示。

平面直角測量坐標系與數學上常用直角坐標系的縱橫軸互換，這主要是在測量工作中，以極坐標表示點位時，其方位角度值是以坐標縱軸（北方）為基準，按順時針方向計算其方位角，而數學中則是以坐標橫軸為準，逆時針計算的緣故，兩軸互換后，有關坐標計算的三角函數公式可直接在測量中應用。為使用方便、工程項目小或者與國家控制網聯測比較困難，有時候測量上使用假定平面坐標系，

其坐標系的原點和坐標縱軸的實際指向都是假定的，但假定原點的位置及坐標縱軸的實際方位應避免測區內各點的坐標出現負值。

1.2.2.4 高斯克呂格平面直角坐標系統

當測區范圍比較大，則必須考慮地球曲率的影響，要采用適當的投影方法，將地球曲面展繪成平面。投影的方法很多，各自適用于不同的地區和行業，我國的國家基本地形圖采用高斯分帶投影的方法將地球表面展繪成平面圖形。

高斯克呂格分帶投影是將地球看成一個橢球體，自首子午線開始，自西向東按經差每6°劃分為一帶，將整個地球表面劃分為60帶，分別用1～60來表示其帶號，如圖16所示，然后對每個帶進行投影。

如圖17所示，設想用一個空心橢圓柱面橫套在橢球體的外表面，橢圓柱體的軸心通過橢球體的中心，橢圓柱面的內表面與投影帶的中央子午線相切。然后將6°帶上的點、線按正形投影的方式，投影到橢圓柱面上，投影后將橢圓柱面沿通過南北兩極點的母線切開、展平，就得到投影后的6°帶平面圖形，如圖18所示。

圖16 高斯6°分帶

圖17 高斯投影方法

圖18 高斯投影變形

高斯投影具有以下幾個特性：

（1）中央子午線投影后是一條直線，長度不變，其余的經線投影后是凹向中央子午線的對稱曲線，距中央子午線越遠變形越大。

（2）赤道線投影后是一條直線，且與中央子午線垂直，其余的緯線是凸向赤道線的對稱曲線。

（3）經線、緯線投影后，仍舊保持原來相互垂直的幾何關系，即投影前后無角度變形。高斯投影沒有角度變形，但有長度和面積變形，距中央子午線越遠變形越大。6°帶投

影其邊緣子午線長度變形可以滿足1∶2.5萬或更小比例尺地形圖的測圖精度要求，當測圖比例尺大于1∶1萬，其長度變形超過了允許值，相應采用3°分帶進行投影。3°帶是以6°帶的中央子午線和邊緣子午線作為3°帶的中央子午線，將整個地球劃分為120帶，分別用1～120來表示其帶號，其中3°帶的第1帶的中央子午線與6°帶的第1帶的中央子午線為同一條經線。6°帶、3°帶各帶間的關系見圖19。

圖196°帶、3°帶各帶間的關系

6°帶、3°帶各帶的中央子午線的經度可按式（11）計算：

L⁶₀=6N-3 L³₀=3

㊣

╮K╯

（1 1）

式中 L⁶₀、L³₀———6°帶、3°帶中央子午線經度；

N、K———6°帶、3°帶的帶號。

已知地表某點的經度L，計算其所屬相應6°帶、3°帶的帶號可按式（12）計算：

N=Int（L6）+1

K=Int（L-31.5°）㊣

╮

╯

+1

（1 2）

式中 Int———取整函數。

各帶投影到平面上以后，以赤道位置為Y軸，規定向東為正；以中央子午線為X軸，規定向北為正，赤道、中央子午線相交的位置為坐標系的原點O，這樣建立起來的坐標系統即為高斯平面直角坐標系[圖1 10（a）]。

圖110 高斯平面直角坐標系Y坐標自然值與通用值的比較

我國位于北半球，在任意一帶范圍內，所有點的縱坐標全部為正，而橫坐標則不同。在中央子午線以東的橫坐標為正，以西為負。這種以中央子午線為縱軸確定的坐標值稱為自然值[圖1 10（a）]。坐標值出現負值，給數據處理帶來一定的不便，為避免橫坐標出現負值，規定每帶坐標縱軸向西平移500km，以保證6°帶內任一點的Y坐標均為正值[圖1 10（b）]，經過這種坐標縱軸平移處理后得到的點坐標稱為通用值。

如圖110中點B，假設其Y坐標自然值為Y_B=-258398.552m，坐標縱軸向西平移

500km后，Y坐標通用值為Y_B=-258398.552+500000=241601.448m。為了確定該點

屬于哪一帶，在點的Y坐標通用值前加上代號。假如B點位于6°分帶的第22帶內，則

Y_B=22241601.448m。1.2.2.5 地面點的高程

高程系是一維坐標系，其基準面是大地水準面。通常在海邊設立驗潮站，進行長期觀測，求得海水面多年的平均高度位置作為高程零點，通過該點的水準面稱為大地水準面，即高程基準面。地面點沿鉛垂線方向至大地水準面的距離稱為絕對高程，亦稱為海拔。如圖111中，地面點A和B的絕對高程分別為H_A和H_B。

我國境內測定點的高程值是以青島驗潮站多年觀測的黃海平均海水面為基準面。由于

平均海水面不便于隨時聯測使用，故在青島觀象山建立了“中華人民共和國水準原點”，作為全國推算高程的依據，通過水準測量的方法以驗潮站確定的高程零點為起算零點，測定水準原點的高程，然后再從水準原點通過水準測量的方法來測定其他高程點的高程。以1950～1956年測定的黃海平均海水面為基準建立的高程系，稱為“1956年黃海高程系”，水準原點在該高程系里的高程為72.289m。隨著觀測數據的積累，20世紀80年代，我國又根據青島驗潮站1952～1979年的觀測資料計算出新的平均海水面作為高程零點，并測得水準原點的高程為72.2604m，稱為“1985年國家高程基準”。

在工程建設中，一般應采用絕對高程。如果工程項目在偏遠地區而且規模小，引測高程困難，也可以建立假定高程系統，即假定一個水準面作為高程起算面，地面點到假定水準面的垂直距離稱為相對高程或假定高程。如圖111中，A、B兩點的假定高程分別為

H′_A和H′_B。

圖111 絕對高程與相對高程

圖112 水平面代替水準面對

水平距離、高差的影響

1.2.3 水平面代替水準面的影響

一般的建設工程是在小區域內進行的，測量工作可以忽略地球曲率的影響，用水平面來代替水準面。但是用水平面來代替水準面總有一定

限度，而且這樣的代替，對地球表面點間的水平距離、高差、水平角都有一定的影響，這就有必要分析用水平面來代替水準面對水平距離、高差、水平角影響的大小。

1.2.3.1 對水平距離的影響

如圖112所示，設地面上兩點A、B，沿各自鉛垂線方向分別投影到大地水準面上得到A′、B′，如果用過A′點與大地水準面相切的水平面代替大地水準面，A、B兩點在大地水準面上的投影點A′、B′的弧長為D，投影到代替水平面上的距離為D′，兩者之差即為A、B兩點用水平面代替大地水準面所引起的距離差，用ΔD表示，則：

ΔD=D′-D=Rtanθ-Rθ=R（tanθ-θ）

（1 3）

式中 R———地球曲率半徑6371km；

θ———弧長D對應的圓心角，弧度。將tanθ用級數展開，得：

tanθ=θ+13θ³+125θ⁵+…

由于θ很小，取前兩項：

ΔD=D′-D=R（θ+13θ³-θ）=13Rθ³

又θ=RD，得：

ΔD=3D³R²或ΔDD=3D²R²

（1 4）

取R=6371km，將不同D值代入式（14），計算結果見表12。

表1 2

水平面代替水準面對水平距離的影響

由表12可以看出，當距離為10km時，水平面代替水準面產生的距離相對誤差為1/121萬，精度高于精密距離測量精度的允許誤差1/100萬。因此可以認為在半徑10km范圍內，地球曲率對距離的影響可以忽略不計，可用水平面代替水準面。

1.2.3.2 對高程的影響

如圖1 12所示，地面點B的絕對高程為H_B，當用水平面代替水準面時，B點的高程為H′_B，則其差值Δh即為用水平面代替水準面所產生的高程差，可得：

（R+Δh）²=R²+D′²

展開可得：

2RΔh+Δh²=D′²

即：

Δh=D′²

2R+Δh

≈

D² 2R

（1 5）

由式（15）可得不同距離情況下，用水平面代替水準面對高程的影響，見表13。

表1 3

水平面代替水準面對高程的影響

表13的計算結果標明，地球曲率對高程的影響很大。高程測量的精度要求很高，國家四等水準測量要求每千米水準路線的高差全中誤差不得大于±10mm，因此在進行高程測量的時候，即使距離不大，也必須考慮地球曲率對高程的影響。

1.2.3.3 對角度的影響

由球面三角學知道，一個空間多邊形在球面上投影的各內角之和，較其在平面上投影的各內角之和大一個球面角超ε的數值。其計算公式為：

ε=RP2ρ″

（1 6）

式中 ρ″———以秒為單位計的1弧度值，取206265″；

P———球面多邊形的面積；

R———地球半徑。

在測量工作中，實測的是球面多邊形，但繪制成圖時則繪成平面圖形。用水平面代替水準面，在不同面積大小的球面多邊形情況下，對角度的影響見表14。

表1 4

水平面代替水準面對角度的影響

由表14的計算結果可知，對面積在100km²以內的多邊形，地球曲率對水平角的影響在一般工程測量中不必考慮。