2.6 作用于平面壁上的靜水總壓力

在實際工程應用中，如各種閥、壓力容器的設計，管道強度校驗以及水利工程中各類擋水閥、堤壩的設計等諸多問題中，都會遇到靜止液體與固體壁面靜水總壓力的計算問題，包括靜水總壓力的大小、方向及壓力作用點的確定。

2.6.1 作用于矩形平面壁上的靜水總壓力

矩形平面壁的形狀規則，在水工上最為常見。計算矩形平面壁上所受靜水總壓力的問題，最簡便的方法就是利用靜水壓強分布圖，也常稱此方法為壓力圖法。靜水壓強分布圖的繪制見前文，下面主要介紹矩形平面壁上靜水總壓力的計算問題。

平面上靜水總壓力的大小，應等于分布在平面上各點靜水壓強的總和。因此，作用在單位寬度上的靜水總壓力，應等于靜水壓強分布圖的面積；整個矩形平面壁上的靜水總壓力應該等于平面寬度乘以壓強分布圖的面積。

如圖2.12所示，為一液下任意傾斜放置的矩形平面壁ABEF，平面長L，寬b，其所受靜水壓強分布圖如圖2.12所示，設壓強分布圖面積為Ω，則作用于該矩形平面上的靜水總壓力為

式 （2.28）中，因壓強分布圖為梯形，，故

因矩形為規則幾何圖形，有縱向對稱軸O—O，故靜水總壓力P的作用點（也稱壓力中心）必過對稱軸O—O，同時靜水總壓力的作用點還應通過壓強分布圖的形心點Q（圖2.12）。

2.6.2 作用于任意平面壁上的靜水總壓力

當受壓平面為任意形狀，即無對稱軸的不規則平面壁時，靜水總壓力的計算較為復雜。先補充介紹幾點有關平面圖形的幾何性質。

設xOy平面上有一任意形狀的幾何圖形，其形心在C點，面積為A。直線L通過C點并平行于x軸，C點到x軸距離，也即直線L與x軸的距離為yC，如圖2.13所示。

將平面圖形劃分成若干微元面積，其中一微元面的面積為ΔA，其形心到x軸距離為y，那么乘積yΔA和y2ΔA分別叫微元面對x軸的靜矩和慣性矩。式∑yΔA和∑y2ΔA代表了所有微元面積對x軸的靜矩和慣性矩之和。當對平面圖形進行無限劃分，每一微元面積大小趨于0時，上面兩個和式變成積分∫AydA、∫Ay2dA，這兩個積分值分別稱為平面圖形對x軸的靜矩和慣性矩。

由數學分析，積分∫AydA等于平面圖形的面積A與圖形形心C到x軸距離yC之積：

式(2.30)用來計算平面圖形對x軸的靜矩。由慣性矩的平行移軸定理，積分∫Ay2dA等于平面圖形對過其形心且平行于x軸的直線L的慣性矩JC和平面圖形面積A與yC平方之積的和：

式（2.31）是計算平面圖形對x軸慣性矩常用公式。

工程中常用對稱規則平面的形心位置yC和對通過平面形心水平軸的慣性矩JC見表2.1。

下面來分析作用在任意形狀平面壁上靜水總壓力的計算。

一面積為A的平面完全淹沒在密度為ρ的靜止液體的液面之下，平面上各點壓強是一與作用點深度成正比的變量，從而在平面上作用了一非均勻的分布力系。可以用一集中力代替這一分布力系。由于平面各點壓強都與平面正交，因而合力即總壓力也將垂直于平面，下面將討論總壓力大小P的計算及總壓力與平面交點位置即壓力中心D的確定。顯然，在這兩個待求量確定之后，總壓力的全部要素就清楚了。

1.總壓力的大小

設液下一任意形狀平面，傾斜放置于水中，設與液面夾角為α，建立一直角坐標系，坐標原點O在液面，y軸通過平面形心C點，正向向下，平面面積為A，如圖2.14所示。圖中hC為平面形心C處深度，yC為形心C的y坐標，顯然，hC=yCsinα。

由前述分析，在平面中取一大小為dA的微元面積，dA形心處水深為h，于是微面積處壓強為ρgh。由于h=ysinα，于是微元面積形心處壓強可寫為ρgysinα，在dA充分小的條件下，可以認為微元面積上壓強為常數，因而微元面積上壓力大小為ρgysinαdA，于是液下平面所受總壓力P為

代入式（2.30）得

式（2.32）中ρghC是液下平面形心處的壓強。該式表明，作用于液下平面由液體產生的壓力大小等于平面形心處壓強與平面淹沒面積的乘積，形心處壓強等于被淹沒面積的平均靜水壓強。應注意，此處的壓強應為相對壓強。

2.總壓力的作用點（壓力中心）

平面上靜水壓力作用線與平面的交點叫壓力中心D。除開平面水平放置的特殊情況，壓力中心與平面形心并不重合，而且在形心位置以下。事實上，形心是平面的幾何屬性，壓力中心是合力的力學屬性。

設壓力中心D沿平面到液面距離即D點的縱坐標為yD，yD可以由力矩定理確定：總壓力P對x軸的力矩PyD應等于平面上所有微元面積的壓力對x軸力矩的和∫AρghydA，即

代入式（2.31），整理得到:

由此可以看出，壓力中心確實在平面形心之下，兩點在平面上距離為JC/yCA。工程中常用軸對稱圖形的壓力中心一定位于對稱軸上，故不必計算壓力中心的x坐標。

結合前述內容可見，作用于平面壁上靜水總壓力的計算可采用兩種方法，即解析法和圖解法。解析法適用于任意形狀的平面，圖解法（壓力圖法）僅適用于一邊平行于水面的矩形平面。結合前文總結圖解法的步驟即：先繪制壓強分布圖，作用力的大小等于壓強分布圖的面積乘以受壓平面的寬度；作用點的位置相當于壓強分布圖的幾何形心點位置。

使用圖解法的關鍵在于繪制壓強分布圖，壓強分布圖是在受壓平面上，以一定的比尺繪制壓強（大小、方向）分布的圖形。按照壓強沿水深線性變化的關系，首先標出受壓面起點和終點的壓強，再以直線連接，而壓強方向始終垂直于受壓面，如圖2.15所示。

【例2.3】 設有一鉛垂放置的矩形閘門，如圖2.16所示。已知閘門高度h=2m，寬度b=3m，閘門上緣到水面的距離h1=1m。試用圖解法和解析法求解作用在閘門上的靜水總壓力P。

解：（1）圖解法（壓力圖法）。繪制閘門對稱軸AB線上的壓強分布圖ABEF，如圖2.16（a）所示。靜水總壓力大小等于圖形ABEF的面積乘以閘門的寬度，即

壓力中心點D位于梯形ABEF的幾何形心點處，因此距水面的距離yD為

（2）解析法。由式（2.32）知：

壓力中心點D距水面的距離yD由式（2.34）得到: