0.2　地下水模型類型及其簡介

馬克思曾說過：任何一門學科只有充分利用了數(shù)學，才能夠達到完美的境界。水文地質(zhì)學的萌芽時期是從人類開始有意識地利用地下水開始（大約5700年前）一直持續(xù)到1856年，在這漫長的歷史時期內(nèi)，水文地質(zhì)學一直處于定性研究階段，以1856年達西定律的出現(xiàn)為標志，水文地質(zhì)學開始發(fā)展到定量研究階段，才成為一門真正的科學登上歷史舞臺，而地下水模型則成為解決各種水文地質(zhì)問題的最重要手段。

地下水模型（Groundwater models）是用于分析和預測不同條件下局部或區(qū)域地下水系統(tǒng)行為的數(shù)學和數(shù)字化工具。地下水模型有多種分類方法，比如：按含水層類型分為承壓含水層模型、非承壓含水層模型以及半承壓含水層模型；按水流條件（Flow condition）分為飽和地下水流模型、非飽和地下水流模型以及溶質(zhì)運移模型；而從研究手段上則可分為物理模型（Physicalmodel），相似模型（Analog model）和數(shù)學模型（Mathematical model）。

0.2.1　數(shù)學模型

0.2.1.1　解析法

（1）達西公式（1856年，法國，Henry Darcy）。

達西（Henri Philibert Gaspard Darcy，1803.6.10—1858.1.3）是法國杰出的工程師和著名的水力學家，是現(xiàn)代畢托管（Pitot pipe）的發(fā)明者，他提出了管流阻力方程，并在明渠流研究領域卓有建樹。他最卓著的貢獻，是在1839～1840年設計并主持建造了法國第戎（Dijon）的城市供水系統(tǒng)，從12.7km外的Rosoir Spring輸水到城市附近的水庫，供給28000m的城市輸水管道。這個全封閉的供水系統(tǒng)可在重力驅(qū)動下完成自流供水，不需要水泵加壓或提水，并且只采用砂過濾的方式進行水質(zhì)處理，這是他研究水在多孔介質(zhì)中運動的現(xiàn)實基礎和驅(qū)動因素。1856年，Darcy在經(jīng)過大量的試驗后，發(fā)表了他對多孔介質(zhì)中水流運動規(guī)律的研究成果，即著名的達西定律。達西定律奠定了地下水定量評價的基礎，開啟了水文地質(zhì)學迅速發(fā)展的全新時代。

達西定律的數(shù)學表達式和電學中的歐姆定律以及固體介質(zhì)中的熱傳導定律是一致的，反映了3種運動形式的內(nèi)在共性：

式中：Q為流量；K為介質(zhì)滲透系數(shù)；I為水力梯度（無量綱）；ω為過水斷面面積；V為滲流速度。

（2）裘布依穩(wěn)定井流公式（1863年，法國，Jules Dupuit）。

裘布依（Jules Dupuit，1804.5.18—1866.9.5）生于意大利福薩諾（Fossano），10歲時移民法國，是法國著名的土木工程學家，在水力學中曾有多方面貢獻，曾擔任法國橋梁公路局的總督察，是達西的同事與朋友，擅長理論推導。甚至有資料顯示，他在1854年時已從理論上預測了達西定律的基本規(guī)律，但裘布依仍在其專著的前言中明確指出“達西的實驗超過了所有的前人”，體現(xiàn)了嚴謹、謙遜的學者風范（滄浪，1983）。裘布依以達西定律為基礎，提出了著名的裘布依假設，并在此基礎上推導出了地下水單向及平面徑向穩(wěn)定井流公式，描繪了特定條件下的地下水運動狀態(tài)，成為水文地質(zhì)學發(fā)展史上又一個重要里程碑。

裘布依假設：①含水層是均質(zhì)、各向同性、等厚、水平的；②地下水為層流，符合達西定律，地下水運動處于穩(wěn)定狀態(tài)；③靜水位是水平的，抽水井具有圓柱形定水頭補給邊界；④對于承壓水，頂?shù)装迨峭耆羲模瑢τ跐撍吽ζ露炔淮笥?/4，底板完全隔水。承壓水穩(wěn)定井流公式：

潛水穩(wěn)定井流公式：

式中：Sw為井中水位降深；Q為抽水流量；R為水力影響半徑；rw為井徑；H0為初始地下水位；Hw為井中地下水位。

裘布依公式出現(xiàn)之后的很長一段時間，地下水水力學雖有一定程度的發(fā)展，但總是沒有超出穩(wěn)定流理論的范圍。

地下水穩(wěn)定流理論的應用有很大的局限性，最大的缺陷在于：穩(wěn)定流理論所描繪的，僅僅是在一定條件下，地下水的運動經(jīng)過很長時間所達到的一種平衡狀態(tài)，這種平衡狀態(tài)不隨時間變化。而實際的地下水運動狀態(tài)卻是不斷變化的。因而，穩(wěn)定流理論的應用就只能局限于在某些特定條件下解釋地下水運動的狀態(tài)，而不能說明從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)之間的整個發(fā)展過程。

裘布依公式的出現(xiàn)，對當時地下水水力學的發(fā)展起了重要作用，直到今天仍有一定的實用價值。穩(wěn)定流公式目前主要適用于具有兩個定水頭邊界的條件，如島狀含水層、河邊抽水井等，在上述條件下，經(jīng)過較長時間的抽水，穩(wěn)定流狀態(tài)是比較容易達到和維持的。

如果說，當?shù)叵滤_發(fā)利用規(guī)模與地下水天然補給量相比很小的時候，還可以近似地符合穩(wěn)定流理念，而當開發(fā)規(guī)模越來越大，地下水位年復一年地發(fā)生明顯的持續(xù)性下降時，就要求有新的理論來解釋地下水動態(tài)的變化過程，非穩(wěn)定流理論的出現(xiàn)則成為學科發(fā)展與生產(chǎn)實踐中的必然。

（3）泰斯非穩(wěn)定井流公式（1935年，美國，C.V.Theis）。

在地下水穩(wěn)定流理論出現(xiàn)之前，在經(jīng)典物理學中就已提出了電流和熱傳導等方面的非穩(wěn)定運動理論問題。地下水非穩(wěn)定流理論的出現(xiàn)，比其他學科的相應理論要晚一個多世紀，這主要是由于地下水的開發(fā)規(guī)模，還不足以對地下水動態(tài)造成引人注目的變化，而將其近似等同于穩(wěn)定狀態(tài)，滿足于以裘布依公式為代表的穩(wěn)定流理論。

達西定律和裘布依公式是在法國提出的，有關(guān)熱傳導的數(shù)學理論也是法國人福里哀早在達西定律出現(xiàn)以前就建立了的，但地下水非穩(wěn)定流理論出自美國。這是由于法國地表水資源比較豐富，地下水開發(fā)量不大，因而長期停留在裘布依公式的水平上；而美國由于有大片干旱半干旱地區(qū)，加上社會經(jīng)濟發(fā)展迅速，一段時期內(nèi)對地下水資源需要量增長較快，地下水資源開發(fā)利用程度的提高促進了非穩(wěn)定流理論的發(fā)生和發(fā)展。恩格斯曾經(jīng)精辟地提出：“社會一旦有技術(shù)上的需要，則這種需要就會比10所大學更能把科學推向前進。”

在地下水非穩(wěn)定流理論的發(fā)展過程中，首先是溫策爾（L.K.Wenzel）等人在美國內(nèi)布拉斯加州進行抽水試驗對蒂姆公式（Thiem equation）進行驗證時，發(fā)現(xiàn)了一系列地下水作非穩(wěn)定運動的現(xiàn)象，提出了可以根據(jù)地下水降落漏斗發(fā)展過程計算含水層給水度的思想；邁因策爾（O.E.Oscar Edward Meinzer，1876—1948）根據(jù)大量長期觀測資料，在1928年撰文認為：承壓含水層是可壓縮而且是有彈性的，在分布寬廣的承壓含水層中抽水的過程，也是不斷消耗貯存量的過程，并以美國達科他（Dakota）砂巖中幾十年抽水的實際材料證明了這一點。

溫策爾、邁因策爾等人的文章表明，早在20世紀30年代初期，由于開發(fā)利用地下水規(guī)模的擴大，已經(jīng)為潛水和承壓含水層中的地下水非穩(wěn)定流理論準備了豐富的實踐基礎。而固體中熱傳導理論的發(fā)展又為非穩(wěn)定流理論準備了現(xiàn)成的數(shù)學工具。1935年美國人泰斯（Charles Vernon Theis，1900.3.27—1987.7.31）利用了邁因策爾、溫策爾等人的實際材料和觀點，在數(shù)學家盧賓（C.I.Lubin）的幫助下，利用熱傳導理論中現(xiàn)成的公式加以適當改造，第一次提出了實用的地下水徑向非穩(wěn)定流公式，即泰斯公式：

泰斯公式出現(xiàn)5年后，雅各布（Jacob）參照熱傳導理論中的方法，建立了地下水運動的基本微分方程，并系統(tǒng)闡明了承壓含水層貯水系數(shù)的構(gòu)成。

非穩(wěn)定流理論問世以來，地下水運動問題的解析法有了很大發(fā)展，建立了一系列的方程、公式和圖表，并被廣泛應用到生產(chǎn)實踐中去。它不僅推動了地下水理論的發(fā)展，還解決了大量的生產(chǎn)實際問題。

解析法的缺點：在確立定解問題時，需要對地質(zhì)、水文地質(zhì)條件進行大量的簡化，一般來說，它只適用于含水層幾何形狀簡單，并且是均質(zhì)、各向同性的情形，而實際水文地質(zhì)條件往往十分復雜，建立符合實際條件的復雜的數(shù)學公式，其解析解的求取則相當困難，很多模型在當前條件下甚至是不可能得到結(jié)果的；而如果勉強應用解析法，常常需要大量簡化水文地質(zhì)條件，這樣得到的結(jié)果，可能與實際情況相差較大。

0.2.1.2　數(shù)值法

根據(jù)一定的數(shù)學模型在計算機上用數(shù)值法模擬地下水的運動狀態(tài)便稱為地下水數(shù)值模擬。

對數(shù)學模型求其數(shù)值解的思想早在20世紀40～50年代就已出現(xiàn)，然而由于計算量過大，以至于沒有數(shù)字計算機哪怕是解一個最簡單的問題所需要的時間也是驚人的。因而，這個方法的普及依賴于數(shù)字計算機的發(fā)展。

Terwilliger等（1951）用數(shù)字方法及穿孔卡設備，采用數(shù)值方法對油儲重力疏干所遇到的二相流問題進行了求解嘗試，其后，油儲問題的數(shù)值計算方法得到了較大發(fā)展，直到1956年，斯圖爾曼（R.W.Stallman）才將數(shù)值模擬應用于水文地質(zhì)計算，并提出了一種用對承壓面進行數(shù)值分析以確定含水層滲透系數(shù)的方法。20世紀60年代以來，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)值方法作為一種求解近似解的方法被廣泛用于地下水水位預報和資源評價中，成為當代水文地質(zhì)研究與應用的最重要手段之一。近年來，國際上大型野外試驗場地研究、隨機方法引入、生物過程模型耦合以及計算方法的創(chuàng)新，使地下水數(shù)值模擬進入全新研究階段。

地下水數(shù)值模擬在中國經(jīng)歷了從無到有、從簡單的水流模型到比較復雜的物質(zhì)和熱量運移模型、從仿制到獨立研制最后走向世界的發(fā)展歷程。現(xiàn)在可以說，中國已經(jīng)差不多對國際上討論的各種問題都建立了相應的數(shù)值模擬模型：包括水資源評價問題，地下水污染問題，水巖作用和生物降解作用的模擬，非飽和帶水分和鹽分運移問題，海水入侵、高濃度咸水/鹵水入侵問題，熱量運移和含水層貯能問題，地下水管理與合理開發(fā)、井渠合理布局和渠道滲漏問題，地下水—地表水聯(lián)合評價調(diào)度問題，地面沉降問題，參數(shù)的確定問題。所建立的模型囊括了包括識別模型、預報模型以及管理模型等在內(nèi)所有的地下水模型類型（藺文靜，2007；薛禹群，2010）。

0.2.2　物理模型

菲利浦—福熙海麥（Philipp Forchheimer，1852—1933，奧地利土木水利工程學家）是第一位采用物理砂箱模型（Sand tank model）演示地下水流現(xiàn)象的學者（1898）。在砂箱模型中，實際尺度的水文地質(zhì)條件按照一定比例縮小到實驗室尺度，含水層介質(zhì)裝入砂箱，設定合適的邊界條件，模擬抽水、注水、溶質(zhì)運移、海水入侵等現(xiàn)象。人們建立了不同形狀（長方形、立方體等）以及不同規(guī)模的物理裝置模擬多孔介質(zhì)中的水流運動（圖0.2.1），在德國慕尼黑的放射研究與水力學實驗室（Radiometric Study and Hydraulic Laboratory）的砂槽尺寸可達20m×10m×5m。

物理模型盛行于1930～1950年間，由于對區(qū)域地下水流的物理模擬成本高、耗時長，因此，相似模型（Analog models）在20世紀60年代開始出現(xiàn)，并一度成為地下水模型主流。

0.2.3　相似模型

相似模型技術(shù)是基于兩種物理系統(tǒng)在運動特征等方面的相似性，利用易于掌控和分析的一種系統(tǒng)去模擬另外一個系統(tǒng)的運動規(guī)律。在區(qū)域地下水流研究中，主要有兩種相似模擬技術(shù)。

（1）黏滯流體模型（Viscous Fluid Models）。

赫爾—肖（Hele—Shaw，1897）指出：二維地下水流運動特征與兩平行薄板間的黏滯流體運動相似，并提出了在密度流問題（海水入侵）中廣泛使用的Hele—Shaw模型。假設兩平行薄板間的流體運動為層流，則流線可以繪制出流體運動的二維等勢場。利用流體運動的Navier—Stokes方程以及垂向流條件的裘布依假設，則可導出平均流速為

式中：μm為模型流體黏滯度；ρm為模型流體密度；b為兩平行薄板間距離；g為重力加速度；d h/d x為水力坡度。

對比式（0.2.5）和達西定律的表達式（V＝KI），則模型滲透系數(shù)可以寫成

顯然，從式（0.2.6）中可以通過改變平板距離b以及改變流體密度和黏滯性得到需要的滲透系數(shù)值。

模型流體常選擇油（oil）和甘油（glycerin），流體加上染料（dye）可模擬非承壓條件下的自由表面。過去，大量研究人員利用黏滯流體相似模型解決了一系列關(guān)于滲漏、排水和海水入侵等問題。

（2）電模擬模型（Electric Analog Models）。

M.King Hubbert在1931～1936年期間進行地球電阻測量時，對地下滲流的物理性質(zhì)發(fā)生了興趣，并直覺感到水流與電流的運動規(guī)律具有相似性。歐姆定律和達西定律在數(shù)學上完全類似，表示了流動和勢之間的關(guān)系，并且包含一個反映材料性質(zhì)的比例常數(shù)：

歐姆定律：

式中：I為電流強度；σ為電導率；d V/d x為電壓梯度。

達西定律：

式（0.2.8）中的q，K，h與式（0.2.7）中I，σ，V的相似性奠定了電相似模擬的基礎。

電容的定義是使極板間的電壓提高一個單位所需要的電量，它相當于含水層的儲水系數(shù)，當兩個極板之間的電壓改變時，電容器存儲或釋放電量。因此，在電模擬模型中使用電容，使得模擬依賴時間變化的水文地質(zhì)問題有了可能。

在電模擬方法中，電阻—電容（R—C，Resistance—Capacitance）相似模型在20世紀60～70年代應用最為廣泛。Skibitzke（1960）提出了使用R—C相似模擬技術(shù)研究地下水流問題的思路，接下來，Bermes（1960），Brown（1962），Stallman（1963），Walton和Prickett（1963），Patten（1965），Cole和Blair（1967），Thangarajan（1975，1983）等應用此項技術(shù)并證明其對于地下水問題研究的有效性（圖0.2.2）。

0.2.4　地下水數(shù)值計算的特點

與解析法相比，地下水數(shù)值法靈活、適應性強，善于模擬復雜的水文地質(zhì)條件，不僅可以解線性問題，非線性問題也比較容易處理，而且可以用于水文地質(zhì)的很多領域，如水位預報、水量計算、水質(zhì)以及水溫的計算、地下水的合理開發(fā)利用、地下水染污預防與治理等一系列問題。

地下水數(shù)值法的計算在通用計算機上進行，不需要像物理模擬和相似模擬那樣建立復雜的專門設備；同時，地下水數(shù)值計算可以實現(xiàn)程序化，修改算法、修改模型都十分方便。對某一類問題只要編出通用程序后，對不同的具體問題只要按程序整理好數(shù)據(jù)就可以直接上機計算。

由于地下水數(shù)值計算方法的迅速普及和水平參差不齊的應用，使得在生產(chǎn)實踐中，人們對地下水數(shù)值計算方法產(chǎn)生了一些誤解。如下這些觀點的出現(xiàn)一般都有一定的確鑿案例為支撐，但可能過度放大了局部效應。

（1）“數(shù)值計算方法的結(jié)果總是可按人為意志操控的”。實質(zhì)上，地下水運動的數(shù)學模型是以滲流連續(xù)性方程（質(zhì)理守恒原理）以及達西定律為基礎的，具有堅實的理論基礎。只要輸入確定的水文地質(zhì)參數(shù)、邊界條件、源匯項數(shù)據(jù)，收斂的模型必然具有唯一的確定性結(jié)果，其結(jié)果并非可以人為任意操控。之所以出現(xiàn)一些負面事例，通常有兩種情況：一是由于人們對研究區(qū)的實際水文地質(zhì)條件以及數(shù)據(jù)的掌握不夠，所輸入的各種數(shù)據(jù)不夠準確、甚至不合理，所得的結(jié)果自然存在不同程度的可靠性問題；另一種情況，極個別技術(shù)人員片面追求模擬結(jié)果與實際情況的“接近”程度，隨意篡改后臺數(shù)據(jù)、有選擇性地展示模擬結(jié)果，造成一種“合理性假象”，這樣的模型自然經(jīng)受不住時間和現(xiàn)實的考驗。

（2）“數(shù)值計算方法獲得的結(jié)果比其他方法更精確或者更可靠”。這也是一個誤區(qū)，地下水數(shù)值法的求解能力要比解析法、實驗法等強，可以適應較為復雜的水文地質(zhì)條件。但數(shù)值計算結(jié)果的精確程度或可靠性，取決于水文地質(zhì)概念模型是否合理、可靠，取決于邊界條件、源匯項數(shù)據(jù)、初始流場是否準確。沒有可靠、準確的基礎數(shù)據(jù)支撐，數(shù)值法的結(jié)果也談不上準確、可靠，因此，不能簡單地認為數(shù)值法比其他方法更有優(yōu)勢。

（3）“數(shù)值計算方法一定要在水文地質(zhì)資料和數(shù)據(jù)十分詳盡的情況下才能使用”。地下水數(shù)值計算方法，提供的是一種分析工具，它可以在不同工作階段發(fā)揮不同的作用。例如，當對研究區(qū)水文地質(zhì)條件掌握不夠充分而需要補充勘探工作量時，數(shù)值模型可以幫助確定重點工作區(qū)或工作內(nèi)容；當對一個問題有不同觀點時，可以利用數(shù)值模型模擬出不同取值條件下的地下水系統(tǒng)的響應，從而幫助人們對某些假設的可能性進行判斷。因此，在水文地質(zhì)資料和數(shù)據(jù)不充足的時候，地下水數(shù)值模型可以用來幫助工作人員更有效地開展進一步的工作。當然，在這些條件下應用地下水數(shù)值模型，需要工作人員清晰地了解模型存在的不確定性。

（4）“數(shù)值模型應該能夠準確預測地下水動態(tài)”。這是一個對地下水數(shù)值模型過于苛求的想法，Stuart Alan Rojstaczer（1994）指出，地下水數(shù)值模型對于預測實際地下水系統(tǒng)行為的準確性是較差的。其原因主要有：①限于技術(shù)與成本，我們對實際水文地質(zhì)條件的認識難以達到“真實”狀態(tài)，甚至很多情況下都難以達到“足夠清晰”的程度；②數(shù)學模型的“仿真”能力是有限的，必須建立在相對理想的水文地質(zhì)概念模型基礎之上，因此，再準確的數(shù)值模型也會與實際情況之間存在偏差；③在地下水動態(tài)預測之前，未來條件下的邊界條件、源匯項等一系要素需要首先預測出來，而這樣預測的準確性通常較低。在上述3個因素作用下，不應該對地下水數(shù)值模型預測的準確性過于苛求，而是將其視為對各種擬定方案和假設的定量化模擬工具，分析未來地下水系統(tǒng)行為的變化趨勢。

希望大家在學習的過程中，不但注重掌握地下水數(shù)值模擬的最基本原理與方法，了解地下水數(shù)值模擬技術(shù)解決實際水文地質(zhì)問題的基本過程；同時，也應該時刻注意地下水數(shù)值模擬方法在解決實際問題時所做的概化、優(yōu)點和局限，以期合理、有效地運用該方法為科研和生產(chǎn)服務。