第五節 測量誤差概述

一、測量誤差及分類

在測量工作中，因觀測者、測量儀器、外界條件等因素的影響，測量結果經常會出現如下兩種現象：一種現象是，當對一段距離或者兩點間高差進行多次觀測時，會發現每次結果通常都不一致；另一種現象是，已經知道某幾個量之間應該滿足某一理論關系，但是對這幾個量進行觀測后，就會發現實際觀測結果往往不能滿足這種關系，如對三角形三個內角進行觀測，每次測得的內角和通常不會剛好等于180°。但是只要不出現錯誤，每次的觀測結果是非常接近的，它們的值與所觀測的量的真值相差無幾。觀測值（量）與它的真值之間的差異稱為真誤差。

一般用Δ表示真誤差，用L表示真值，用L表示觀測值（量），則真誤差可用下式表示:

由于觀測值是要由觀測者用一定的儀器工具，在一定的客觀環境中觀測而得的，所以測量結果的精確性必然受觀測者、儀器、外界環境三方面條件的制約，測量結果將始終存在著誤差而使“真值不可得”。這個論斷的正確性已為無數的測量實踐所證明。由于誤差的不可避免性，因此測量人員必須充分地了解影響測量結果的誤差來源和性質，以便采取適當的措施，使產生的誤差不超過一定限度；同時掌握處理誤差的理論和方法，以便消除偏差并取得合理的數值。根據觀測誤差對觀測結果的影響性質，可將其分為系統誤差和偶然誤差。

1.系統誤差

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，如果這些觀測誤差在大小、符號上有一定的規律，且這些誤差不能相互抵消，具有積累性，這種誤差稱為系統誤差。例如：尺長誤差ΔL的存在，使每量一尺段距離就會產生一個ΔL的誤差，該誤差的大小和符號不變，量的尺段越多誤差的積累也就越大。可以對鋼尺進行檢定，求出尺長改正值，對丈量的結果進行改正；水準測量中所用水準儀的水準軸不嚴格平行于視準軸，使尺上讀數總是偏大或偏小，水準儀到水準尺距離越遠誤差也就越大，可以采用使前視尺和后視尺等距的方法加以消除；水平角測量中，經緯儀的視準軸與橫軸、橫軸與豎軸不嚴格垂直的誤差可以用盤左、盤右兩個位置觀測水平角取平均值加以消除；三角高程測量中，地球曲率和大氣折光對高差的影響可以采用正覘、反覘取平均值加以消除。

系統誤差主要來源于測量儀器及工具本身不完善或者外界條件等方面，它對觀測值的影響具有一定的數學或物理上的規律性。如果這種規律性能夠被找到，則系統誤差對觀測值的影響則可以改正，或采用適當的觀測方法加以消除或減小其對觀測值的影響。

2.偶然誤差

在相同的條件下對某一量進行一系列的觀測，所產生的誤差大小和符號沒有一定規律，這種誤差稱為偶然誤差。

產生偶然誤差的原因很多，如儀器精度的限制、環境的影響、人們的感官局限等。如距離丈量和水準測量中在尺子上估讀末位數字有可能大一些也可能小一些，水平角觀測的對中誤差、瞄準誤差、讀數誤差等，這些都是偶然誤差。觀測中應力求使偶然誤差減小到最低限度。偶然誤差從表面上看似乎沒有規律性，但從整體上對偶然誤差加以歸納統計，則顯示出一種統計規律，而且觀測次數越多，這種規律性表現得越明顯。偶然誤差具有如下特性：

（1）有限性。在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。

（2）集中性。絕對值小的偶然誤差，比絕對值大的偶然誤差出現的機會多。

（3）對稱性。絕對值相等符號相反的偶然誤差，出現的機會相等。

（4）抵償性。當觀測次數無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨于零。

由于系統誤差是可以并且必須改正的，所以測量結果中的系統誤差大多已經消除，剩下的主要是偶然誤差。如何處理這些帶有偶然誤差的觀測值，求出最可靠的結果，分析觀測值的可靠程度是本章要解決的問題。

3.粗差

在測量工作中，除上述兩種性質的誤差外，還可能發生粗差。例如：鋼尺丈量距離時讀錯鋼尺上注記的數字。粗差的發生，大多是因一時疏忽造成的。粗差的存在不僅大大影響測量成果的可靠性，而且往往造成返工，給工作帶來難以估量的損失。粗差極易在重復觀測中被發現并予以剔除。顯然，粗差的產生是與測量人員的技術熟練程度和工作作風有密切關系的，技術生疏或者工作不認真等直接影響成果的質量，并容易產生錯誤。測量成果中是不允許有錯誤的，錯誤的成果應當舍棄，并重新觀測。

二、評定精度的指標

所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散的程度。若兩組觀測值的誤差分布一樣，則說明兩組觀測值的精度一致。為了衡量觀測值的精度高低，可按上節的方法制作誤差分布表、直方圖或誤差分布曲線來進行比較，但在實際工作中，這樣做比較麻煩，有時甚至很困難。因此，在實際測量工作中，更多的是采用以下幾個指標來衡量觀測值的精度。

1.中誤差

在相同的條件下，對某一量進行n次觀測，各觀測值真誤差平方和的平均值開平方，稱為中誤差，用m表示，即

觀測值中誤差m不是個別觀測值的真誤差，它與各真誤差的大小有關，它描述了這一組真誤差的離散程度，突出了較大誤差與較小誤差之間的差異，使較大誤差對觀測結果的影響表現出來，因而它是衡量觀測精度的可靠指標。

【例1-2】 對真值為125°32′21″的角進行兩組觀測，每組等精度觀測5測回，結果見表1-4。試計算兩組觀測值的中誤差。

解：按式（1-12）在表中分別計算m1和m2，結果見表1-4。

誤差大小是以其絕對值來比較的。|m1|＞|m2|，因此第一組觀測值的精度比第二組低。

2.極限誤差

由偶然誤差特性第（1）條可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，這個限值就是極限誤差。根據偶然誤差的大小計算其出現的概率，可得以下關系式：

即絕對值大于中誤差、大于2倍中誤差、大于3倍中誤差的偶然誤差，其出現的概率分別為32%、4.5%和0.27%。在370個偶然誤差中，大于3倍中誤差的偶然誤差可能只出現一個，而在實際的有限次數觀測中，可以認為大于3倍中誤差的偶然誤差幾乎是不會出現的。所以，通常將2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的極限值Δ限，稱為極限誤差或允許誤差。即

在測量工作中，如果觀測值的誤差超過了允許誤差，那就可以認為它是錯誤，相應的觀測值應舍去并進行重測，這是測量工作必須要遵守的準則。

3.相對誤差

凡是能表達觀測值中所含有的誤差本身之大小數值的誤差稱為絕對誤差，如真誤差、中誤差和極限誤差等。而在測量工作中，有時用絕對誤差并不能完全表達測量精度的高低。例如，分別丈量了100m和200m兩段距離，中誤差均為±0.02m，雖然兩者的中誤差相等，但兩者丈量的精度卻不一致，因為誤差大小與各自的長度有關。在這種情況下，必須采用相對誤差來衡量它們的精度。將絕對誤差除以相應的觀測量，并化成分子為1的分式，這個分式就是相對誤差。即

依此式計算，上述例子中

K1＞K2，說明前者比后者精度低。

三、算術平均值及其中誤差

1.算術平均值

設在相同的觀測條件下對某量進行了n次等精度觀測，其觀測值為L1，L2,…,Ln，則該量的算術平均值X為

式中 ［L］——所有觀測值之和。

根據偶然誤差的抵消性可知，當觀測次數無限增大時，偶然誤差的算術平均值趨近于零，此時觀測值的算術平均值X將趨近于真值L。但在實際工作中，觀測次數總是有限的，因此，可以認為算術平均值是一個與真值最接近的值，是一個比較可靠的值，稱之為真值的最或是值。

在測量成果整理中，由于要將算術平均值作為觀測量的最后結果，所以必須求出算術平均值的中誤差，以評定觀測精度。

2.算術平均值的中誤差

在測量成果整理中，由于要將算術平均值作為觀測量的最后結果，所以必須求出算術平均值的中誤差，以評定觀測精度。

根據線性函數誤差傳播定律，可得算術平均值的中誤差M為

式中，m1、m2、…、mn為各觀測值的中誤差。由于各觀測值是等精度觀測，中誤差為m,即m1=m2=…=mn=m，上式可寫成

即

式 （1 16）表明：算術平均值的中誤差是觀測值中誤差的倍。由此可知，增加觀測次數能提高最后觀測結果的精度。但當觀測次數達到一定值時，再增加觀測次數，實際上其所得效益將消失在操作所產生的殘留系統誤差中，所以毫無意義。