3．1　變形與應(yīng)變的概念

3．1．1　相對(duì)位移張量及其分解

如圖3．1．1所示，在外部作用下，可變形固體內(nèi)部各點(diǎn)的位置可能發(fā)生變化，即發(fā)生位移。圖中實(shí)線為物體的初始輪廓線，虛線是位移發(fā)生后的輪廓線，物體中A、B點(diǎn)發(fā)生位移后的位置為A′、B′。因此，只要確定物體中每個(gè)點(diǎn)的位移，即可知道整個(gè)物體的位移，這個(gè)位移可以用坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)表示，即

式中：u、v、w分別為坐標(biāo)x、y、z方向的位移。

如果我們用張量分量的形式來(lái)表示上式，則為

式中：u1、u2、u3分別為x、y、z方向的位移u、v、w；x1、x2、x3分別為坐標(biāo)x、y、z。

可變形固體的位移可以分為兩種類型：①剛體位移，即不改變物體內(nèi)各點(diǎn)相對(duì)位置的位移，剛體位移又可以分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分；②變形，即改變物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位置的位移。以下我們先研究物體中任一微小線段的位移，以此區(qū)分剛體位移和變形。

如圖3．1．2所示，P0（x0，y0）、P（x，y）是發(fā)生位移前物體內(nèi)相鄰的兩點(diǎn)，由P0到P的矢量為S。u0、u分別為P0、P點(diǎn)發(fā)生的位移。P′0（x′0，y′0）、P′（x′，y′）是發(fā)生位移后物體內(nèi)相鄰的兩點(diǎn)，由P′0到P′的矢量為S′。由圖3．1．2可知：

即

因此，位移發(fā)生后的矢量S′可以用原矢量S與其端點(diǎn)的位移來(lái)表示。端點(diǎn)位移矢量之差為

由式（3．1．2），假設(shè)位移ui為坐標(biāo)xj的單值連續(xù)函數(shù)，可將P點(diǎn)位移在P0點(diǎn)按照泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，即

式中：Sj為原線段矢量沿j方向的分量；o（Sj）為一階以上的高階小量，可以忽略。將式（3．1．6）代入式（3．1．5），并寫(xiě)成分量形式，得

上式中的ui，j稱為相對(duì)位移張量。式（3．1．7）表明，線段矢量各方向的變化量δSi可以由原線段矢量Sj和相對(duì)位移張量ui，j來(lái)表示。

由圖3．1．2可知，剛體位移中的平動(dòng)部分不改變線段矢量的大小和方向，即與式（3．1．7）中的δSi無(wú)關(guān)，所以相對(duì)位移張量ui，j中只包含轉(zhuǎn)動(dòng)和變形部分，它們可以通過(guò)張量分解得到。任何一個(gè)二階張量都可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量，對(duì)相對(duì)位移張量進(jìn)行分解，可以得到

上式右端第1部分為對(duì)稱張量，稱為應(yīng)變張量，用εij表示，第2部分為反對(duì)稱張量，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)張量，用ωij表示，因此有

以下將說(shuō)明，轉(zhuǎn)動(dòng)張量ωij反映了微元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，矢量S在轉(zhuǎn)動(dòng)前后的長(zhǎng)度（模）相等，即｜S′｜＝｜S｜，因此

化簡(jiǎn)上式并略去高階小量，得

將式（3．1．7）代入式（3．1．13），得

在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)上式，得

因?yàn)镾是任意線段，所以式（3．1．15）成立的條件是關(guān)于矢量分量Si的各項(xiàng)系數(shù)都必須為0，即要求：

也就是說(shuō)，微元體剛體轉(zhuǎn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的相對(duì)位移張量必為反對(duì)稱張量。反之也成立。

由轉(zhuǎn)動(dòng)張量的表達(dá)式（3．1．11），可以驗(yàn)證，ωij是反對(duì)稱張量，因此它所導(dǎo)致的微元體位移是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。再將式（3．1．16）代入應(yīng)變張量的表達(dá)式（3．1．10），可以驗(yàn)證，當(dāng)微元體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，εij等于0，這說(shuō)明應(yīng)變張量與微元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)，即只和變形有關(guān)。下節(jié)將具體說(shuō)明應(yīng)變張量的物理意義。

3．1．2　應(yīng)變張量的物理意義

對(duì)于彈塑性力學(xué)來(lái)說(shuō)，主要關(guān)心的是不包含剛體位移的純變形。純變形時(shí)任意矢量S在各個(gè)坐標(biāo)方向的變化可以用與式（3．1．7）類似的公式求解，但需要除去剛體位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）部分，即將相對(duì)位移張量代之以應(yīng)變張量，得

當(dāng)矢量S平行于x軸時(shí)，S1＝｜S｜，其余為0，所以

可見(jiàn)ε11表示x方向的線應(yīng)變（單位長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)量），同理ε22、ε33分別為y、z方向的線應(yīng)變。

如果兩個(gè)矢量S1和S2變形前分別平行于x、y軸，i、j分別為x、y軸方向的單位矢量，則

如圖3．1．3所示，S1和S2變形后分別為

變形后兩個(gè)矢量的夾角的余弦為

化簡(jiǎn)上式，并略去高階小量后得

上式右端第1項(xiàng)的含義為O點(diǎn)x軸方向位移u隨著y坐標(biāo)的變化率，第2項(xiàng)為O點(diǎn)y軸方向位移v隨著x坐標(biāo)的變化率，即

所以有

假設(shè)互相垂直的矢量S1和S2在變形后的夾角改變量為α，考慮小變形情況下α為一小量，因此有

即

可見(jiàn)ε12表示變形后x、y軸之間夾角的改變量的一半。在材料力學(xué)中，該夾角的改變量稱為切應(yīng)變?chǔ)?span id="7dgeshc" class="subscript">xy，所以有

與以上推導(dǎo)過(guò)程類似，還可以得到應(yīng)變分量ε23、ε31的含義分別為變形后y、z軸，z、x軸之間夾角改變量的一半，即

綜上所述，三維問(wèn)題時(shí)各應(yīng)變分量為

式中：εx、εy、εz為正應(yīng)變；γxy、γyz、γzx為切應(yīng)變；εij（i，j＝1，2，3）則由式（3．1．10）計(jì)算，因此式（3．1．10）又稱為應(yīng)變位移關(guān)系式，簡(jiǎn)稱幾何關(guān)系，其中各個(gè)分量的下標(biāo)1、2、3也可用x、y、z代替，即