1.2　風輪建模

1.2.1　風能的計算

由流體力學可知，單位體積氣流所含能量可以表示為

式中　m——氣體的質量；

v——氣體的速度。

則穿過橫截面積為S的氣體體積V可以表示為

設空氣密度為ρ，則該空氣的質量可表示為

則速度為v的風，在經過橫截面積為S處的風能表達為

從能量轉換的角度來看，風力發電的原理是通過風輪將風能轉換為機械能，再通過發電機將機械能轉化為電能。1926年，德國物理學家Albert Betz提出了第一個氣動理論——Betz基礎動量理論。Albert Betz假定風輪是理想的，即它沒有輪轂，具有無限多葉片，氣流通過風輪時沒有阻力；此外，假定氣流經過整個風輪掃掠面時是均勻的，并且氣流通過風輪前后的速度為軸向方向。

如圖1-2所示，由功的定義可知，風能的機械能僅由空氣的動能降低所致，因此v1＞v2，S1＜S2，假設氣流是不可壓縮而且連續的，故有S1v1=Sv=S2v2。

由歐拉定理，風作用在風輪上的力可以表示為

則風輪吸收的功率為

風輪吸收的功率是由動能轉換而來的，從上游至下游動能的變化為

由于P=ΔE，則可得到

將式（1-8）分別代入式（1-5）和式（1-6），則可以得到作用在風輪上的力F，以及風輪吸收的功率P為

對于給定的風速v1，以v2為變量，將式（1-9）對v2微分可得

令式（1-10）等于0，可得到兩個解：v2=v1/3，對應于最大功率；v2=-v1，沒有物理意義。將v2=v1/3代入功率P的表達式（1-9），則可得最大功率表達式為

將式（1-11）除以氣流通過掃掠面S時風所具有的動能E，可以得到風輪的理論最大風能利用系數，即

式（1-12）即為著名的貝茨理論的風能利用極限值。從式（1-12）可以看出，風輪所獲取的風能是有限的，就算能量無損失且空氣流是理想的，風能利用效率也只能達到0.593。在實際中，能量轉換因發電機和風輪的不同而有差異，由于能量的轉換將導致功率下降，風輪的實際風能利用系數遠達不到0.593，基本為0.2～0.5。

1.2.2　風輪的特性系數

風輪的特性系數主要有風能利用系數CP、葉尖速比λ、轉矩系數CT。

1.風能利用系數CP

風能利用系數可以衡量風輪從風能中捕獲能量的多少，它的數學表達式為

式中　P——實際捕獲得的功率，W；

ρ——空氣密度，kg/m3；

v——風速，m/s。

S——風穿越面積。

CP值越大，說明風輪吸收的風能越大，效率就越高。風能利用系數CP是槳距角β和葉尖速比λ表示的函數，彼此關系如圖1-3所示。

從圖1-3中可得出兩個結論：①對于任意λ，槳距角β=0°時，對應的CP為最大值，并隨著槳距角β的增大而減小；②對于一個確定的β，此時存在唯一的最佳葉尖速比λopt，對應的風能利用系數記為CPmax，此時系統轉換效率最高。

2.葉尖速比λ

風輪在不同風速下的狀態用葉尖速比描述。葉尖速比為葉片的葉尖線速度與風速之比，即

式中　n——風輪的轉速，r/s；

ω——風輪的角頻率，rad/s；

R——風輪葉片的半徑。

3.轉矩系數CT

風能利用系數CP與葉尖速比λ之比稱為轉矩系數，即

式中　T——風輪轉矩。

1.2.3　最大風能捕獲原理

由式（1-14）可知，葉尖速比λ與風速、風輪的轉速有關，相同的風速下，不同的風輪轉速會得到不同的葉尖速比，從而得到不同的風能利用系數CP，風輪輸出不同的功率P。若想獲得最大風能利用系數CPmax，追蹤最佳功率曲線，必須在風速變化時實時控制風輪的轉速ω，保持最佳葉尖速比λopt。

風輪的功率P可用風輪轉矩T和轉速ω來表示，即

由式（1-16）可以得出，風輪的最大功率P和轉矩T分別與轉速ω的三次方和二次方成正比例關系，實質上風輪的功率曲線與轉矩曲線是一致的，只是體現的角度不同而已。風輪功率特性曲線如圖1-4所示。