2.1　復雜系統

2.1.1　復雜系統特性

復雜系統是相對簡單系統而言的，具體是指子系統種類多并有層次結構，各子系統之間關聯關系復雜的系統。在一般系統特性的基礎上，復雜系統又具有以下特性。

1.整體涌現性

復雜系統內部各要素之間相互聯系和影響，共同形成一個具有復雜結構和功能的有機整體。復雜系統從無到有或從簡單有序到高階有序的自發形成過程稱為涌現，涌現是一個因緣和合情形下，不受外界意志力影響的自律性過程，這個過程的產出物具有整體大于部分直接加總的特性。復雜系統整體不是各要素的簡單疊加，而是通過各要素的非線性作用，形成唯有整體才有而孤立的各要素及其總和不具有的特性，即整體大于各組成部分之和，這種特性也稱為整體涌現性。

2.關聯非線性

非線性是復雜系統的一個重要特征，是復雜系統復雜性產生的根源。復雜系統各子系統之間的關聯關系呈現非線性特征，非線性的存在使得系統的整體可大于各組成部分之和。復雜系統中的分岔、混沌、奇異吸引子等動態行為，本質上都是非線性的。

3.不確定因素

不確定因素是除非線性之外，復雜系統的另一個重要特征，復雜系統的參數和子系統結構本身均存在不確定性，復雜系統與外部環境的信息、能量交換及內部各子系統之間的相互作用關系也存在不確定性。

4.多層次性

復雜系統的多層次性是區別于簡單系統的最根本標志。簡單系統往往不需要劃分層次即可將系統各部分組織在一起，復雜系統由于存在整體與局部的關系，必須按不同層次劃分才形成完整的系統，低層次的子系統通過非線性作用相互聯結共同形成高層次子系統。

5.自組織適應性

自組織適應性是復雜系統形成的主要推動力，適應性造就復雜性。復雜系統的自組織適應性體現在，系統通過與外部環境的資源交換及內部各子系統之間的非線性相互作用，不斷適應環境改變自身結構，自發地由無序狀態向有序狀態轉變，形成時間、空間和功能上的新型有序復雜結構。系統由遠離平衡態向平衡態轉變的臨界態上，并不是遵循平緩、漸進的正常演化方式，而是以混沌、突變的方式演化，因此，可在系統重組之后產生新的系統結構和功能。

2.1.2　復雜系統理論

復雜系統理論是多種學科理論融合的產物，在系統科學研究中占有十分重要的地位。復雜系統理論是從數學、化學、物理學、系統學、社會學、環境科學和生物學等多種基礎學科中引申出來的綜合性科學理論，其理論涉及系統理論、自組織理論和非線性科學等諸多理論范疇，具體包括一般系統論、控制論、信息論、耗散結構理論、協同學、突變論、超循環理論、分形理論、混沌理論和運籌學等多種理論和學科。這些理論的共同特征在于，它們探討的自然或人文現象都具有非線性特征，而且非線性系統的存在與演化的動力都來自于系統自組織作用。根據復雜系統科學的研究領域及其方法論的內容，借鑒錢學森1981年提出的系統科學體系框架和李曙華2007年提出的生成論系統科學體系框架，將復雜系統科學理論體系結構歸納，如圖2.1所示。以下具體介紹耗散結構理論、熵理論、協同學、分形理論、混沌理論與突變論等復雜系統理論和方法。

1.耗散結構理論

1977年，Nicolis G.和Prigogine I.創立了耗散結構理論，Prigogine I.因此榮獲諾貝爾獎。耗散結構理論是新三論之一[133]。以Prigogine I.為首的布魯塞爾學派，從探討化學反應的機制開始，研究遠離平衡的系統通過非線性相互作用形成的有序結構。這種結構必須與外界交換物質和能量才能得以維持，因此，這種結構被稱為耗散結構。耗散結構理論與突變論和協同學理論一起，共同研究有序和無序的轉化機制上，成為推動系統科學發展的重要理論基礎。

熱力學第二定律指出，有序退化為無序是宇宙不可逆轉的宿命。但生物學卻不斷提出證據證明，生物的演化是從簡單到復雜、從復雜到更復雜的進化過程。熱力退化論與生物進化論彼此矛盾，形成一對難解的悖論，耗散結構則是統一這個矛盾的橋梁。

耗散結構的形成按照“無序→混沌→簡單有序→混沌→高階有序”的過程而進行。在耗散結構的演化過程中，混沌狀態的出現是耗散結構能否成形的關鍵。至于混沌到有序的過渡，則是一個以內因為依據、以外緣為條件的自組織過程。自組織就是內因與外緣互相匹配因緣和合情形下的自發性組織作用。成功的因緣和合造就新的有序結構，否則，系統有可能在混沌之后，面臨退化潰散。

耗散結構一般以貝納花紋作為實例。貝納花紋出現在以下的物理實驗中：在平底的金屬盤中裝入液體，從底部均勻而緩慢加熱，到達某一臨界溫度時，盤中液體會出現布滿盤面四方連續的蜂巢式六角形花紋；若溫度維持不變，花紋會持續存在；當熱源移除，花紋就立即消失，如圖2.2所示。

貝納花紋的產生，內因是液體熱脹冷縮的物理特性，外緣則是來自盤底的均勻而持續的熱源。這一組因緣相互和合后，就會使液體內部發生縱向對流運動。液體受熱后，下層的高溫水分子會發生上浮運動，但上浮過程中遭遇正要往下沉的上層低溫分子的阻擋，而無法繼續上升，部分下層的水分子終究會碰到上層也正要上浮的高溫分子，這時它們就會自動串聯在一起往上沖，于是不同層次間要上浮的水分子，在不斷重復這種串聯動作的情形下，最后就形成一條條不受干擾直達水面的通道。要下沉的水分子，也經由同樣但方向相反的過程，形成直達盤底的通道。這些上升與下沉的通道一旦形成，彼此還會自動耦合成一對循環回路，來滿足上下對流的需要。這些垂直運動的循環回路，還會再經由相互推拉、分拆、匯流等既競爭又合作的混沌過程，使兩兩相鄰的回路發展出彼此協調相容的公用通道，于是一個水平對稱的最佳動態平衡結構就此產生，也就是在盤面上肉眼可見的六角形蜂巢圖形。

貝納花紋形成過程中，所謂子系統功能是液體熱脹冷縮的物理性，整體新結構是上升下降垂直通路的出現，整體新功能是這些通路配對耦合成循環回路，使液體可上下對流而達到散熱的目的，更高層整體新結構則是眾多垂直對流回路經過競爭與合作，最后達到平衡狀態所顯現的蜂巢圖案。

耗散結構理論以熱力學第二定律為理論依據，認為平衡態是系統最無序的狀態，此時系統熵最大，外界對該系統輸入負熵，才可以使系統總熵減少，系統由相對無序狀態向相對有序狀態轉化。對于開放系統，以dS表示總熵變，熵產為diS，系統內外熵交換為deS，則系統總熵變可表示為（圖2.3）

根據耗散結構理論，開放系統與環境進行物質和能量交換的過程中，可能使系統產生負熵過程。形成耗散結構必須滿足以下三個條件：①系統必須是遠離平衡態的開放系統，不斷與外界大量交換能量與物質來維持系統形成新的有序結構；②系統內部必須具有能夠起放大作用的連鎖反應機制；③系統有漲落的觸發，激化連鎖反應，以將形成中的某種新秩序自發地擴散成為新的系統性穩定結構。水土資源系統內部各要素之間相互關聯、相互作用形成連鎖反應機制，系統不斷和外部環境交換能量、物質和信息，形成系統負熵流，以抵消系統本身因熵增而呈現的無序狀態，形成新的有序的系統結構，故水土資源系統即為一種耗散結構開放系統。耗散結構理論自創立以來推動了物理學、化學、生物等多學科領域系統演化研究的發展，對復雜系統理論產生了深遠的影響。

2.熵理論

熵是表示系統狀態的函數，可以作為系統狀態無序度、不確定性和不均勻性的度量，在不同研究背景下有著不同的具體含義。在熱力學中，熵是不可用能量的度量；在統計物理中，熵是系統微觀態數目的度量；在信息論中，熵是隨機事件不確定程度的度量。熵理論來源于熱力學，19世紀中葉，德國物理學家Clausius首先提出熵的概念。1948年，C.E.Shannon借鑒熱力學的概念，把Boltzmann熵的概念引入信息論中，認為信息中排除冗余后的平均信息量為信息熵。

水土資源研究本質上是對水信息的研究，信息熵理論在水土資源系統演化信息分析中有重要的作用，可作為系統復雜程度的度量。信息熵的計算為

3.協同學

協同學最初是德國物理學家Hermann Haken于20世紀70年代所發展的理論。協同學主要探討遠離平衡態的開放系統，即耗散結構系統如何在適當的外在環境條件下，根據其內在子系統之間的運行機制，經由競爭與合作，完成系統相變的自組織過程。相對于耗散結構理論與突變論對于系統相變的宏觀描述，協同學建立了復雜系統自組織過程中，微觀元素的互動與宏觀系統相變之間的具體關系，從微觀到宏觀的過渡過程中，描述了復雜系統從無序到有序轉變的共性。系統協同程度一般通過協同序參量計算判別，協同序參量可以用最大信息熵表達。協同作用是指復雜開放系統中各子系統之間進行信息交流和相互作用、相互制約而產生的整體效應。協同學基本原理和概念如下：

（1）支配原理。協同學發現雖然耗散系統具有很多組成元素，但對系統相變具有決定性影響力的元素只占少數。這些關鍵分子（慢變數）在耗散系統演化過程中扮演主導角色，其他的眾多變數（快變數）則扮演被支配的角色，這種現象在協同學中稱為支配原理。快、慢變數的差異在于，快變數是弱勢變數，由耗散結構守常機制所控制，無法凝聚系統相變所需的能量；而慢變數則是強勢變數，也是應變機制的核心，具有凝聚能量的能力，可帶領系統走向新的有序。所以掌握系統中關鍵分子的動態是了解系統相變行為的關鍵。

（2）序參數原理。協同學的另外一項發現是耗散結構面對劇變的環境，系統結構所進行的解構與重組過程，其實都遵守一項潛規律：①盡快恢復系統的穩定；②如不能恢復原有的穩定狀態，那就根據系統元素的內在特性，重建一個可在新環境中穩定存在的新結構。換句話說，耗散結構演化的基本規律是追求穩定性。

這一規律在相變過程中起到以下作用：①使慢變數得以在失穩的結構中脫穎而出；②在眾多群雄競逐的慢變數中，使功能與目標相同的慢變數，具體說應是以慢變數為核心所形成的新結構雛形，出現協同合作的現象，形成能夠凝聚動能的強勢核心；③啟動強者愈強的正回饋機制，驅使快變數也一起投入新結構的建構工作；④新的結構形態通過自我復制與長程擴散作用，帶領系統跨越臨界門檻，完成結構的相變。赫曼哈肯把這種追求穩定性的潛規律稱為序參數，并且認為序參數在系統演化過程中像一只隱藏的無形之手，指導支配原理的運作。當系統跨越相變門檻后，抽象的序參數會轉化為可具體度量與觀測的指標。協同學把序參數在系統演化過程中所發生的作用稱為序參數原理。

（3）控制因子、慢變數、快變數、序參數。協同論以觀察耗散系統微觀組成元素的行為作為入手點。液體分子受外來熱源加熱后，彼此間分合運動的動力，來自分子重力、黏滯力、熱擴散力等分子間的相互作用力。這些內因與外緣是系統相變的控制因子。分子受熱后的運動方式也可想象有兩種形態：一種只在自己所屬的那一層液體中振蕩，這就是所謂快變數的運動形態；另一種則累積較大能量破層而出往上沖，這就是所謂慢變數的運動形態。從耗散系統追求穩定性的規律來看，未受熱前液體是宏觀均勻同溫的穩定狀態；受熱之后，溫度就不再均勻穩定。要恢復穩定必須散熱，而慢變數破層而出的行動最后導致對流，就在實現通過散熱恢復系統穩定的規律。但是熱源持續不斷，為了有效地持續散熱還必須形成固定的對流通道才行；于是系統內部便形成無數的對流通道，競爭也就因此發生。也就是說在這些競爭的通道中，有些因彼此干擾不太通暢，有些則彼此合作形成流量更大、更通暢的回路，接下來發生的是：①由于通暢的回路散熱效果較強，因此吸引更多的液體分子選擇加入它們的陣容，于是循環催化、強者愈強的正反饋效應開始發生，這些強勢回路也就因液體分子的自發性選擇作用而穩定下來；②由于強勢回路不可能單獨存在，它所帶動的分子運動也會在它周邊發展出新的對稱性回路結構，或導正相鄰回路的結構形態使它們與自己對稱，因而發揮自復制的擴散作用，在一定范圍內形成一個以它為復制樣板的巨型結構體；③最后，液體各處所形成的這類巨型結構，彼此經由接觸界面的相容性協調，一個完整的宏觀新耗散結構體就此形成。上述②與③兩過程又稱為協同作用的長距離干涉效應，其中所出現的相容性協調過程，反映出耗散結構子系統間具有共生演化的特性。

4.分形理論

分形理論是20世紀70年代由美籍數學家Benoit Mandelbrot正式定名的理論。理論的創新性在于發現非線性系統的局部與整體相似的特征，分形論揭示了隱藏在復雜系統看似混沌的外部形態之下，精細的內在有序結構如何生成的規律，擴展了人們對非線性系統的研究深度。目前，分形理論已廣泛應用于非線性學科中，在水土資源配置方面，已用于預測水文時間分維、水文序列演化過程等方面。

分形理論主要涉及兩大原理：①自相似原理，復雜系統的整體與局部，局部與系統元素等各個層次，彼此在結構形態上具有相似性；②迭代生成原理，自相似性的形成是來自某種簡單規則的循環復制。

分形理論通過分形維數描述分形集合的幾何特征。分形維數從Hausdorff維數引申而來，其理論突破了一般拓撲集整數維的概念，可實現對系統復雜程度的定量描述。分形維數主要分為盒維數、信息維數、相似維數和關聯維數等多種維數概念，從不同角度反映復雜系統的特性。

5.混沌理論

混沌是確定性系統的偽隨機現象，混沌理論所探討的是非線性系統所表現的內在隨機行為。前述的耗散結構、突變、協同、分形等其實都屬于復雜系統的混沌現象中，特定條件下所呈現的特征。混沌理論最初始于拓撲動力學思想，混沌理論發展起始于20世紀50—60年代，大量混沌現象被發現。1963年，美國麻省理工學院教授Edward Lorenz在氣象預測研究時第一次由確定系統導出混沌解，成為混沌理論正式形成的標志。20世紀80年代，混沌理論進入定量分析階段，Grassberger等提出重構動力系統理論方法，從時間序列中提取分數維、Lyapunov指數、Kolmogorov熵等混沌特征值。20世紀90年代以后，混沌理論開始與多種學科相融合。

混沌是非線性動力系統特有的一種運動形式。相對于前述聚焦于特定面向的理論，混沌理論從更宏觀的角度來觀察復雜系統的歷史發展軌跡，對于復雜系統的相變，在前述理論基礎上，混沌有其獨特的性質：

（1）初始值效應。混沌的演化路徑具有對初始值敏感的特性。這一特性通常有兩種表現方式：①蝴蝶效應，主要強調系統早期的某個不起眼的偶然隨機現象，可能成為系統狀態發生巨變的原因；②路徑依賴效應，任一階段的發展都深受系統過去歷史的影響，這種產業群聚效應就是復雜系統演化上的路徑依賴現象。

（2）跨臨界分岔。系統會受外在環境影響而變得不穩定。每當外在變數（外緣）超越臨界值時，系統的內在變數的功能與結構就會發生質變，并使宏觀系統狀態發生相變。這種系統相變通常會出現多于一種的可能結果，所以稱為跨臨界分岔。至于在分岔點上，系統究竟會走上哪一條岔路，則決定于上述的初始值效應。

歸納來說，初始值效應反映出混沌演化過程的偶然性，而跨臨界分岔效應則反映演化過程的必然性；這兩種效應相互銜接，就把復雜系統的相變過程中偶然與必然關系統一了起來。

混沌理論為非線性系統的定量化度量提供了途徑，一般非線性系統的混沌識別是通過Lyapunov指數來實現。設一維動力系統具有如下形式：

在系統迭代過程中，導數的值不斷變化，采用平均值表示系統整體的軌道運行情況。一個動力系統，二個靠近的初值演化的軌道隨時間按指數方式分離，設平均每次迭代的指數分離中指數為λ，則迭代n次后兩點距離計算如下：

當ε→0時，對式（2.4）求極限，得

對m維的離散動力系統，根據式（2.5）可得到系統的Lyapunov指數譜，λ1≥λ2≥…≥λm，其中，λ1為系統的最大Lyapunov指數，若λ1＞0，則系統為混沌系統。

6.突變論

突變論是法國數學家Rene Thom于20世紀70年代初期所發展的研究不連續現象的理論。突變論以拓撲學和奇點理論為基礎，描述系統在臨界點的狀態，研究非連續性突變現象。在耗散結構論基礎上，突變論所進一步補充的是：在“無序→混沌→有序”或簡單的“有序→混沌→高階有序”的演化過程中，針對系統在臨界點前后相變的發生過程，提出因果說明。突變論將系統狀態定義為因變數，對系統狀態具有控制與改變力量的各種內因、外緣因子定義為自變量，建立這兩方面變量的關系函數。當系統處于穩定態時，關系函數有唯一值；系統處于不穩定態時，自變量有一定的變化范圍，關系函數存在一個以上的極值。

初等突變論主要研究勢函數，根據勢函數將臨界點分類，分析臨界點附近的不連續特征。初等突變主要有7種基本模型，分別為折疊突變、尖點突變、燕尾突變、蝴蝶突變、橢圓臍點突變、雙曲臍點突變和拋物線臍點突變。

以尖點突變為例探究初等突變性質，步驟如下：

（1）給出表征系統全局性質的勢函數V（x）。勢函數可為一元函數也可為多元函數，根據具體系統性質而定。尖點突變系統的勢對應的是2個控制參數的一維連續動力系統，勢函數表示如下：

式中　x——狀態變量；

u、v——控制變量。

（2）求得平衡曲面M。找出方程?xV=0確定的所有平衡點組成的平衡曲面M，曲面M上的點集是勢函數V（x）的全部臨界點，即系統的全部平衡點。尖點突變系統的平衡曲面M為

（3）找出奇點集S。奇點集S是由勢函數Vx的全部退化臨界點集M的一個子集退化臨界點滿足條件：

?xV=0

Δ≡det[H(V)]=0

式中　H（V）——V的Hessen矩陣。

尖點突變勢函數的Hessen矩陣行列式為

則奇點集S由以下方程組決定：

（4）找出分歧點集B。將奇點集S投影到控制空間C中（即由定義奇點集S的方程消去全部狀態變量），分歧點集B為控制空間C中所有使V的形式發生變化的點的全體。

尖點突變的分歧點集B是奇點集S在控制空間（u，v）上的投影，則式（2.8）消去狀態變量x，得

（5）決定在控制空間C中每點上V的形式。對由控制空間C所分成的各個區域中選取代表點進行討論。