第四節 監測數學模型

水工建筑物安全監測是判斷水工建筑物安全的耳目，它是水工建筑物學科中融水工結構學、儀器學、計算機學、現代數學等于一體的一個重要分支。國內外對水工建筑物安全監測都非常重視，美國、法國、俄羅斯、澳大利亞、意大利、加拿大、奧地利、葡萄牙等國均紛紛立法，將安全監測作為水工建筑物建設與管理中的一項必不可少的工作，以確保水工建筑物的安全。各國均廣泛開展了水工建筑物安全監測諸方面的研究工作，取得了不少行之有效的研究成果。

水工建筑物安全監測主要包括監測儀器、監測設計、監測施工、監測數據采集、監測資料整理分析、安全評價、安全監控等環節，它們構成了一個相互聯系、相互制約的完整的安全監測體系。其中，監測儀器是安全監測的基礎，監測設計是安全監測的關鍵，監測施工和監測數據采集是安全監測的保證，監測資料整理分析是安全監測的手段，安全評價與安全監控是安全監測的最終目的。

監測資料分析是水工建筑物安全監測的重要內容，一般采用定性分析和定量分析方法，其中定量分析主要采用安全監測數學模型。水工建筑物安全監測數學模型是針對水工建筑物效應量監測值而建立起來的、具有一定形式和構造的、用以反映效應量監測值定量變化規律的數學表達式。目前常用的主要有監測統計模型、監測確定性模型和監測混合模型這三大類傳統監測數學模型。這三類監測數學模型已在實際工程中得到檢驗，應用效果良好。

一、監測統計模型

監測統計模型是一種根據已取得的監測資料，以環境量作為自變量，以監測效應量作為因變量，利用數理統計分析方法而建立起來的、定量描述監測效應量與環境量之間統計關系的數學方程。統計模型以歷史實測數據為基礎，基本上不涉及水工建筑物的結構分析，因此它本質上是一種經驗模型。

水工建筑物監測效應量主要有變形類、溫度及應力應變類和滲流類。其中變形類監測效應量主要包括水平位移，垂直位移，接縫和裂縫開度，撓度和傾斜，固結等；溫度及應力應變類監測效應量主要包括混凝土應力、應變，混凝土溫度，基巖溫度，土石壩的孔隙水壓力、土壓（應）力、動力監測等；滲流類監測效應量主要包括滲流量，繞壩滲流，混凝土壩的揚壓力，土石壩的浸潤線，壩基滲水壓力，導滲降壓等。

（一）模型的構造

監測統計模型應反映影響監測效應量變化的主要因素，排除與監測效應量變化無關的因素。已有的水工建筑物知識和經驗表明，水工建筑物上任一點在時刻t的變形、應力等效應量主要受上下游水位（水壓）、溫度及時間效應（時效）等因素的影響，因此監測統計模型主要由水壓分量、溫度分量和時效分量構成。其模型的一般表達式為

式中：為監測效應量y在時刻t的統計估計值；為的水壓分量；為的溫度分量；為的時效分量。

1.水壓分量的構成形式

通過對水工建筑物在水壓作用下所產生的變形類、應力類效應量的分析表明，水壓分量的構成一般取為上游水位、水深或上下游水位差的冪多項式，即

式中：Hⁱ（t）為t時刻作用在水工建筑物上的水壓（上游水位、水深或上下游水位差），m；a_i（i≠0）為回歸系數，a_i均由回歸分析確定；w為水壓因子個數，一般取w=3～4。

當下游水位變化較大且上下游水位差不大時，應考慮下游水位變化對監測效應量的影響。此時應增加下游水位因子，即

式中：為t時刻的上游水位，m；為t時刻的下游水位，m。

2.溫度分量的構成形式

溫度分量取決于水工建筑物溫度場的變化，因此，溫度分量的構成形式與描述水工建筑物溫度場的方式密切相關。當水工建筑物內埋設有足夠多的溫度測點，且測點溫度可以充分描述溫度場的變化狀態時，可采用各溫度測點的實測溫度值作為溫度因子。此時溫度分量的構成形式可表示為

式中：T_i（t）為t時刻溫度測點i的溫度實測值，℃；b₀為回歸常數，b_i為回歸系數，b₀、b_i均由回歸分析確定；q為溫度因子數，此處q等于溫度測點個數。

當采用測點溫度作為溫度因子時，可能會因為溫度測點數量很多而導致溫度因子數量過多，不利于模型的求解。考慮到水工建筑物溫度場可以用若干個水平斷面上的平均溫度和這些斷面上的溫度梯度來描述，因此可采用平均溫度和溫度梯度作為溫度因子。此時，溫度分量的構成形式可表示為

式中：為t時刻水平斷面i上的平均溫度；T_ui（t）為t時刻水平斷面i上的溫度梯度；b_1i、b_2i為回歸系數，b_1i、b_2i均由回歸分析確定。

如果水工建筑物內無溫度監測資料，或雖有溫度監測資料但不足以描述溫度場變化，則無法采用實測溫度因子形式。考慮到當水工建筑物溫度場接近準穩定溫度場時，其溫度場變化主要受外界氣溫變化的影響，因此可以用外界氣溫變化來間接地描述水工建筑物內部溫度場的變化。由于水工建筑物內部溫度變化對氣溫變化存在滯后效應，因而氣溫變化對監測效應量的影響也存在滯后效應。為此，可采用監測效應量觀測日期前若干天氣溫的平均值作為溫度因子。此時，溫度分量的構成形式可表示為

式中：T_i（s-e）（t）為第i個溫度因子，觀測日（t）前第s天至第e天氣溫的平均值；q為溫度因子個數。s、e和q的確定，需要結合具體情況，經論證而定。

當有良好的水溫實測資料時，可在式（4-54）中增加水溫因子，形式與氣溫因子相同。

除上述3種溫度因子構成形式外，還可以考慮用諧量分析的方法來確定溫度因子的構成形式。也可以根據具體情況采用上述3種溫度因子的組合形式。

3.時效分量的構成形式

時效分量是一種隨時間推移而朝某一方向發展的不可逆分量，它主要反映混凝土徐變、巖石蠕變、巖體節理裂隙以及軟弱結構對監測效應量的影響，其成因比較復雜。時效分量的變化一般與時間呈曲線關系，可采用對數式、指數式、雙曲線式、直線式等表示。在建立監測統計模型時，可根據具體情況預置一個或多個時效因子參與回歸分析。時效因子一般可以采用如下8種形式中的一種或幾種來表示

式中：t₁為相對于基準日期的時間計算參數，一般取t₁=（觀測日序號-基準日序號）÷365。

因此，時效分量的構成形式可表示為

式中：c₀為回歸常數，c_i為回歸系數，c₀、c_i均由回歸分析確定；p為所選擇的時效因子個數，可取p=1～8。

必須說明的是，式（4-49）所示的統計模型是針對變形類和應力應變類監測效應量而言的。對于滲流類監測效應量，特別是對于靠近河流兩岸的水工建筑物，受降雨的影響比較明顯，而受溫度的影響較小，因此在滲流類監測效應量統計模型因子設置時，一般取為水壓、降雨和時效3類因子。由于水壓和降雨的變化對滲流類監測效應量的影響均存在滯后效應，因此水壓和降雨因子的構成形式類似于式（4-54）。

（二）模型的建立

監測統計模型的建立（求解）主要有兩種方法：多元回歸分析和逐步回歸分析。其中逐步回歸分析應用更為廣泛。

1.多元回歸方程的建立

水工建筑物監測效應量y（t）可以看作是一種服從正態分布的多元連續型隨機變量，其數學期望和方差分別記為E和σ²。設有n-1個影響監測效應量y（t）（因變量）的環境因子（自變量，如前所述的水壓、溫度和時效因子），記為x_i（t）（i=1，2，…，n-1）。若y（t）與x_i（t）（i=1，2，…，n-1）之間存在線性關系，則y（t）的條件數學期望E{y（t）|x₁（t），x₂（t），…，x_n-1（t）}的理論回歸方程為

式中：β_i為系數。

設x₁（t）、x₂（t）、…、x_n-1（t）分別有m次實測值（子樣），則根據這些實測值可建立回歸方程

式中：為監測效應量y（t）的回歸值，它是對母體y（t）在環境因子組合下的條件數學期望E的無偏估計；b_i（i=0，1，…，n-1）為回歸系數，它是對母體參數β_i（i=0，1，…，n-1）的估計。母體的方差σ²由方程（4-58）的剩余方差S²來估計。

當m&lt；n-1時，方程（4-58）不可解。當m&gt；n-1時，方程（4-58）有多個解。此時，為獲得方程（4-58）的最優擬合，可運用最小二乘法則，使實測值y（t）與回歸值的離差平方和Q為最小，即

由此可得到n-1個正規方程。聯立這n-1個正規方程即可求解出回歸系數b_i（i=1，2，…，n-1），然后可求出回歸常數b₀。按上述方法求出的b_i（i=0，1，…，n-1）是對母體參數β_i（i=0，1，…，n-1）的最小二乘估計，所得到的回歸方程是在n-1個因子、m×（n-1）次實測值的條件下y（t）的最優擬合回歸方程。

由于式（4-58）中自變量x_i（t）（i=1，2，…，n-1）的單位一般不一致，因此常需要對其進行無量綱處理，以便使回歸方程中的各回歸系數具有可比性。

2.逐步回歸方程的建立

上述所建立的多元回歸方程中包含了所有自變量（預置因子）。在這些自變量中，可能有些與因變量（監測效應量）之間沒有顯著關系，它們的存在將會降低回歸方程的效果和穩定性。因此，必須在回歸方程中剔除與因變量沒有顯著關系的自變量，建立最優回歸方程。

逐步回歸分析是一種建立最優回歸方程的最簡捷的統計分析方法。其基本思路是：先將和因變量相關程度最大的因子引入方程，再從余下的各因子中挑選和因變量相關程度最大的另一個因子進入方程。這樣按自變量對因變量作用的顯著程度，從大到小依次逐個地引入回歸方程，直到沒有顯著的因子可再引入回歸方程為止。引入新因子的每一步，都要對各因子作顯著性檢驗，若先引入的因子由于后面引入的因子而變得不顯著時，就應將它從方程中剔除。因此，引入和剔除因子都要進行顯著性檢驗，以確保引入的每一個因子都經顯著性檢驗合格。逐步回歸分析最終得到的回歸方程為

式中：k為最終入選回歸方程的因子個數，k≤n-1。

（三）模型的檢驗與校正

1.復相關系數R

復相關系數R是判斷回歸有效性的重要指標。

式中：為效應量y（t）的平均值。

復相關系數0≤R≤1。R越大，說明效應量y（t）與入選因子群x_i（t）（i=1，2，…，k）之間的相關程度越密切，回歸方程的質量越高。

2.剩余標準差S

剩余標準差S反映了所有隨機因素及方程外的有關因子對監測效應量y（t）的一次測值影響的平均變差的大小，它是回歸方程精度的重要標志。

剩余標準差S越小，說明回歸方程的精度越高，方程的質量越好。同時，S還是利用回歸模型進行監測效應量y（t）預報或對回歸方程質量進行預報檢驗的重要參數。

3.擬合殘差檢驗

從理論上講，回歸方程擬合值與實測值y（t）的殘差序列ε（t）（i=1，2，…，m）應為一個均值為0、方差為σ²的正態分布隨機序列。因此，如果經檢驗不符合上述條件，且殘差序列中存在周期項、趨勢項等規律性成分時，則需從預置因子集等角度對回歸方程作進一步改進。

二、監測確定性模型

監測確定性模型是一種先利用結構分析計算成果確定環境量（自變量）與監測效應量（因變量）之間的確定性物理力學關系式，然后根據監測效應量和環境量實測值通過回歸分析來求解修正計算參數誤差的調整系數，從而建立定量描述監測效應量與環境量之間因果關系的數學方程。

統計模型是一種基于歷史監測資料的經驗模型。當環境量超出了歷史監測資料的環境量范圍（如水庫水位遠大于建模的歷史水位）時，按歷史監測資料確定的統計模型可能難以準確解釋新的監測成果，也就是說統計模型的外延預報效果難以保證。因此，與統計模型相比，確定性模型具有更加明確的物理力學概念，能更好地與水工建筑物的結構特點相聯系，能取得更好的預報效果。但確定性模型往往計算工作量大，對用作結構計算的基本資料有較高要求。

（一）模型的構造

如前所述，水工建筑物上任一點在時刻t的變形、應力等效應量主要受水壓、溫度及時效等因素的影響，因此監測確定性模型也主要由水壓分量、溫度分量和時效分量構成。其模型的一般表達式為

式中：為監測效應量y在時刻t的估計值；為的水壓分量；為）的溫度分量；為的時效分量。

在確定性模型中，水壓分量和溫度分量的構造形式一般由結構計算成果（如有限元計算成果）來確定，時效分量的構造形式則采用經驗方式確定。

1.水壓分量的構成形式

取若干代表性水荷載（如壩前水深）H₁、H₂、…、H_m，根據物理力學理論關系，利用結構分析方法（如有限單元法），分別計算在上述代表性水荷載作用下，水工建筑物上準備建立確定性數學模型的測點k的監測效應量值，從而得到m組對應的水位監測效應量理論計算值（H_j，），j=1、2、…、m。

在水壓作用下，水工建筑物上所產生的變形類、應力類效應量一般與水壓（水深）的冪次方有關，即

式中：y_H為理論計算效應量值；H為水壓（水深），m；a_i為回歸系數；w為效應量與水壓相關的最高冪次，一般取w=3～4。

根據式（4-64）的結構形式，利用理論計算得到的m組水位—效應量值（H_j，），j=1、2、…、m，采用一元多項式回歸分析方法，可以求得式（4-64）中的回歸系數a_i和回歸常數a₀，從而得到確定性模型中水壓分量的構造形式，即

式中：Hⁱ（t）為t時刻作用在水工建筑物上的水壓（上游水位、水深或上下游水位差），m。

2.溫度分量的構成形式

水工建筑物上溫度作用所引起的效應量值的理論計算一般采用有限單元法進行。在水工建筑物有限元分析的計算網格上選擇q個有溫度監測值的結點，要求這些結點的溫度變化足以描述整個水工建筑物溫度場的變化。采用單位荷載法計算當代表性結點i溫度變化1℃，而其他結點溫度無變化時，在水工建筑物上準備建立確定性數學模型的測點處所產生的效應量值。當結點i的實際溫度變化為ΔT_i，而其他結點溫度無變化時，它在測點處產生的效應量值為ΔT_i。若所有q個具有溫度測點的結點的實際溫度變化分別為ΔT₁、ΔT₂、…、ΔT_q時，則測點處所產生的效應量值為

確定性模型中溫度分量的構造形式可表示為

式中：ΔT_i（t）為t時刻測點i的實際溫度變化。

3.時效分量的構成形式

由于時效分量的成因較為復雜，一般難以用物理力學方法確定其理論關系式，因此，在確定性模型中，時效分量的構造形式仍然采用式（4-55）和式（4-56）的統計形式。

（二）模型的建立

式（4-65）和式（4-67）是由理論計算確定的。在理論計算中，所選取的物理力學參數與工程實際情況一般是有差別的，因而按式（4-65）和式（4-67）計算出的水壓分量和溫度分量也與實際情況存在誤差，需要對其進行調整。

假設水壓分量的誤差主要由水工建筑物及基巖的彈性模量取值不準而引起，可以用一個調整系數Ф來調整這種因彈性模量取值不準而引起的誤差。這時，水壓確定性分量的表達式為

同理，也可假設溫度分量的誤差主要來源于水工建筑物及基巖的線膨脹系數取值不準，則定義一個調整系數Ψ，將溫度確定性分量的表達式改寫為

綜合上述分析，監測確定性模型可表示為

在式（4-70）中，調整系數Ф、Ψ和回歸系數c_i均為未知，需要根據實際監測資料，采用多元回歸分析或逐步回歸分析來確定。為保證在模型中水壓和溫度分量均能得到反映，多采用多元回歸分析。

（三）模型的檢驗與校正

確定性模型的檢驗和校正，同樣可以采用統計模型中介紹的復相關系數R檢驗、剩余標準差S檢驗以及擬合殘差正態性檢驗等檢驗方法。此外，由于在確定性模型中引入了調整系數Ф、Ψ，因此Ф、Ψ的合理性也是檢驗確定性模型質量的重要指標。

由于調整系數Ф、Ψ主要反映的是理論計算時物理力學參數取值與實際情況的誤差，因此，合理的Ф、Ψ值應該在1.0左右。如果Ф、Ψ值出現明顯的不合理現象，如Ф、Ψ值太大或太小，則說明所建立的模型質量不佳，需查找原因（如理論計算時物理力學參數的取值是否嚴重偏差、有限元計算方法是否合理、時效分量形式選擇是否合適等），然后重新建立確定性模型。

三、監測混合模型

監測混合模型是一種利用結構分析計算成果來確定某一環境量（自變量）與監測效應量（因變量）之間的確定性物理力學關系式，利用數理統計原理及經驗來確定其他環境量與監測效應量之間的統計關系式，根據監測效應量和環境量實測值通過回歸分析來求解調整系數及其他回歸系數，從而建立定量描述監測效應量與環境量之間關系的數學方程。

混合模型從一定程度上克服了統計模型外延預報效果不佳和確定性模型計算工作量大的缺點，是一種同時具有解釋和預報功能的較好的監測數學模型。

混合模型主要有兩種。一種是水壓分量確定性混合模型，即水壓分量的構造形式由結構分析計算成果來確定，溫度分量和時效分量的構造形式由數理統計原理及經驗來確定，其模型可表示為

式（4-71）中，水壓分量確定性模型按式（4-68）確定，溫度分量統計模型視具體情況按式（4-52）、式（4-53）或式（4-54）確定，時效分量統計模型按式（4-55）及式（4-56）確定。因此，式（4-71）可表示為

式（4-72）中符號意義同前。

另一種是溫度分量確定性的混合模型，即溫度分量的構造形式由結構分析計算成果確定，水壓分量和時效分量的構造形式由數理統計原理及經驗確定，其模型可表示為

式（4-73）中，溫度分量確定性模型按式（4-69）確定，水壓分量統計模型視具體情況按式（4-50）確定，時效分量統計模型仍按式（4-55）及式（4-56）確定。因此，式（4-73）可表示為

式（4-74）中符號意義同前。

在式（4-72）和式（4-74）中，回歸系數c_i和調整系數Ф或Ψ為未知，因此需要根據實際監測資料，采用多元回歸分析或逐步回歸分析來確定。

由于建立溫度與監測效應量之間的確定性關系式（4-69）的計算工作量一般很大，而且要求水工建筑物內具有足夠數量的能反映其溫度場的溫度監測點，因此，在實際工程中，較少建立溫度確定性的混合模型，而主要是建立水壓分量確定性的混合模型。

混合模型的檢驗和校正，仍主要采用復相關系數R、剩余標準差S、擬合殘差的正態性以及調整系數Ф或Ψ的合理性等檢驗指標來進行。

上述所介紹的統計模型、確定性模型和混合模型是3類傳統的基本監測模型，也是目前應用最為廣泛的3類監測模型。這3類傳統監測模型具有以下特點：

（1）所建立的均是以環境變量為自變量、以監測效應量為因變量的因果關系模型。

（2）所建立的均是單個測點的單種監測效應量的數學模型。

（3）在因子選擇時，均以傳統的水壓、溫度（或降雨）和時效因子為基本因子。

（4）3類模型的主要區別在因子構造形式的確定方式上，模型的求解均以數理統計理論中的最小二乘法回歸分析為基礎。

近年來，不斷有新的監測數學模型出現，如以時間序列分析為基礎的時間序列監測模型，以灰色系統理論為基礎的灰色系統分析監測模型，以模糊數學理論為基礎的模糊聚類分析監測模型，以神經網絡理論為基礎的神經網絡監測模型，在傳統監測模型中引入測點位置變量的、可以將多個測點聯系起來進行分析的多測點（分布）監測模型，以系統工程理論為基礎的、可以將多個測點多種監測效應量聯系起來進行分析的綜合評價監測模型等。