5.4　價值迭代法

在剛剛的簡單示例中，為了計算狀態(tài)和動作的價值，我們利用了環(huán)境的結(jié)構(gòu)：在轉(zhuǎn)移中沒有循環(huán)，因此可以從最終狀態(tài)開始，計算其價值，然后回到中心的狀態(tài)。但是，環(huán)境中只要有一個循環(huán)就會給這個方法造成障礙。我們來考慮具有兩個狀態(tài)的此類環(huán)境，如圖5.7所示。

我們從狀態(tài)s1開始，唯一可以采取的行動會使我們進入狀態(tài)s2。我們得到獎勵r=1，并且從s2的唯一個動作會使我們回到s1。因此，智能體會進入無限的狀態(tài)序列[s1, s2, s1, s2, s1, s2, s1, s2, …]。要處理這種無限循環(huán)，可以使用折扣因子：γ=0.9。現(xiàn)在的問題是，兩個狀態(tài)的價值分別是什么？實際上，答案并不復(fù)雜。從s1到s2的每次轉(zhuǎn)移的獎勵為1，反向轉(zhuǎn)移的獎勵為2。因此，獎勵序列為[1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, …]。由于在每個狀態(tài)下只有一個動作，智能體沒有選擇余地，因此可以省略公式中的max運算（只有一種選擇）。

狀態(tài)的價值如下：

嚴(yán)格來講，我們無法計算狀態(tài)的確切價值，但由于γ=0.9，隨著時間的推移，每次轉(zhuǎn)移的貢獻值在減小。例如，在10步以后，γ10=0.910=0.349，但是在100步以后，該折扣因子變成0.000 026 6。由于以上原因，我們在50次迭代后停止計算，也可以得到比較精確的估計值。

前面的示例有助于理解更通用的價值迭代算法。這使我們能夠以數(shù)值計算已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和獎勵值的馬爾可夫決策過程（Markov Decision Process，MDP）的狀態(tài)價值和動作價值。該過程（對于狀態(tài)價值）包括以下步驟：

1）將所有狀態(tài)的價值Vi初始化為某個值（通常為零）。

2）對MDP中的每個狀態(tài)s，執(zhí)行Bellman更新：

3）對許多步驟重復(fù)步驟2，或者直到更改變得很小為止。

對于動作價值（即Q），只需要對前面的過程進行較小的修改即可：

1）將每個Qs, a初始化為零。

2）對每個狀態(tài)s和動作a執(zhí)行以下更新：

3）重復(fù)步驟2。

這只是理論。實際中，此方法有幾個明顯的局限性。首先，狀態(tài)空間應(yīng)該是離散的并且要足夠小，以便對所有狀態(tài)執(zhí)行多次迭代。對于FrozenLake-4x4甚至是FrozenLake-8x8（Gym中更具挑戰(zhàn)性的版本），這都不是問題，但是對于CartPole，并不完全清楚該怎么做。我們對CartPole的觀察結(jié)果是4個浮點值，它們代表系統(tǒng)的某些物理特征。這些值之間即使是很小的差異也會對狀態(tài)價值產(chǎn)生影響。一個可能的解決方案是離散化觀察值。例如，可以將CartPole的觀察空間劃分為多個箱體，并將每個箱體視為空間中的單個離散狀態(tài)。然而，這將產(chǎn)生很多實際問題，例如應(yīng)該用多大的間隔來劃分箱體，以及需要多少環(huán)境數(shù)據(jù)來估計價值。我將在后續(xù)章節(jié)中（在Q-learning中使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時）解答該問題。

第二個實際局限問題是我們很少能知道動作的轉(zhuǎn)移概率和獎勵矩陣。記住Gym所提供給智能體的接口：觀察狀態(tài)、決定動作，然后才能獲得下一個觀察結(jié)果以及轉(zhuǎn)移獎勵。我們不知道（在不查看Gym的環(huán)境代碼時）從狀態(tài)s0采取動作a0進入狀態(tài)s1的概率是多少。

我們所擁有的僅僅是智能體與環(huán)境互動的歷史。然而，在Bellman更新中，既需要每個轉(zhuǎn)移的獎勵，也需要轉(zhuǎn)移概率。因此，顯然可以利用智能體的經(jīng)驗來估計這兩個未知值。可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來決定獎勵，我們只需要記住從s0采取動作a轉(zhuǎn)移到s1所獲得的獎勵即可，但是要估計概率，需要為每個元組（s0, s1, a）維護一個計數(shù)器并將其標(biāo)準(zhǔn)化。

好了，現(xiàn)在來看價值迭代方法是怎么作用于FrozenLake的。