2.3.1 螺旋槽流域的穩(wěn)態(tài)求解

圖2-5所示為一個(gè)螺旋槽轉(zhuǎn)子-光滑定子迷宮密封的結(jié)構(gòu)示意圖，將螺旋槽的凹陷與凸起部分分別定義為槽與齒，將螺旋槽螺旋線與軸向中心線的夾角稱為螺旋槽螺旋角，螺旋密封軸向長度定義為密封長度L，轉(zhuǎn)子半徑定義為密封半徑R，螺旋槽齒頂與定子間的間隙定義為密封的半徑間隙C_l0。圖2-6a給出了螺旋槽部分結(jié)構(gòu)示意圖，基于Iwatsubo提出的螺旋槽流域穩(wěn)態(tài)流場分析方法，在Oxyz坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，建立Oηyζ坐標(biāo)系，其中η方向垂直于齒槽走向，η方向與齒槽走向一致。螺旋槽沿ζ方向（即齒槽的法向方向）截面如圖2-6b所示，將此法向方向的槽與齒寬定義為螺旋槽槽寬L_g及齒寬L_l，如無特殊說明，下文所述槽寬及齒寬均為此法向的寬度。在ζ方向，流體由齒頂間隙向槽內(nèi)流動(dòng)，在齒與槽邊界處，由于流道的突然擴(kuò)大，流體產(chǎn)生局部射流，射流角為γ^[26,35,36]。螺旋槽流域穩(wěn)態(tài)流動(dòng)分析將針對(duì)流體在ζ及η兩個(gè)方向單獨(dú)進(jìn)行，每個(gè)方向又將針對(duì)槽內(nèi)與齒頂內(nèi)的流動(dòng)情況進(jìn)行獨(dú)立分析。

由螺旋槽迷宮密封的泵送效應(yīng)產(chǎn)生的有效壓力^[88]為

其中，L_lg=L_l/（L_l+L_g），K=T/（T+C_l0）。

因此，考慮作用于螺旋槽密封兩端的基于全流場數(shù)值計(jì)算的壓力邊界F_p-in（Q，n）、F_p-out（Q，n）與螺旋槽泵送效應(yīng)引起的泵送壓力Δp_pumping的共同作用。穩(wěn)態(tài)流動(dòng)狀態(tài)下，作用于螺旋槽迷宮密封兩端的有效壓力p_out可由式（2-31）求得。η及ζ兩個(gè)方向內(nèi)的流動(dòng)壓力損失與此有效壓力相等，如式（2-3）、式（2-4）所示。

η方向齒頂流體流動(dòng)中壓力損失與有效壓力的關(guān)系：

ζ方向槽內(nèi)流體流動(dòng)中壓力損失與有效壓力的關(guān)系：

式（2-32）與式（2-33）中，等號(hào)右邊第一項(xiàng)為流體進(jìn)入指定流域的進(jìn)口壓力損失項(xiàng)，進(jìn)口壓力損失系數(shù)ξ_ηlin=ξ_ηgin=0.5；第二項(xiàng)為流體流出指定流域時(shí)的出口壓力損失項(xiàng)，出口壓力損失系數(shù)ξ_ηlout=ξ_ηgout=[1-C_l0/（C_l0+T）]²；第三項(xiàng)為流體在流動(dòng)中由于壁面摩擦所引起的壓力損失項(xiàng)。

參考矩形槽迷宮密封穩(wěn)態(tài)流場求解方法^[88]，對(duì)Iwatsubo提出的螺旋槽迷宮密封穩(wěn)態(tài)流場ζ方向壓力關(guān)系進(jìn)行修正，則ζ方向齒頂、槽內(nèi)流體流動(dòng)中壓力損失與有效壓力的關(guān)系：

其中，等式右邊第一項(xiàng)為ζ方向上中間N-1組齒頂與槽內(nèi)組合的齒頂進(jìn)口壓力損失項(xiàng)、齒頂出口壓力損失項(xiàng)、齒頂與槽內(nèi)壁面摩擦壓力損失項(xiàng)的和，后三項(xiàng)為流體流入及流出整個(gè)齒頂間隙時(shí)的壓力損失項(xiàng)，由于分析忽略了槽內(nèi)流體在ζ方向上的速度，所以上式中螺旋部分的進(jìn)口與出口邊界壓力損失項(xiàng)均為齒頂進(jìn)口壓力損失與齒頂出口壓力損失項(xiàng)。

以上分析中，將齒頂間隙內(nèi)的流體流動(dòng)簡化為兩圓盤間的流體流動(dòng)，將槽內(nèi)的流動(dòng)簡化為圓管內(nèi)的流體流動(dòng)，分別采用Hirs-Blasius修正摩擦模型及Moody摩擦模型對(duì)式（2-32）、式（2-33）及式（2-34）中的壁面切向力進(jìn)行描述，式中所列摩擦因數(shù)分別如式（2-35）、式（2-36）所示。

Hirs-Blasius模型摩擦因數(shù)^[77]：

Moody模型摩擦因數(shù)^[99]：

其中，槽的等效半徑，為壁面絕對(duì)粗糙度，齒頂間隙內(nèi)流體在η與ζ方向的雷諾數(shù)分別為Re_ηl=2C_l0v_ηl/υ，Re_ζl=2C_l0v_ζl/υ；槽內(nèi)流體在η與ζ方向的雷諾數(shù)分別為Re_ηg=2C_l0v_ηg/υ，Re_ζg=2C_l0v_ζg/υ。

結(jié)合式（2-35）及式（2-36）中摩擦因數(shù)的定義，對(duì)式（2-30）、式（2-31）及式（2-32）進(jìn)行求解，可分別求得齒頂間隙流域與槽內(nèi)流域流體在η及ζ兩個(gè)方向上的穩(wěn)態(tài)平均流動(dòng)速度v_ηlm、v_ηgm及v_ζgm，將此三項(xiàng)速度進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換^[88]：

齒頂流域與槽內(nèi)流域穩(wěn)態(tài)軸向及周向平均速度可求得：

由于齒頂與槽內(nèi)流體流動(dòng)狀態(tài)不同，所以對(duì)齒頂流域、槽內(nèi)射流流域與槽內(nèi)旋流流域泄漏量分別進(jìn)行計(jì)算，三部分泄漏量相加即為整個(gè)螺旋槽密封部分泄漏量。其中，穩(wěn)態(tài)流動(dòng)狀態(tài)下齒頂間隙流域泄漏流量：

穩(wěn)態(tài)流動(dòng)狀態(tài)下槽內(nèi)射流流域泄漏流量：

穩(wěn)態(tài)流動(dòng)狀態(tài)下槽內(nèi)旋流流域泄漏流量：

綜上，穩(wěn)態(tài)流動(dòng)狀態(tài)下螺旋槽部分整體泄漏流量：