2.1 數(shù)值計算方程

數(shù)值計算方程包括流體流動控制方程、湍流模型以及壁面函數(shù)三個部分。

2.1.1 流體流動控制方程

流體的流動都要遵循三大方程，即質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程，三大方程是數(shù)值計算的理論基礎。合理地使用這些方程將能夠精確地獲得閥門內(nèi)部流體的速度分布特征、渦流變化特征以及壓力演變規(guī)律。

1．質(zhì)量守恒方程

質(zhì)量守恒方程又稱連續(xù)性方程，表述為單位時間流通微元體質(zhì)量的增加量等于流入該微元體的凈質(zhì)量，其微分表達式為：

式中 ν——流體速度矢量；

S_m——質(zhì)量附加項。

2．動量方程

動量方程又稱Navier-Stokes（N-S）方程，表示流體動量變化與外力之間的關系，其微分表達式為：

式中 p——靜止壓力；

τ_ij ——雷諾應力張量，它是兩個脈動速度矢量ν′并矢的時均值，即′；

μ——流體的運動黏度；

F_i ——外力。

3．能量方程

能量方程是指在考慮密度和溫度等變化時，反映機械能和內(nèi)能變化規(guī)律的流體基本方程，其微分表達式為：

式中 k_eff——流體的有效導熱系數(shù)，其值為流體導熱系數(shù)和流體湍流導熱系數(shù)之和；

S_h——附加的體積熱源；

w——顯焓。

式（2-3）等式右邊前三項分別表示熱傳導、組分擴散及黏性耗散。

2.1.2 湍流模型

由于在N-S方程式（2-2）中存在雷諾應力張量，導致了方程組不封閉，從而無法求解流場結構。為此，研究人員以雷諾平均運動方程為基礎，依靠理論推導和經(jīng)驗知識對雷諾應力做出各種假設，從而建立起的描寫湍流平均量的封閉方程組，即湍流模型。

隨著計算流體力學的發(fā)展，湍流模型研究也有了很大的進展，涌現(xiàn)出了大量各種形式的湍流模型，主要有：單方程（Spalart-Allmaras）模型、標準k-ε模型、重正化群（RNG）k-ε模型、可實現(xiàn)的（Realizable）k-ε模型、標準k-ω模型、剪切壓力傳輸（SST）k-ω模型、k-k_l-ω轉捩模型、SST轉捩模型以及雷諾應力（RSM）模型等。然而，每個模型都具有一些特定的優(yōu)勢與局限性，沒有一個湍流模型適合所有的流動問題，使用合適的湍流模型是保證閥門內(nèi)部湍流流動精確計算的重要前提。下面對本書主要用到的一些湍流模型進行描述。

1．標準k-ε模型

標準k-ε模型是一個半經(jīng)驗模型^[103]，在工程中被廣泛應用。其中，湍動能k反映了特征速度，其方程由理論公式推導而來；湍動能耗散率ε反映特征長度，其方程由經(jīng)驗和類比等方法模化得到。

（1）湍流動能方程（k方程）

（2）耗散率方程（ε方程）

式中 μ_t——湍流黏度，計算表達式為：

G_k——平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生項，計算表達式為：

C_1ε、C_2ε、C_3ε——系數(shù)，C_1ε=1.44，C_2ε=1.92，C_3ε=0.09，C_μ=0.09；

σ_k——與湍動能k對應的Prandtl數(shù)，σ_k=1；

σ_ε——與耗散率ε對應的Prandtl數(shù)，σ_ε=1.3；

S_k、S_ε——用戶定義的源項，可根據(jù)不同情況定義；

G_b——由浮力引起的湍動能k的產(chǎn)生項；

Y_M——可壓湍流中的脈動擴張項。

2．RNGk-ε模型

RNGk-ε模型為標準k-ε模型的改進模型^[104]，該模型的改進主要包含以下幾個方面：①提供了一個考慮低雷諾數(shù)流動黏性的解析公式；②考慮到了湍流漩渦和旋轉的影響，對湍流黏度進行了修正；③提供了湍流Prandtl數(shù)解析公式。因此，該模型在復雜剪切流動、旋轉流動及分離流動等方面比標準k-ε模型具有更高的計算精度。

修正后的湍流黏度為：

式中 Ω——漩渦特征數(shù)；

a_s——不同流動狀態(tài)下的漩渦常數(shù)。

3．Realizable k-ε模型

Realizable k-ε模型同樣是在標準k-ε模型上面進行改進獲得^[105]，其改進的內(nèi)容主要為：①提供了湍流黏度計算系數(shù)C_μ的解析公式；②對湍流耗散率方程進行了修正。因此，該模型的特色是對平板和圓柱射流的擴散速率預測更精確，同時在旋轉流動、流動分離和二次流等復雜流動方向的計算也較為出色。

修正后的湍流黏度系數(shù)表達式為：

修正后的湍流耗散率方程為：

式中，

4．剪切壓力傳輸（SST）k-ω模型

SSTk-ω模型是一個在近壁面區(qū)域求解k-ω模型、在遠離壁面區(qū)求解k-ε模型、中間通過一個混合函數(shù)進行過渡的湍流計算模型^[106]。為了結合k-ω模型和k-ε模型，模型統(tǒng)一寫成k-ω形式，即：

式中 G_k——湍動能產(chǎn)生項，計算公式為：

μ_t——湍流黏度，計算公式為：

G_ω——耗散率產(chǎn)生項，計算公式為：

σ_k和σ_ω——湍流普朗特數(shù)，計算公式為：

F₁——混合函數(shù)，計算公式為：

β^*——方程系數(shù)，計算公式為：

式中的其他常數(shù)值見表2-1。

5．雷諾應力湍流模型（RSM）

雷諾應力模型是求解雷諾應力張量的各個分量的輸運方程^[107，108]。該模型具有以下特點：①模型中選用精度更高的二次壓力應變項格式作為壓力應變項；②模型采用湍流各向異性假設，而不是湍流各向同性假設。這樣可以使雷諾時均Navier-Stokes方程有封閉解，對于流線扭曲、漩渦、旋轉以及應變率的驟變等方面的求解比單方程模型和雙方程模型更嚴格，能更準確地預測復雜流動；③模型放棄了渦黏性假設，直接求解雷諾應力輸運方程得到各應力的分量，并且考慮了雷諾應力的對流與擴散作用。動量方程中雷諾應力項的計算表達式為：

式中——湍流擴散項，計算公式為：

——分子擴散項，計算公式為：

P_ij——應力產(chǎn)生項，計算公式為：

G_ij——浮力產(chǎn)生項，計算公式為：

Φ_ij——壓力應變項，計算公式為：

ε_ij——耗散項，計算公式為：

F_ij——系統(tǒng)旋轉產(chǎn)生項，計算公式為：

S_u——自定義源項。

2.1.3 壁面函數(shù)

當流體靠近壁面區(qū)域時，在壁面附近會形成速度梯度十分明顯的流動薄層，即邊界層。在該薄層內(nèi)，流體的流動將受到黏性的影響，存在黏性底層、過渡層、對數(shù)層等多種流動區(qū)域。目前研究人員主要采用了兩種方法對該區(qū)域的流場進行計算：一種是通過對湍流模型進行修正，使其適用于近壁黏性影響區(qū)域，k-ω模型都是采用該方法計算；另一種是采用壁面函數(shù)，k-ε湍流模型一般都是采用該方法計算。

目前普遍采用的壁面函數(shù)方法由Launder和Spalding于1974年提出并發(fā)展而來^[109]。在該方法中，采用了兩個無量綱參數(shù)u⁺和y⁺，分別表示近壁面流體速度及距離壁面的位置，即：

式中——流體時均速度；

u_τ——壁面摩擦速度，u_τ=（τ_w/ρ）^1/2；

τ_w——壁面切應力；

Δy——流體與壁面的實際距離。

當y⁺＜5時，流動處于黏性底層，此時流體速度與離開壁面的距離呈線性關系；50＜y⁺＜30時，流動處于過渡層，此時流體運動受湍流和黏性的共同作用；當60＜y⁺＜300時，流動處于對數(shù)律層，此時流體的速度分布服從對數(shù)分布規(guī)律。