第4節(jié)

故事與趣題

百錢買百雞

張丘建是北魏人，他的數(shù)學(xué)造詣很深，他撰寫的《張丘建算經(jīng)》共分三卷，主要編錄了一些數(shù)學(xué)應(yīng)用題。“百雞問題”是那部算經(jīng)中最出名的一道趣題，后世的數(shù)學(xué)家對百雞問題都有濃郁的興趣，紛紛模仿編了很多相似的題目。國外的數(shù)學(xué)家對它也非常感興趣，紛紛效仿，可以說百雞問題是世界數(shù)學(xué)史上影響最大的名題之一。

《張丘建算經(jīng)》的“百雞問題”是這樣的：

今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？

題意是這樣的：公雞5元1只，母雞3元1只，小雞3只1元，100元可買100只雞。問可買公雞、母雞和小雞各多少只？

原書沒有給出解法，只說如果少買7只母雞，就可多買4只公雞和3只小雞。所以只要得出一組答案，就可以推出其余兩組答案。中國古算書的著名校勘者甄鸞和李淳風(fēng)注釋該書時，也沒給出解法，只有約6世紀(jì)的算學(xué)家謝察微記述過一種不甚正確的解法。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點來看，實際上這是一個不定方程，可用求解不定方程正整數(shù)解的方法，可以這樣解：

設(shè)公雞、母雞、小雞分別為x、y、z只。

有兩個方程，三個未知量，稱為不定方程組，有多種解。

令②×3 -①，得

7x + 4y = 100；

所以，所以x一定是4的倍數(shù)。

設(shè)x = 4t（t為正整數(shù)），

把x = 4t代入7x + 4y = 100，得到

y=25-7t。

易得z = 75 + 3t。

所以，x = 4t

y=25-7t

z=75+3t

因為x, y, z為正整數(shù)

所以，4t＞0

25 - 7t＞0

75 + 3t＞0

解得。

又因為t為整數(shù)，

所以，當(dāng)t = 1時，

x=4; y=18; z=78。

當(dāng)t = 2時，

x=8; y=11; z=81。

當(dāng)t = 3時，

x=12; y=4; z=84。

也就是說，這題的答案可能有3種情況：

A．公雞4只，母雞18只，小雞78只。

B．公雞8只，母雞11只，小雞81只。

C．公雞12只，母雞4只，小雞84只。

“百雞問題”是中國數(shù)學(xué)史上的杰出成就之一，是世界公認(rèn)的數(shù)學(xué)名題，至今受到人們的關(guān)注。

小讀者們不妨嘗試一下用不定方程來解決一些實際問題。

拓展應(yīng)用

1． 六年級某班同學(xué)45人去公園劃船，如果每只小船有3個座位，每只大船有5個座位，要求每個人恰好有一個座位，那么需要大船、小船各幾只？

2． 圓珠筆每支3角，筆記本每本8角，現(xiàn)有6元2角錢，要將錢正好用完，筆記本最多可以買幾本？

3．小明和媽媽去商店買玩具，買一個電動玩具要付19元，若媽媽只有2元的鈔票20張，而商店里的都是5元一張的，問媽媽怎么付錢最簡單？