二、勾股圓方圖〔1〕

此方圓之法〔2〕 。此言求圓于方之法 〔3〕 。

萬物周事而圓方用焉，大匠造制而規矩設焉。或毀方而為圓，或破圓而為方〔4〕 。圓中為方者謂之方圓，方中為圓者謂之圓方也〔5〕 。

【注釋】

〔1〕勾股圓方圖：這是勾股圖和圓方圖的題名（參看圖七）。底本僅剩此題名而原圖已佚，留下一個有標題而無圖的空白頁（圖八，采自南宋本頁三正面）。有些校勘者曾指出此處有脫誤，但未深入研討。今依照商高敘述積矩法推導勾股定理的原文復原（參見圖二·商高勾股圖右）。復原的商高勾股圖與趙爽勾股圖的外弦圖相同（參見圖十），因此補正的商高勾股圖，可從趙爽勾股圖中取出（見圖九）。又，商高的圓方圖在底本中誤刊于《陳子篇》的“七衡圖”之前（參見圖九），此圖的標題：“圓方圖”和“方圓圖”與商高原文“圓中為方者謂之方圓，方中為圓者謂之圓方也”的含義正相反，現依原文相應地校改為：“方圓圖”和“圓方圖”。

〔2〕此方圓之法：這是商高指方圓術的敘文和其圖示而言。方圓術敘文是否衍文或錯簡，學術界頗有分歧。譬如，顧觀光《校勘記》認為南宋本有誤，方圓術敘文“必衍文也”。我們認為，方圓、圓方圖和方圓術敘文都出于《商高篇》，是商高上文所說“數之法出于圓方，圓出于方”的續文，正如趙爽所注“此言求圓于方之法”。

〔3〕分析圖九可見，方圓圖和圓方圖中的兩個圓大小相等，都可視為是直徑為一的單位圓。方圓圖中圓內有一內接正方形，可稱為小方。圓方圖中圓外有一相切的正方形，其邊長為1［單位］，周長為4［單位］，面積為1［單位］，可稱為大方或單位方。小方的對角線正是圓直徑，由勾股定理得小方邊長 ［單位］，其周長為 ［單位］，面積為 ［單位］。單位圓的圓周率π在數值上與周長相同，所以

由此得知圓周率必在 和4之間，這正是方圓圖和圓方圖示意之一（參閱程貞一《黃鐘大呂：中國古代和十六世紀聲學成就》（王翼勛譯），2007年，第118—119頁）。《周髀算經》所用的圓周率是3，介于 和4之間。惜底本等傳本中沒有記錄圓周率3的推算細節，但在方圓敘文中，商高提出了推導方法。

〔4〕或毀方而為圓，或破圓而為方：求圓于方，或需損方［為多邊形］作為圓［的更好近似］，或需割圓［為多塊弧形］作為多邊形［的推算極限］。由此求圓于方的方法，商高歸納出“圓出于方”的概念。如把方圓圖之單位圓中的內接正方變形為正六邊形，得周邊長3［單位］；如把單位圓中的內接正方變形為正八邊形，得周邊長3.06［單位］。《周髀算經》中所用的圓周率是3。

〔5〕圓中為方者謂之方圓，方中為圓者謂之圓方也：方圓圖是由內接方向外推算圓的示意圖；圓方圖是由外切方向內推算圓的示意圖。與趙爽同時代的劉徽在其著名的《九章算術注》中，繼承了商高的破圓術，將其發展為割圓術。割圓術：用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積以此求取圓面積的方法。劉徽從圓內接等邊三角形出發，一步步由內接正六邊形一直擴展到內接正192邊形，以趨近圓面積，得到近似圓周率3.14強。

【譯文】

這是方圓之法。這說明求圓于方的方法。

周圍的萬事萬物都要用到圓和方，大匠為制造而設規和矩。求圓于方或需變正方形為多邊形作為圓的更好近似形，或需割圓形為多塊弧形作為多邊形面積的推算。由內接方向外推算圓謂之方圓，由外切方向內推算圓謂之圓方。

趙爽附錄（一）：勾股論〔1〕

勾、股各自乘，并之為弦實。開方除之，即弦〔3〕 。案弦圖：又可以勾、股相乘為朱實二，倍之，為朱實四。以勾、股之差自相乘，為中黃實。加差實，亦成弦實〔4〕 。

以差實減弦實，半其余，以差為從法，開方除之，復得勾矣〔5〕 。加差于勾，即股〔6〕 。凡并勾、股之實，即成弦實〔7〕 。或矩于內，或方于外〔8〕 。形詭而量均，體殊而數齊〔9〕 。

勾實之矩以股弦差為廣，股弦并為袤；而股實方其里。減矩勾之實于弦實，開其余，即股〔10〕 。倍股在兩邊為從法。開矩勾之角，即股弦差，加股為弦〔11〕 。以差除勾實，得股弦并。以并除勾實，亦得股弦差。令并自乘，與勾實為實，倍并為法，所得亦弦。勾實減并自乘，如法為股〔12〕 。

股實之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實方其里。減矩股之實于弦實，開其余，即勾〔13〕 。倍勾在兩邊為從法。開矩股之角，即勾弦差，加勾為弦〔14〕 。以差除股實，得勾弦并。以并除股實，亦得勾弦差。令并自乘，與股實為實，倍并為法，所得亦弦。股實減并自乘，如法為勾〔15〕 。

兩差相乘倍而開之，所得以股弦差增之為勾。以勾弦差增之為股。兩差增之為弦〔16〕 。倍弦實，列勾股差實，見弦實者，以圖考之：倍弦實，滿外大方，而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍弦實乃減之，開其余，得中黃方。黃方之面即勾股差〔17〕 。以差減并而半之，為勾；加差于并而半之，為股；〔18〕 其倍弦為弦廣袤差并合〔19〕 。令勾、股見者，互乘為其實〔20〕 ，四實以減之，開其余，所得為差。以差減合，半其余為廣。減廣于合為袤〔21〕 ，即所求也〔22〕 。觀其迭相規矩〔23〕 ，共為返覆，互與通分，各有所得。然則統敘群倫，弘紀眾理，貫幽入微，鉤深致遠。故曰“其裁制萬物，唯所為之也”〔24〕 。

【注釋】

〔1〕趙爽注《周髀·商高篇》，附撰了一篇數學論文，文中提到“觀其迭相規矩，共為返覆，互與通分，各有所得。”可見此文包含勾股術和方圓術。惜現傳趙爽附撰論文中僅存論勾股內容，有關論方圓的內容已佚。在此，把現傳論文列為趙爽附錄并擬“勾股論”為標題。趙爽的論文是一篇十分有價值的文獻，也是現存最早的一篇中國古代論文式的數學文獻。阮元《疇人傳》稱道：“五百余言耳，而后人數千言所不能詳者，皆包蘊無遺，精深簡括，誠算氏之最也。”此論文雖僅五百余字，卻不僅概括總結了中國古代勾股術的輝煌成就，而且論述了他所開拓的方程研究。錢寶琮曾補繪“勾股圓方圖”并予以解說。本書是根據程貞一“圣迭戈加州大學中國研究170課目自然科學史講義（1986年）”注解。

〔2〕圖十是底本《周髀算經》中的弦圖、左圖和右圖，系趙爽所繪。

〔3〕勾、股各自乘，并之為弦實。開方除之，即弦：這是趙爽對勾股定理的明確表述。并：加在一起。實：面積。弦實：以弦為邊的正方形的面積。

〔4〕案弦圖：又可以勾、股相乘為朱實二，倍之，為朱實四。以勾、股之差自相乘，為中黃實。加差實，亦成弦實：按商高弦圖（見圖二·商高勾股圖右）得：

朱實：弦方之內的每個勾股三角形的面積。黃實：中間的小正方形的面積。趙爽在此簡捷地推導得成了勾股定理。值得注意的是趙爽的措辭“又可以”和“亦成弦實”，說明他充分地理解商高給勾股定理的推導，并將他自己的推導視為商高推導勾股定理的另一個選擇（參閱程貞一《商高的解剖證明法》，1987，第40頁）。這也說明在趙爽時代對商高推導勾股定理的得成已有正確的認識。趙爽和商高兩推導之間的關系可由分析弦圖分辨。如果把趙爽勾股圖的左圖、弦圖、右圖三個圖中弦實之內的不同結構除掉（參見圖十），所剩下來的是三個同樣的圖，而且這圖與商高弦圖一樣（參見圖二的右圖）。這意味著趙爽勾股圖可能是由商高弦圖演變而得，因為圖十中的弦圖實際是一個重迭弦圖，其外弦圖是商高弦圖，其內弦圖是趙爽弦圖（參見圖十一）。

由圖十一可見，趙爽勾股圖的弦圖是把自己所作的弦圖填入商高弦圖中的空白弦方上而構成的。兩弦圖所提供勾股定理的推導主要區別在于應用不同代數展式。商高弦圖應用展式：

（b +a ）2 =a 2 +2（ab ）+b 2 （參見圖十二左）（1-2-3）

而趙爽弦圖應用展式：

（b -a ）2 =a 2 -2（ab ）+b 2 （參見圖十二右）（1-2-4）

〔5〕以差實減弦實，半其余，以差為從法，開方除之，復得勾矣：以差實（b -a ）2 減弦實c 2 ，半其余 [c 2 -（b -a ）2 ]得

如圖十三所示，此為弦圖中之一矩，其寬是勾a ，其長是股b ，長寬差是（b -a ）。

趙爽在此指出，如把圖十三右圖的勾股差（b -a ）視為二次開方式中之從法，那么勾a 可由開二次開方式求得。“從法”是中國古代數學術語，即方程的一次項系數。因此，若設勾a 為x ，那么帶從平方式可用現代數學式書寫如下（參見圖十三右圖）：

x 2 +（b -a ）x =ab （1-2-6）

把此方程開方除之，由一次項系數b -a 和常數ab 可解得勾a 。那就是說，勾a 是方程式（1-2-6）的一個通解根。在趙爽時代，帶從法已是數學界數值解方程的普通知識。在此，趙爽的興趣不在數值解方程而在利用從法設二次方程，從而得出分析解二次方程。這是一個幾何代數化的步驟。由此步驟，趙爽開拓了分析解方程的代數學研究。值得注意的是，趙爽的整篇數學論文，不論是分析敘述或演繹推導，全是以數學技術名詞表達他的數學思路。因此，他的分析和推導的成果都是一般性的數理關系。

〔6〕加差于勾，即股：a +（b -a ）=b 。那就是說，已解得勾a ，另一未知數股b 可由所給差（b -a ）［或實ab ］求得。

〔7〕凡并勾、股之實，即成弦實：那就是說，勾股定理a 2 +b 2 =c 2 是一個普遍性的數學原理。不需特定數值，其勾實、股實之和必等于其弦實。

〔8〕或矩于內，或方于外：有的矩方在內部，如內弦圖；有的矩方在外部，如外弦圖。在此所指的是如圖十四所示的各種弦圖的結構。圖十四之a圖是趙爽勾股圖的左圖（見圖十左）示意由外弦圖所演變出來含有幾何系列數學內容的旋方圖（見圖十五）。圖十四之b圖示意內、外弦圖相迭的幾何結構。

〔9〕形詭而量均，體殊而數齊：雖然各形象變化可有多種多樣，但是其合并形象的量度始終均等；雖然各面積尺寸可有大小不同，但是其合并面積的總和始終齊一。這是趙爽陳述積矩法在推導演變中的面積組合轉變原理。此陳述說明在積矩推導中，當由一面積組合轉變到另一面積組合，其內部不同形狀面積的合并必須形成同一組合量度，其內部不同尺寸面積的總和必須等于同一組合總數。趙爽的“組合轉變原理”是推導演變的一個基本理論。不僅出現于上述勾股定理兩個不同的推導，同時也應用于趙爽上述以從法設二次方程的推導（參見圖十三）。趙爽的“組合轉變原理”和劉徽的“出入相補原理”不約而同地奠定了商高積矩推導法的理論和應用。在公元十七世紀，當商高積矩推導法出現于歐洲時，被歐洲數學界稱為“解剖證明法（Dissection Proof）”。

〔10〕勾實之矩以股弦差為廣，股弦并為袤；而股實方其里。減矩勾之實于弦實，開其余，即股：“勾實之矩”可將趙爽左圖中央的股實b 2 移至一角而得到，如圖十六（b）所示弦實分為一個以股為邊長的正方形和一個“勾實之矩”。因此“勾實之矩”的面積a 2 即c 2 -b 2 ，等于以股弦差c -b 為寬、股弦和c +b 為長的矩形面積，即a 2 =（c +b ）（c -b ）。若減矩勾之實于弦實c 2 -（c +b ）（c -b ），然后開其余，即得股 。廣：寬；袤（mào）：長。

〔11〕倍股在兩邊為從法。開矩勾之角，即股弦差，加股為弦：若是拿兩邊股之和2b 為二次開方式的一次項系數（參見圖十七），解“矩勾之角”二次開方式得股弦差為根，加股于根得弦，如圖十七所示。若設未知數股弦差c -b 為x， “矩勾之角”的開方式如下：

x 2 +2bx =a 2 。（1-2-7）

由此可見，已知“矩勾之角”的股和勾實a 2 ，從分析解方程（1-2-7）可間接求得弦c 。

〔12〕以差除勾實，得股弦并。以并除勾實，亦得股弦差。令并自乘，與勾實為實，倍并為法，所得亦弦。勾實減并自乘，如法為股：由勾實之矩（見圖十七和注〔10〕）得a 2 =2b （c -b ）+（c -b ）2 =（c +b ）（c -b ）。因此，以差除勾實，得股弦并：

以并除勾實，亦得勾弦差：

由勾股定律和展式（c +b ）2 =c 2 +2bc +b 2 得恒等式（c +b ）2 +a 2 =2c 2 +2bc =2c （c +b ）。因此，令并自乘與勾實為實，倍并為法，所得亦弦：

同時，由勾股定律和展式（c +b ）2 =c 2 +2bc +b 2 ，也可得恒等式（c +b ）2 -a 2 =2b 2 +2bc =2b （c +b ）。故勾實減并自乘，如法為股：

〔13〕股實之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實方其里。減矩股之實于弦實，開其余，即勾：“股實之矩”可將趙爽右圖中央的勾實a 2 移至一角而得到，如圖十八（b）所示弦實分為一個以勾為邊長的正方形和一個“股實之矩”。因此，“股實之矩”的面積b 2 即c 2 -a 2 ，等于以勾弦差c -a 為寬、勾弦和c +a 為長的矩形面積。以代數式表示，即b 2 =（c +a ）（c -a ）。若減矩股之實于弦實c 2 -（c +a ）（c -a ），然后將余數開方，即得勾 。

〔14〕倍勾在兩邊為從法。開矩股之角，即勾弦差，加勾為弦：若是拿兩邊勾之和2a 為二次開方式的一次項系數（參見圖十九），解“矩股之角”二次開方式得勾弦差為根，加勾于根得弦，如圖十九所示。若設未知數勾弦差c -a 為x， “矩股之角”的開方式如下：

x 2 +2ax =b 2 。（1-2-12）

由此可見，已知“矩股之角”的勾和股實b 2 ，從分析解方程（1-2-12）可間接求得弦c 。

〔15〕以差除股實，得勾弦并。以并除股實，亦得勾弦差。令并自乘，與股實為實，倍并為法，所得亦弦。股實減并自乘，如法為勾：由勾實之矩（見圖十九和注〔13〕）得b 2 =2a （c -a ）+（c -a ）2 =（c +a ）（c -a ）。因此，以差除股實，得股弦并：

以并除股實，亦得勾弦差：

由勾股定律和展式（c +a ）2 =c 2 +2ac +a 2 得恒等式（c +a ）2 +b 2 =2c 2 +2ac =2c （c +a ）。因此，令并自乘與勾實為實，倍并為法，所得亦弦：

同時，由勾股定律和展式（c +a ）2 =c 2 +2ac +a 2 ，也可得恒等式（c +a ）2 -b 2 =2a 2 +2ac =2a （c +a ）。故股實減并自乘，如法為股：

〔16〕兩差相乘倍而開之，所得以股弦差增之為勾。以勾弦差增之為股。兩差增之為弦：兩差之乘者，即（c -a ）（c -b ），倍而開之得 ，加上股弦差（c -b ）得勾：

以勾弦差（c -a ）增之為股：

以兩差（c -a ）和（c -b ）增之為弦：

顯然，此勾、股、弦三公式有相聯關系，求一而得三。在此，趙爽沒有說明勾的公式（1-2-17）是如何推導而來。如將圖十八（b）中的股實之矩圖旋轉180度，合在圖十六（b）勾實之矩的圖上，即得圖二十勾實之矩和股實之矩兩者的重迭圖。圖中陰影部分為股實b 2 和勾實a 2 相重迭形成的小正方形，其面積為（a +b -c ）2 。相對的兩個小矩形的面積都是（c -a ）（c -b ）。由圖二十可見

c 2 -2（c -a ）（c -b ）=a 2 +b 2 -（a +b -c ）2

根據勾股定理，推得

2（c -a ）（c -b ）=（a +b -c ）2 ，

開方即得

這就是勾的公式（1-2-17），因而可得上述求勾、股和弦的一組公式。

〔17〕倍弦實，列勾股差實；見弦實者，以圖考之：倍弦實，滿外大方，而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍弦實乃減之，開其余，得中黃方。黃方之面即勾股差：趙爽在這段推演中提到“以圖考之”。圖二十一提供兩個外大方圖以供分析這段推演。（a）的弦圖式外大方圖是由趙爽弦圖（參見圖十中）演變而得。（b）的旋方式外大方圖是由趙爽旋方圖（參見圖十左）演變而得。根據弦圖式外大方圖（a），倍弦實2c 2 ，出入相補地填滿外大方（b +a ）2 ，但是多出一個黃實（b -a ）2 ，故

2c 2 -（b -a ）2 =（b +a ）2 （1-2-20）

根據旋方式外大方圖（b），公式（1-2-20）成為

顯然，公式（1-2-20）和公式（1-2-21）表達同一數理關系。此二式可簡化為一公式：

a o 、b o 和c o 即a 、b 和c 。這正是趙爽所謂的“形詭而量均，體殊而數齊”。換句話說，以勾股差之實減倍弦平方，然后開其余，得外大方和其面，其面即是勾股并。面：中國古代數學術語，指邊長。弦圖式外大方的面為勾股和（b +a ），黃方的面為勾股差（b -a ）：

〔18〕以差減并而半之，為勾；加差于并而半之，為股：差指勾股差（b -a ），并指勾股和（b +a ）。現以算式表示如下：

這是兩個恒等式。趙爽用此恒等式分析解得一般性一元二次方程的兩個通解根（參見注〔20〕—〔22〕）。

〔19〕其倍弦為弦廣袤差并合：即其倍弦等于弦廣差加弦廣并或弦袤差加弦袤并。此句原為“其倍弦為廣袤合”，按倍弦應等于弦廣差加弦廣并或弦袤差加弦袤并：

2c =（c -a ）+（c +a ）=（c -b ）+（c +b ）（1-2-27）

故據文義增補三字為“其倍弦為弦廣袤差并合”。

〔20〕令勾、股見者，互乘為其實：這段文字簡潔，且底本等誤“互”為“自”，使學術界頗有歧見。甄鸞、李淳風、李儼、錢寶琮以及近代譯著者各有看法。我們認為趙爽在此所說的“令勾股見者”是指上文“以差減并而半之為勾，加差于并而半之為股”兩個恒等式中所見的勾和股［見公式（1-2-25）和（1-2-26）］。因此，“互乘為其實”所敘述的正是下列勾和股互乘的運算：

在此的實，即矩ab 的面積，如圖二十二所示為弦圖和左圖中的直角三角形兩兩合并成矩形的實。底本誤“互”為“自”可能出現于甄鸞注《周髀算經》之后、李淳風等作注之前。分析甄鸞注釋中3、4、5特例數字的核對，發現甄鸞核對的數學關系 來自公式（1-2-28）。核對此數學關系之后，甄鸞接著用公式（1-2-25）和（1-2-26）核對趙爽求兩個通解根的推導［參見注〔22〕中公式（1-2-30）和（1-2-31）］。雖然特例核對所得數字的符合并不證實其核對數理關系的正確性，但是這段核對至少證實甄鸞當時所見的是勾股“互乘為其實”即公式（1-2-28）而不是勾股“自乘為其實”。李淳風等對甄鸞這段核對作出批評，認為甄鸞用的數學關系［即公式（1-2-28）］是錯誤的，然而李淳風等所提供的數學關系與趙爽的敘述有多處不相符合。由此可見，在李淳風時代，誤“互”為“自”的錯誤可能已出現。雖然李儼等接收了李淳風等對趙爽勾股論的注解，但是錢寶琮提出不同的看法。他認為：“依文義，‘四實以減之’之前應有‘令合自乘’四字。但甄鸞注未引，疑非原本所有，故不校補。”

〔21〕減廣于合為袤：趙爽采用“廣”和“袤”表達所求長方形的“寬”和“長”兩邊。在此“廣”和“袤”相應的為所知實ab 的勾a 和股b 。減廣于合為袤：底本等誤作“減廣于弦”，今據文意改。

〔22〕四實以減之，開其余，所得為差。以差減合，半其余為廣。減廣于合為袤，即所求也：以四倍ab 為減數，重新整理實ab 公式（1-2-28）得：

（b -a ）2 =（b +a ）2 -4ab

開其余，所得為差：

以差（b -a ）減合（b +a ）半其余為廣：

減廣a 于合（b +a ）為袤：

即是所求。公式（1-2-30）和公式（1-2-31）是通解二次開方式的兩個根。現依照以上趙爽設從法推導方程的方法，作圖二十三。此圖是由圖二十二設b +a 為從法，ab 為實而得。如圖二十三所示，若設勾a 為x ，二次開方式可用現代數學式書寫為一元二次方程如下：

此公式的兩個根，一為公式（1-2-30）的a i 根，另一為公式（1-2-31）的b i 根。帶從法（帶從平方式）的推導即現代所謂的一元二次方程的推導。值得注意的是，趙爽在公元三世紀利用幾何面積關系建立了一般性一元二次方程。為保持推導步驟的普遍性，趙爽的整個推導是以數學名詞敘述，故他的一元二次方程和通解此方程的兩個根，也可表述如下：

設b i +a i =-β/α和a i b i =γ/α，由趙爽一元二次方程［見公式（1-2-32）］可得

α x 2 +β x +γ=0，（1-2-33）

同時由趙爽兩個根［見公式（1-2-30）和公式（1-2-31）］可得

這正是一元二次方程的通解，即通常稱為韋達（Vieta）公式的兩個根。故趙爽在公元三世紀所作的分解方程求通解根的推導，是一個開拓性的發展和超時代的成就。韋達（Franciscus Vieta，1540—1603）：法國數學家。引進系統的代數符號，并對方程論作了改進。

〔23〕規矩：作圓的規和作方的工具矩，在此指互相轉換的圓和方。

〔24〕其裁制萬物，唯所為之也：此系趙爽引商高語，參見上文（二）用矩之道。

【譯文】

勾、股分別自乘，加在一起，等于弦方的面積；將其開方，即得弦長。按照弦圖，又可以勾和股相乘為二個朱色三角形面積，加倍得弦方四角的四個朱色三角形面積。同時勾股差的平方，等于弦方中間黃色方塊的面積。所以四個朱色三角形面積加上勾股差平方的面積，也得成弦方的面積。

以弦的平方減去勾股差的平方，再以二除之，得常數項；以勾股差為開平方式所帶的從法（即一元二次方程的一次項系數），解此開平方式，又得勾。加勾股差于勾，即得股。每當勾的平方加股的平方都等于弦的平方，這是一般性的數理關系，不論其圖的結構是矩于內或方于外。這是因為在推導中，當由一面積組合轉變到另一面積組合，雖然各形象變化可有多種多樣，但是其合并形象的量度始終均等；雖然各面積尺寸可有大小不同，但是其合并面積的總和始終一樣。

“勾實之矩”是以股弦差為寬，股弦并為長，勾平方為面積的一個直角矩，而在直角矩之內是一個股方。因此，以弦方的面積中減去矩形勾的面積，開方即得股。如果以股的兩倍為二次開方式所帶的從法（即一元二次方程的一次項系數），以勾的平方為常數，那么解此方程，即得股弦差，加上股得弦。以勾的平方除以股弦差得股弦和。以勾的平方除以股弦和，亦得股弦差。令股弦和自乘，加勾的平方為被除數，以二倍的股弦和為除數，相除亦得弦。令股弦和自乘，減去勾的平方為被除數，以二倍的股弦和為除數，相除得股。

“股實之矩”是以勾弦差為寬，勾弦并為長，股平方為面積的一個直角矩，而在直角矩之內是一個勾方。因此，以弦方的面積中減去矩形股的面積，開方即得勾。如果以勾的兩倍為二次開方式所帶的從法（即一元二次方程的一次項系數），以股的平方為常數，那么解此方程，即得勾弦差，加上勾得弦。以股的平方除以勾弦差，得勾弦和。以股的平方除以勾弦和，亦得勾弦差。令勾弦和自乘，加股的平方為被除數，以二倍的勾弦和為除數，相除亦得弦。令勾弦和自乘，減去股的平方為被除數，以二倍的勾弦和為除數，相除得勾。

勾弦差和股弦差相乘，加倍，開方，所得加上股弦差，等于勾；所得加上勾弦差，等于股；所得加上勾弦差和股弦差，等于弦。加倍弦平方，辨析其中勾股差的平方，可考察其面積關系，以圖分析：以倍弦平方填滿外大方，多出一個黃色方塊的面積。此黃色方塊的面積，即勾股差的平方。以二倍的弦平方減去勾股差的平方，然后開方，得外大方和其邊，其邊即勾股之和。以二倍的弦平方減去勾股和的平方，開方，得中間黃色方塊的邊長。黃色方塊的邊長即勾股差。以勾股和減去勾股差，除以二得勾，以勾股和加上勾股差，除以二得股。其倍弦等于弦寬差加弦寬和或弦長差加弦長和。互乘以上所見的勾和股得勾股矩之面積，減四倍勾股矩之面積于外大方之面積，開方，得勾股差。以勾股和減去勾股差，其余數除以二，所得為寬。減寬于長寬之和得長。這就是解二次開方式所求得的兩個通解根。觀察規和矩兩者功能交連的關系，同時反復分析其圓和方的數理相通的關系，都有所得。既然［規和矩的功能，圓和方的數理］，能統領群倫，統率眾理，探幽入微，深入廣遠，所以可說：“其裁制萬物，唯所為之也”。